2023-2024学年浙江省杭州市采荷中学九年级上册数学期末质量跟踪监视试题含解析

2023-2024学年浙江省杭州市采荷中学九上数学期末质量跟踪监视试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每题4分，共48分)

1.如图1是一只葡萄酒杯，酒杯的上半部分是以抛物线为模型设计而成，且成轴对称图形.从正面看葡萄酒杯的上半

部分是一条抛物线，若A6=4,CD=3,以顶点。为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为

2.如图，AB是OO的直径，点C,D在。O上.若NABD=55。，则NBCD的度数为()

3.在平面直角坐标系中，已知点A(-4,2),B(-6,-4),以原点O为位似中心，相似比为!，把△ABO缩小,

2

则点A的对应点A'的坐标是()

A.(-2,1)B.(-8,4)

C.(-8,4)或(8,-4)D.(-2,1)或(2,-1)

4.菱形ABCD中，AB=4,AC=6,对角线AC、相交于点。，以。为圆心，以3为半径作则A、B、C、D

四个点在二。上的个数为()

A.1B.2C.3D.4

5.如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,过点O作EF±AC交BC于点E,交AD于点F,连接AE、

CF.则四边形AECF是（）

A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形

6.某校九年级“诗歌大会”比赛中，各班代表队得分如下（单位：分）：9,7,8,7,9,7,6,则各代表队得分的中位

数是（）

A.9分B.8分C.7分D.6分

7.下列命题是真命题的是（）

A.如果|”|=例，那么a=b

B.平行四边形对角线相等

C.两直线平行，同旁内角互补

D.如果a＞仇那么

8.经过两年时间，我市的污水利用率提高了30%.设这两年污水利用率的平均增长率是X,则列出的关于x的一元二

次方程为（）

A.（1+x）2=1+30%B.%2=1+30%

C.（1+x）2=1-30%D.1+/=1+30%

9.若点例（2力-3）关于原点对称点N的坐标是（-3-a,2）,则。力的值为（）

A.a=-1,/?=1B.a-l,b=-lC.a=l,b=lD.=

10.二次函数y=*2-6x+,"的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1,0）,则另一个交点的坐标为（）

A.（-1,0）B.（4,0）C.（5,0）D.（-6,0）

11.如图，在AABC中，A3两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（―1,0）.以点C为位似中心，在x轴的下方作

AABC的位似，图形A/TB'C,使得A4'B'C的边长是AABC的边长的2倍.设点8的横坐标是-3,则点B'的横坐标

A.2B.3C.4D.5

12.已知三角形两边的长分别是3和6,第三边的长是方程x2-6x+8=0的根，则这个三角形的周长等于（）

A.13B.11C.11或1D.12或1

二、填空题（每题4分，共24分）

13.阅读材料：一元二次方程/一x—6=0的两个根是-2,3,画出二次函数y=x2-x-6的图象如图，位于工轴上

方的图象上点的纵坐标y满足y>0,所以不等式y<0点的横坐标的取值范围是-2<x<3,则不等式6<。

解是—2<x<3.仿照例子，运用上面的方法解不等式—/+4尤—3>0的解是

14.某公司生产一种饮料是由A,B两种原料液按一定比例配成，其中A原料液的原成本价为10元/千克，B原料液

的原成本价为5元/千克，按原售价销售可以获得50%的利润率，由于物价上涨，现在A原料液每千克上涨20%,B

原料液每千克上涨40%,配制后的饮料成本增加了g,公司为了拓展市场，打算再投入现在成本的25%做广告宣传,

如果要保证该种饮料的利润率不变，则这种饮料现在的售价应比原来的售价高元/千克.

15.已知抛物线-X-1与X轴的一个交点为（/72,0）,则代数式--/九+5=.

DE1BF

16-如图,在。"皿中,点E在小边上,若五=，则而的值为

17.二次函数y=-3+取+c的部分图象如图所示，对称轴是直线x=-L则关于x的一元二次方程-x2+bx+c=0的

根为.

18.2018年我国新能源汽车保有量居世界前列，2016年和2018年我国新能源汽车保有量分别为51.7万辆和261万辆.

设我国2016至2018年新能源汽车保有量年平均增长率为x,根据题意，可列方程为.

三、解答题(共78分)

19.(8分)如图，已知AB//8,AD.相交于点E,尸为EC上一点，且/笈4/=/。.

(1)求证：AAFEABFA；

(2)求证：AF?=EF・FB•

20.(8分)如图，在平面直角坐标系X0y中，一次函数y=3x+2的图象与y轴交于点A，与反比例函数y=--(Zr^O)

x

k

在第一象限内的图象交于点B，且点B的横坐标为1.过点A作AC_L),轴交反比例函数y=—(左。0)的图象于点C,

x

连接BC.

