线性代数期中考试试卷答案

线性代数期中考试试卷&答案

一、单项选择题供10小题，每小题3分，共30分）

1.在下列构成5阶行列式展开式的各项中，取“一”的为（)

al5a23a32a44a5l(B)425a32。44453(C)G21a53115a42134(D)。51。32113。44425

a\\"12a\nannan,n-l…anl

flan-l,nan-l,n-l…0〃-1,1

2.设=~22-%=1,则将其左右、上下翻转，得=)

anlan2anna\nal,n-la\\

(A)l(B)-1(C)(-1)〃(D)2

-1x-11

1100

3.设四阶行列式。,则其中x的一次项的系数为（)

1-1-10

2-1-11

(A)l(B)-1(C)2(D)-2

4.行列式D„=0的一个必要条件是（)

（A）Dn中各行元素之和等于零（B）Dn中有一行（列）元素全为零

（C）Dn中有两行（列）元素对应成比例（D）系数行列式为。"的齐次线性方程组有非零解

5.设皆为〃阶方阵，且A可逆，则下列运算一定正确的是（)

(A){AB)k=AkBk(B)|-A|=-|A|(C)B2-A2=(B+A)(B-A)(D)(A')=(A)1

6.设4,3皆为〃阶方阵，则必有（)

(A)|4B=回|(B)|A-B\=|e-A|(C)A+B|=|A|+|B|(D)卜昨A

Ax0

7.设分块矩阵4=，其中的子块AI,A2为方阵，。为零矩阵，若A可逆，贝IJ（)

A342

(A)Ai可逆,A?不一定可逆（B）%2可逆，Ai不一定可逆（C）AIA2都可逆（D）A142都不一定可逆

021

&用初等矩阵03111,相当于对4进行如下何种初等变换（)

6）

lo1ol24

C「

(A)rxcr2(B)r2—r3(C)%一。2(D)2c3

f1

I22

9.设A为5X3矩阵，且R（A）=2,下三角矩阵尸=734，则我（以）等于（)

I7432

I2424J

(A)l(B)2(C)3(D)5

10.非齐次线性方程组A5X5X=b在以下哪种情形下有无穷多解.（)

(A)R(A)=4,R(A,b)=5(B)R(A)=3,R(A,b)=4(C)7?(A)=4,R(A,b)=4(D)R(A)=5,R(A,b)=5

1

二、填空题（共5小题，每空3分，共15分）

勺100

0%200

1.设孙为内园是四次方程X4+ax3+bx2+c=0的根，则行列式

432%3

570

2.若〃阶下三角行列式％=（〃之2）,则所有元素的代数余子式之和等于.

3.设4,3皆为〃阶方阵，|4|=2,间=3，则卜.

'0100、

，、几0020EI-1

4.设A=，贝lj4-1=

0003

、4000,

'岫alb2…a\bn

a2b2…a2bn

5.设4=引且人也…w0，贝.R（A）=

anb2…anbn,

三、计算题（共5小题，每小题6分，共30分）

1xyz

X1

1.已知四阶爪形行列式=1,求x,y,z

y1

z1

x+1111

1x+111

2.设五次多项式/（%）=11x+111，求：①X5的系数；②%4的系数；③常数项.

11x+l1

111x+l

」234、

2468

3.设四阶矩阵A=,求499

36912

481216

I10°1

4.设A=i0-1-1IB=,利用矩阵的初等变换求矩阵X,使得4X=B.

1012J

23

(11-6口的秩等于2,求大的值.

5.已知矩阵A=|25k

[12-1d

2

四、证明题（共2小题，每小题6分，共12分）

fax^+bx2+ex2+d%4=0

1.设a,AC,a是不全为零的实数，证明：齐次线性方程组|"a一.2+办3-54=°仅有零解.

ICX]—d%2-ax3+b%4=0

[dxi+ex2—匕叼—a%4=0

2

2.设A为〃阶矩阵，KA=A,证明：R(A)+R(E-A)=n.