(1)求反比例函数的表达式.

(2)求ZVU5c的面积.

21.(8分)为了解九年级学生体育水平，学校对九年级全体学生进行了体育测试，并从甲、乙两班中各随机抽取2()名

学生成绩(满分5()分)进行整理分析(成绩得分用x表示，共分成四组:A30<x<35；B.35<x<40,

C.40<x<45,7).45«xW50)下面给出了部分信息：

甲班20名学生体育成绩:33,35,36,39,40,41,42,43,44,45,45,46,47,47,48,48,48,49,50,50

乙班20名学生体育成绩在C组中的数据是：40,43,41,44,42,41,

甲、乙两班被抽取学生体育成绩统计表

平均数中位数众数方差

甲班43.845.5C24.85

乙班42.5b4522.34

乙班被抽取学生体育成绩扇形统计图

根据以上信息，解答下列问题：

⑴a=,b=c=；

（2）根据以上数据，你认为班（填“甲”或“乙”）体育水平更高，说明理由（两条理由）:

①；

②.

（3）学校九年级学生共1200人，估计全年级体育成绩优秀（x245）的学生人数是多少？

22.（10分）一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其它差别，其中红球有2个，若从

2

中随机摸出一个，这个球是白球的概率为

（1）求袋子中白球的个数；

（2）随机摸出一个球后，不放回，再随机摸出一个球，请结合树状图或列表求两次都摸到相同颜色的小球的概率.

23.（10分）图中的每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫做格点.线段和C。的端点A、B、C.D

均在格点上.

（1）在图中画出以A8为一边的AABE,点E在格点上，使AABE的面积为4,且AABE的一个角的正切值是!；

（2）在图中画出以NDCF为顶角的等腰AOC尸（非直角三角形），点F在格点上.请你直接写出ADCE的面积.

24.（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y=ajr-2ax+4（aWO）.

（1）当a=l时，

①抛物线G的对称轴为x=；

②若在抛物线G上有两点(2,ji),(m,j2)»且户>v，则，〃的取值范围是；

(2)抛物线G的对称轴与x轴交于点M,点M与点A关于y轴对称，将点M向右平移3个单位得到点8,若抛物线

G与线段A8恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围.

J'A

5-

4-

3-

2-

1-

-5-4-3-2-1°12345x

-1-

-2-

-3■

-4-

-5-

25.(12分)如图，在平面直角坐标系中，函数v=K(x>0)的图象与直线y=x-2交于点A(3,m).

x

(1)求k、m的值;

(2)已知点P(n,n)(n>0),过点P作平行于、轴的直线，交直线y=x-2于点M,过点P作平行于y轴的直线，交函数

y=-(x>0)的图象于点N.

X

①当n=l时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；

②若PNNPM,结合函数的图象，直接写出n的取值范围.

26.有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有2个完全相同的小球，分别标有数字0和一2；乙袋中有3个完全相同的

小球，分别标有数字一2,0和1,小明从甲袋中随机取出1个小球，记录标有的数字为x,再从乙袋中随机取出1

个小球，记录标有的数字为y,这样确定了点Q的坐标(x,y).

(1)写出点Q所有可能的坐标；

(2)求点Q在x轴上的概率.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、A

【分析】由题意可知C(0,0),且过点(2,3),设该抛物线的解析式为

y=ax2,将两点代入即可得出a的值，进一步得出解析式.

【详解】根据题意，得

该抛物线的顶点坐标为C(0,0),经过点(2,3).

设该抛物线的解析式为y=ax4

3=ax22.

3

••a=—.

4

•••该抛物线的解析式为y==3x2.

4

故选A.

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，根据题意得出两个坐标是解题的关键.

2、C

【详解】解：连接AD,

是。。的直径，

：.ZADB=90°.

VZABD=55°,：.^BAD=90°-55°=35°,:.NBCD=NBAD=35°.故选C.

【点睛】

本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键.

3、D

【解析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的

比等于k或-k,即可求得答案.

【详解】:•点A(-4,2),B(-6,-4),以原点O为位似中心，相似比为把AABO缩小，

2

...点A的对应点A，的坐标是：(-2,1)或(2,-1).

故选D.

【点睛】

此题考查了位似图形与坐标的关系.此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，

相似比为k,那么位似图形对应点的坐标比等于土k.

4、B

【分析】根据菱形的性质可知，AO=CO=3,OB=OD,AC_LBD,再根据勾股定理求出BO的长，从而可以判断出结

果.

【详解】解：如图，由菱形的性质可得，

AO=CO=3,BO=DO,AC±BD,

在R%ABO中，BO=^AB2-AO2=V7=DO^3,

...点A,C在—。上，点B,D不。在上.

故选：B.

【点睛】

本题考查菱形的性质、点与圆的位置关系以及勾股定理，掌握基本性质和概念是解题的关键.

5、C

【详解】•••在，ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,

.*.AO=CO,ZAFO=ZCEO,

^.,在△AFO和ACEO中，ZAFO=ZCEO,ZFOA=ZEOC,AO=CO,

/.△AFO^ACEO(AAS),

.*.FO=EO,

，四边形AECF平行四边形,

VEF1AC,

•••平行四边形AECF是菱形，

故选C.

6、C

【解析】分析：根据中位数的定义，首先将这组数据按从小到大的顺序排列起来，由于这组数据共有7个，故处于最

中间位置的数就是第四个，从而得出答案.

详解：将这组数据按从小到大排列为：6<7<7<7<8<9<9,故中位数为：7分，

故答案为C.

点睛：本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列,

如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据

的平均数就是这组数据的中位数.

7、C

【解析】根据绝对值的定义，平行线的性质，平行四边形的性质，不等式的性质判断即可.

【详解】4、如果团=网，那么切,故错误；

8、平行四边形对角线不一定相等，故错误；

C、两直线平行，同旁内角互补，故正确；

£>、如果a=l>b=-2,那么a2Vb，故错误；

故选C.

【点睛】

本题考查了绝对值，不等式的性质，平行线的性质，平行四边形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键.

8、A

【分析】设这两年污水利用率的平均增长率是X,原有污水利用率为1,利用原有污水利用率x（1+平均每年污水利用

率的增长率»=污水利用率，列方程即可.

【详解】解：设这两年污水利用率的平均增长率是x,由题意得出：（l+x『=l+30%

故答案为：A.

【点睛】

本题考查的知识点是用一元二次方程解决实际问题，解题的关键是根据题目找出等量关系式，再列方程.

9、A

【分析】根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数得出关于。，A的方程组，解之即可.

【详解】解：点"(2,0—3),N(-3-a,2)关于原点对称，

-3—<7=—2

二<,

[b-3=-2

a=­\

解得：.

b=i

故选：A.

【点睛】

此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键.

10、C

【解析】根据二次函数解析式求得对称轴是x=3,由抛物线的对称性得到答案.

【详解】解：由二次函数-丫=/一6工+〃?得到对称轴是直线工=3,则抛物线与x轴的两个交点坐标关于直线x=3对

称，

•••其中一个交点的坐标为(1,()),则另一个交点的坐标为(5,0),

故选C.

【点睛】

考查抛物线与x轴的交点坐标，解题关键是掌握抛物线的对称性质.

11、B

【解析】设点B，的横坐标为X,然后根据AA，B，C与AABC的位似比为2列式计算即可求解.

【详解】设点B，的横坐标为X,

1•△ABC的边长放大到原来的2倍得到AA，B，C,点C的坐标是(-1,0),

Ax-(-1)=2[(-1)-(-1)],

即x+l=2(-1+1),

解得x=l,

所以点B的对应点B，的横坐标是1.

故选B.

【点睛】

本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比列出方程是解题的关键.

12、A

【分析】首先从方程x2-6x+8=0中，确定第三边的边长为2或4；其次考查2,3,6或4,3,6能否构成三角形，从

而求出三角形的周长.

【详解】解：由方程xZ6x+8=0,

解得：xi=2或X2=4,

当第三边是2时，2+3V6,不能构成三角形，应舍去；

当第三边是4时，三角形的周长为：4+3+6=1.

故选：A.

【点睛】

考查了三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习

惯，不符合题意的应弃之.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、l<x<3

【分析】根据题意可先求出一元二次方程_/+4%-3=0的两个根是1，3,画出二次函数)，=-/+4%-3的图象，

位于x轴上方的图象上点的纵坐标V满足y>0,即可得解.

【详解】解：根据题意可得出一元二次方程一d+4x-3=0的两个根是1，3,画出二次函数旷=-/+4%—3的图象

如下图，

因此，不等式一_?+4%一3>0的解是l<x<3.

故答案为：l<x<3.

【点睛】

本题考查的知识点是二次函数与不等式的解，理解题意，找出求解的步骤是解此题的关键.