五、解答题（13分）

（%]+%2+九%3=4

当视何值时，线性方程组J-A+寂2+七无解、有唯一解、无穷多解？当方程组有无穷多解时，求出它的一般解.

[%]-X2+2%3=-4

3

一、单项选择题(10X3=30分)

1.(D)；

解：选项(A)和(B)的行标排列为标准次序，列标排列的逆序数分别为8和4(偶排列)；选项(C)的行标、列标排列都不是标

准次序，调整相乘元素的次序，使行标排列为标准次序，则列标排列的逆序数为6(偶排列)；选项(D)的列标排列为标准次

序，行标排列的逆序数分别为7(奇排列)，故选项(D)正确。

2.(A)；

解：左右翻转，相当于对列进行了为(小1)/2次相邻对换；上下翻转，相当于对行进行了/〃-1)/2次相邻对换。故相邻对换

的次数总共为〃(〃-1),每次对换，行列式反号，由于〃(小1)为偶数，所以行列式的值不变。选项(A)正确。

3.(A)；

100

解：行列式中只有一个x为(1,2)元，若将。按第一行展开，则％的系数就是代数余子式42=(T)l+21-10=1

2-11

4.(D)；

解：前三个选项都是充分条件，即。〃=0U(A)或(B)或(C)；只有(D)是充分必要条件，即。“=0=(D)

5.(D)；

解：选项(A)只有在A乃可交换时才成立；选项(B)错误，应为卜选项(C)也是只有在A,3可交换时才成立；

选项(D)是逆矩阵的运算性质，故选项(D)正确。

6.(A)；

解：选项(A)正确，因为此卜|4卜|5|=卜卜4卜忸|；选项(D)错误，应该是||4卜6卜卜〃.同；选项(B)、(C)不一定成立，

例如,

设则B=1,而k+3卜0,|A—3卜4

7.(C)；

AO

解：由于闺=］，若A可逆心卜o4|Aj|■|A2o,即A卜o且|A20,故AiA2都可逆

P342

8.(B)；

解：用初等矩阵去左乘一个矩阵A,相当于对A作相应的初等行变换，故选项(C)(D)不正确；由于题设初等矩阵是由E作

初等行变换「2一「3得到的，因此选项(B)正确。

9.(B)；

解：显然尸是可逆矩阵，根据矩阵秩的性质，有R(弱)=R(A)=2,选项(B)正确。

10.(C)

解：对于非齐次线性方程组AxH,①有解的充要条件R(A)=R(A,5),[等价命题为：无解的充要条件R(A)wR(A,〃)];

②有唯一解的充要条件是R(A)=R(A,b)=A的列数(即未知量的个数)；

③有无穷多解的充要条件是R(A)=A的列数。

故选项(C)正确。

4

二、填空题（5X3=15分）

1.答案：一c

O02

,由于4,3为方阵，0为零矩阵，于是有叼=

0_-%］%2%384

BB川时;It4

又由于11»%2，%3，%4是％4+ax3+bx2+C=0的根，即（%-％1）（%-%2）（%-叼）（％-％4）=0，由于两式中f的系数皆为1,所以其

它项的系数也必然对应相等，比较常数项，有/%2%3%4=Cf因此，题设行列式的值为—%1%2%3%4=~c,

2.答案：1

解：由于改变某行（列）元素的值，不会改变该元素的代数余子式的值，故

1

1I

将功的第一列元素替换为1,根据行列式展开定理，知第一列元素的代数余子式之和为1I11;将。“的第二

111...1

11

11

列元素替换为1,得第二列元素的代数余子式之和为1110（因为两列相同）；依次类推，其它列元素的代数余

1…1

子式之和为皆为0。因此，所有元素的代数余子式之和为1.