14、1

【分析】设配制比例为1：x,则A原液上涨后的成本是10(1+20%)元，B原液上涨后的成本是5(1+40%)x元，

配制后的总成本是(10+5x)(1+，),根据题意可得方程10(1+20%)+5(1+40%)x=(10+5x)(1+-),解可得配

33

制比例，然后计算出原来每千克的成本和售价，然后表示出此时每千克成本和售价，即可算出此时售价与原售价之差.

【详解】解：设配制比例为1：X,由题意得:

10(1+20%)+5(1+40%)x=(10+5x)(1+-),

3

解得x=4,

10x1+5x4

则原来每千克成本为：-:—=1(元)，

1+4

原来每千克售价为：IX(1+50%)=9(元)，

此时每千克成本为：IX(1+-)(1+25%)=10(元)，

3

此时每千克售价为：10X(1+50%)=15(元)，

则此时售价与原售价之差为：15-9=1(元).

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，仔细阅读题目，找到关系式是解题的关键.

15、1

【分析】利用抛物线与x轴的交点问题得到m2-,n-1=0,则m2-m=l,然后利用整体代入的方法计算m2-m+5的值.

【详解】••,抛物线尸炉-工-1与x轴的一个交点为(如0),

m2-m-1=0,即in2-m-\,

.".m2-zn+5=l+5=l.

故答案为：L

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数丁=0?+法+。(a,。，c是常数，a。0)与x轴的交点坐标问题

转化为解关于x的一元二次方程.

3

16、-

2

【分析】由OE、£C的比例关系式，可求出EC、0c的比例关系；由于平行四边形的对边相等，即可得出EC、A5的

比例关系，易证得上ETC。可根据相似三角形的对应边成比例求出BRE尸的比例关系.

.、U切、5DE1EC2

【详解】解：――――>――——；

EC2DC3

四边形ABC。是平行四边形，

:.AB//CD,AB=CD；

.hABF-CEF；

BF_AB

"~EF~~ECX

ABCD_3

~EC~~EC~2'

BF3

——=—.

EF2

3

故答案为：

2

【点睛】

此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质.灵活利用相似三角形性质转化线段比是解题关键.

17、xi=LX2=­1.

【分析】根据二次函数的性质和函数的图象，可以得到该函数图象与X轴的另一个交点，从而可以得到一元二次方程

-x?+bx+c=O的解，本题得以解决.

【详解】由图象可得，

抛物线y=-x2+〃x+c与X轴的一个交点为（T,0）,对称轴是直线X=-1,

则抛物线与X轴的另一个交点为（1,0）,

即当y=0时，0=-x2+〃x+c,此时方程的解是X1=1,X2=-1,

故答案为：Xl=l,X2=-1.

【点睛】

本题考查抛物线与X轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

18、51.7（l+x）2=261

【分析】根据增长率的特点即可列出一元二次方程.

【详解】设我国2016至2018年新能源汽车保有量年平均增长率为x,根据题意，可列方程为51.7（1+X）2=261

故答案为：51.7（l+x）2=261.

【点睛】

此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程.

三、解答题（共78分）

19、（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）根据平行线的性质得NB=NC,然后由两个角对应相等，即可证明两个三角形相似；

AFEF

（2）由（1）AAFE^ABFA,得到——=——,即可得到结论成立.

PBAF

【详解】解：证明：（1）•••AB〃CD（已知），

AZB=ZC（两直线平行内错角相等），

又NEAF=NC（已知），

ZB=ZEAF（等量代换），

又NAFE=NBFA（公共角），

/.△AFE^ABFA（两对对应角相等的两三角形相似）

（2）由（1）得到AAFEs^BFA,

•AF__EF

••一,

PBAF

即AF2=EFFB.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题.

20'（1）y=—i（2）5»此=?

x4

【分析】（1）首先将点B的横坐标代入一次函数，得出其坐标，然后代入反比例函数，即可得出解析式；

（2）首先求出点A的坐标，然后分别求出AC、BD,即可求得面积.

【详解】（1）一次函数y=3x+2的图象过点8,且点3的横坐标为1,

y=3xl+2=5,

•••点8的坐标为（1,5）.

k

点8在反比例函数y二2的图象上，

x

「.々=1x5=5,

二反比例函数的表达式为y=』；

X

（2）—一次函数y=3x+2的图象与y轴交于点A，

..・当x=（）时，y=2,

点A的坐标为（0,2）,

ACJ.），轴，

二点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，是2,

点C在反比例函数y=*的图象上，

X

2时，2=2,解得x=2,

.•.当y=

x2

5

...AC=

2

过8作BO_LAC于。，贝！|3O=%-yc=5-2=3,

:.SMHC^-ACBD^-X-X3^—

AABC2224

【点睛】

此题主要考查一次函数与反比例函数综合应用，熟练掌握，即可解题.

21、（1）a=40力=42.5,c=48；（2）甲，详见解析；（3）估计全年级体育成绩优秀的学生约有570人

【分析】（1）根据C组的人数求得C组所占百分比，从而计算D组所占百分比求a,根据中位数和众数的概念求出c、

心

（2）根据平均数和中位数的性质解答；

（3）用样本估计总体，计算得答案.

【详解】解：（1）C组所占百分比：—xl00%=30%,

20

1-10%-20%-30%=40%,

:.〃=40,

•.•乙组20名学生的体育成绩的中位数是从小到大排序后，第10个和第11个数据的平均数，这两个数在C组，

•.•在甲组20名学生的体育成绩中48出现的次数最多，

，c=48；

（2）甲，理由如下：

①甲班平均分43.8大于乙班平均分42.5,甲班平均水平更高，

②甲班中位数45.5大于乙班中位数42.5,甲班中间水平更高；（答案不唯一，合理即可）

1]1Q

（3）20x40%=8（人），1200x--=570（A）,

40

答：估计全年级体育成绩优秀的学生约有570人.

【点睛】

本题考查了扇形统计图，用样本估计总体及平均数、中位数、众数的计算和意义，利用统计图获取信息时，必须认真

观察、分析，从中得到必要的信息是解题的关键.

7

22、（1）袋子中白球有4个；（2）—

【分析】（1）设白球有x个，利用概率公式得方程，解方程即可求解；

（2）画树状图展示所有30种等可能的结果数，再找出两次摸到颜色相同的小球的结果数，然后根据概率公式求解.

【详解】（1）设袋中白球有X个，由题意得：/一=彳，

2+x3

解之，得：x—4)

经检验，x=4是原方程的解，

故袋子中白球有4个；

(2)设红球为A、B,白球为a,b,c,d,

列举出两次摸出小球的所有可能情况有：

ABa6cd

aabcdKabcdK»bcdABacc/ARoAc/ABaAe

共有30种等可能的结果，其中，两次摸到相同颜色的小球有14种，

147

故两次摸到相同颜色的小球的概率为：P=—=—.

3015

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果

数目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率.

23、(1)画图见解析；(2)画图见解析，1.

【分析】(1)根据AB的长以及AABE的面积可得出AB边上的高为2,再直接利用正切的定义借助网格得出E点位

置，再画出aABE即可；

(2)在网格中根据勾股定理可得出DC2=2Z+42,利用网格找出使CF2=DC2=22+42的点F即可，然后利用网格通过转化

法可求出4CDF的面积.

【详解】解：(1)设^ABE中AB边上的高为EG,则SAABE=，XABXEG=4,

2

又AB=4,.,.EG=2,

IEGI

假设NA的正切值为—，即tanA=-----=—>AG=1>

3AG3

...点E的位置如图所示，^ABE即为所求：

(2)根据勾股定理可得，DC2=22+42,/.CF2=DC2=22+42,

所以点F的位置如图所示，4DCF即为所求；

根据网格可得，ZiDCF的面积=4X4-'X2X4--X2X4--X2X2=1.

222

【点睛】

此题主要考查了应用设计与作图，正确借助网格分析是解题关键.

41

24、（1）①1；②所>2或,“<0；（2）-一VaW——或a=l.

32

b

【分析】（1）当”=1时，①根据二次函数一般式对称轴公式x=-2,即可求得抛物线G的对称轴；

2a

②根据抛物线的对称性求得（2,%）关于对称轴x=1的对称点为（0,X）,再利用二次函数图像的增减性即可求得答案;

（2）根据平移的性质得出A（-1,0）、5（4,0）,由题意根据函数图象分三种情况进行讨论，即可得解.

【详解】解：（1）①,当a=l时，抛物线G：y=ax2-2ax+l（aWO）为：y-x2-2x+4

b-2

抛物线G的对称轴为x=—二=一一=1；

2a2

②画出函数图象：

,在抛物线G上有两点（2,ji）,（.m,j2）»且》2>yi,。=1>0,

①当x>l时，）'随X的增大而增大，此时有加>2；②当x<l时，）'随》的增大而减小，抛物线G上点（2,yJ关

于对称轴x=1的对称点为（0,x）,此时有m<Q.

Am的取值范围是/〃>2或/〃<0;

（2）•.,抛物线G：了="好-2⑪+1（aWO的对称轴为x=l,且对称轴与x轴交于点M

...点M