1

1-11

-1

【本题也可按如下方式求解：求出矩阵A11的伴随矩阵4*=|A=A-1,由于

U11TU

A*中的元素就是卜|中各元素的代数余子式，将A*中的元素相加，亦得结果等于11

3・答案:6〃/

解：34*5t=3n4*5一］=3〃•卜*.1一［=3〃・卜尸・卜「=3"-2n-1-3-1=6n-1

।

<00011/4、

1

100；0

4.答案：J=1

01/20•3

1

01/3!0J

为A厂

解：将矩阵A分块,，则逆矩阵为A-O

OO

其中—：001/4

00

4丁=（4尸=Q/4）,因此，A-1

〔3）〔1司1/20

01/3

5

5.答案：1

解：由题设条件知，矩阵A中的元素不等于零,因此A有1阶非零子式；又，A的任意两行（或两列）元素对应成比例，故

所有的2阶子式都等于零。根据矩阵秩的定义,得R(A)=1

三、计算题（5X6=30分）

1.解:

由题设条件，有1-％2一,2一名2=],即—+,2+/=00因此，％=0,y=0,Z=0.

2.解：

2345

是关于％的5次多项式[即f(x)=c0+q%+c2x+c3x+c4x+c5x]

行列式中含％的一般项只有一个：（-1严2345%］。22。33。44。55=（%+l）K故，毛的系数为1；£的系数5.

1111

1111

令X等于零，得常数项为八。）=1111=0

1111

1111

3.解:

[1234

2468

Ag234).

36912ill

481216

冉

I2|

T

若令a111a=(1234),有A=c«z

口3

于是，A99=(aaT)"=(««T)(aaT)(a«T(aaT)=a(aTa)(aTa)--(aTa)aT=a(ara)98aT

-99^--98^

"1234

由于"a=12+2?+3?+4?=30,因此，A99="。。产/=3()98如,=3()984=30982468

36912

、481216

4.解：

100

由于A|=。-1一1=一1工0,故A可逆，于是X=A5.

012

6

r3+r2

r2+丫3

U00j4-5rx(-1)<100;4-5[4

2X

又，(A.B)=0-1-1；12010；-4-70,4—%)。因此，X=A~B=|-4-7|

012：23001：35[35J

5.解:

p1-610I

A=|25kJr-10I

[12-13(3-司

根据以上初等变换所得到的矩阵，知太=3时，R(A)=2;后3时，R(A)=3.

根据题设条件(A)=2,得k=3。

【本题亦可利用矩阵秩的定义求解，即，R(A)=2O任意的3阶子式都等于零。选择一个含左的三阶子式，并令其为零,

可求出k]

四、证明题(2X6=12分)

1.解:

’abcd

记系数矩阵A="一。d一°

c-d—ab

dc—b—a,

2222

【该矩阵的特点是各行元素的平方和皆为a+b+c+d,任意两彳亍对应元素的乘积之和皆为0]

p2+/?2+c2+d2]

rh工T\a2+b2+c2+d2

由于羽=12222

a+b+c+d

[a2+b2+c2+J2J

因此，“卜141=(J+/+J+d2)4

a,6,c,a不全为零，故kf*0o系数行列式|4卜0,根据克拉默法则，方程组只有零解。

【本题还可进一步求出|A|=-(a2+b2+c2+d2)2.这是因为：由=(a2+b2+c2+d2)4，可推出|A|=+(a2+b2+c2+d2)2,

因为。只出现在|A|的主对角线上，容易看出，在|A的展开式中，/的系数应该是-1,所以带正号的结果应舍去】

2.解：

根据矩阵秩的性质，有

R(A)+R(E-A)>R(A+E-A)=R(E)=n•••①

A=A24A(E-A)=O4R(A)+R(E-A)<n…②

综合①②两式结果，n<R(A)+R(E-A)<«,故R(A)+R(E-A)=〃

【本题所用的两个性质分别是：1.R(A+B)<R(A)+R(B)；2.若Ab=O,R(A)+R(5)«A的列数】

7

五、解答题（13分）

解：

对方程组的增广矩阵施行初等行变换

「2+rl

r3-rl

，

11X4>「2»%q1X4]

(A,b)=