打卡第三天-冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练（新高考通用）解析版

【10天刷完高考真题】冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练（新高考通

用）

新高考真题限时训练打卡第三天

一、单选题（本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求）

1.（2020•海南•高考真题）设集合A={2,3,5,7},8={1,2,3,5,8},则Ac5=（）

A.{1,3,5,7}B.{2,3}C.{2,3,5}D.{1,2,3,5,7,

8）

【答案】C

【分析】根据集合交集的运算可直接得到结果.

【详解】因为4，{2,3,5,7},8={1,2,3,5,8},所以A8={2,3,5}故选：C

【点睛】本题考查的是集合交集的运算，较简单.

2.（2020,海南•高考真题）（l+2i）（2+i）=（）

A.4+5iB.5iC.-5iD.2+3i

【答案】B

【分析】直接计算出答案即可.

【详解】（l+2i）（2+i）=2+i+4i+2i?=5i故选：B

【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单.

3.（2020・海南•高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个

村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）

A.2种B.3种C.6种D.8种

【答案】C

【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.

【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有C：C；=3种分法

第二步，将2组学生安排到2个村，有段=2种安排方法

所以，不同的安排方法共有3x2=6种故选：C

【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.

4.（2019•全国•高考真题）设a,夕为两个平面，则a//夕的充要条件是

A.a内有无数条直线与月平行

B.a内有两条相交直线与夕平行

C.a,夕平行于同一条直线

D.a,4垂直于同一平面

【答案】B

【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素

养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断.

【详解】由面面平行的判定定理知：a内两条相交直线都与尸平行是a//4的充分条件，由

面面平行性质定理知，若。///，则a内任意一条直线都与夕平行，所以a内两条相交直线

都与用平行是a//£的必要条件，故选B.

【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，

凭主观臆断，如：“若aua,bu0,al/b,则a〃夕”此类的错误.

5.（2020・山东・统考高考真题）己知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则4PA8

的取值范围是（）

A.（—2,6）B.（—6,2）

C.（—2,4）D.（—4,6）

【答案】A

【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP在"方向上的投影的

取值范围是（-1，3）,利用向量数量积的定义式，求得结果.

【详解】

A8的模为2,根据正六边形的特征，

可以得到AP在AB方向上的投影的取值范围是（-L3）,

结合向量数量积的定义式，

可知AP-AB等于AB的模与AP在4B方向上的投影的乘积，

所以APM8的取值范围是（-2,6），故选：A.

【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点

有向量数量积的定义式，属于简单题目.

6.（2019•全国•高考真题）关于函数f（x）=sin|x|+|sin灯有下述四个结论：

①/W是偶函数②/（力在区间（『）单调递增

③在［f旭有4个零点④/（x）的最大值为2

其中所有正确结论的编号是

A.①②④B.②④C.①④D.①③

【答案】C

【分析】化简函数〃x)=sin|x|+卜inR,研究它的性质从而得出正确答案.

【详解】7(—)=5词-闻+而(-力|=$山区+忖11目=/(》),：./(力为偶函数，故①正确.当

1<x<万时，/(x)=2sinx,它在区间(多兀)单调递减，故②错误.当OVxW万时，

/(x)=2sinx,它有两个零点：()，兀；当一;T<X<0时，/(x)=sin(-x)-sinx=-2sinx,它

有一个零点：-万，故〃x)在[-兀，可有3个零点：-兀，0,兀，故③错误.当

xe[2&n:,2&n:+7r](%€N*)时,/(x)=2sinx；当xe[2左兀+兀，2女兀+2兀](keN")时,

/(x)=sinx-sinx=O,又〃x)为偶函数，\/(x)的最大值为2,故④正确.综上所述,

①④正确，故选C.

【点睛】画出函数/(x)=sin|x|+卜in^的图象，由图象可得①④正确，故选C.

二、多选题(本题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。)

7.(2020•山东•统考高考真题)下图是函数y=sin(3x+@)的部分图像，则sin(3x+@)=()

【答案】BC

【分析】首先利用周期确定。的值，然后确定夕的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导

公式可得正确结果.

【详解】由函数图像可知：q==贝！1闷="=且=2,所以不选A,

2362T71

不妨令69=2,

271-q

当._37+6_51时,y=-l.,.2x—+—+2^（A:eZ）,

“=-2-=豆122

2、

解得：cp=2k兀+§万（攵£Z）,

即函数的解析式为：

y=sin(2x+g乃+24乃)=sin(2x+/+/)=cos(2x+=sin^-2x).

而cos(2x+w)=-COS(N—2x)故选：BC.

【点睛】已知f(x)=Asin(<ox+(p)(A>0,3>0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图

得出，困难的是求待定系数3和tp,常用如下两种方法：

(1)由3=手即可求出3；确定<p时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零

点”横坐标xO,则令(»xO+q>=O(或3x()+<p=7t),即可求出<p.

(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形

解出3和(P，若对A,3的符号或对<p的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

8.(2020•山东・统考高考真题)信息端是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的

取值为1,2,,〃，且P(X=i)=R>0(i=l,2,,〃)5口=1,定义X的信息幅H(X)=£pJog2A.

i=li=l

()

A.若n=l,则H(X)=0

B.若"=2,则H(X)随着Pi的增大而增大

C.若丹=,，=1,2,则H(X)随着"的增大而增大

n

D.若c=2m,随机变量丫所有可能的取值为1,2,,机，且P(，=/)=%+0”"式/=1,2,,加)，

则H(X)<H(Y)

【答案】AC

【分析】对于A选项，求得“(X),由此判断出A选项；对于B选项，利用特殊值法进行

排除；对于C选项，计算出“(X),利用对数函数的性质可判断出C选项；对于D选项，

计算出，(x),〃(y),利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项.

【详解】对于A选项，若”=1,则，,=1，PI=1,所以"(X)=-(lxlog21)=0,所以A选项

正确.

对于B选项，若"=2,贝！|i=l,2,p2=1-p,,

所以"(X)=-[p「log2P1+(l-pJlog2(l—pJ],

当月=：时,W(X)=-^.log2l+llog2^,

当PL?时,/7(X)=-^log21+l-log2^,

两者相等，所以B选项错误.

对于C选项,若Pi=_(i=1,2,,〃)，则

n

=--log,-xn=-log-=logn,

\nnJ2n2

则”(X)随着”的增大而增大，所以C选项正确.

对于D选项，若〃=2机，随机变量y的所有可能的取值为1,2,,加，且P(Y=j)=p.+p2m+l_j

(J=l,2,,m).

2叫1

lo

"(X)=-ZP,•log?Pi=EA-g2—

/=1f=lPi

,1,1,1,1

=P\,'O§2—+〃2.l°g2—++P2gl.1°g2------+。2,〃*l°g2------

P^PlP2m7P2m

H(y)=(R+0m)・log?---+(P2+P2mT).l°g?-------------++(P,“+l0gz------------

Pl+Pin,P-L+Plm-\Pm+P0

,1,1,1,1

=PI-Iog2-----------+p2log2-------------++p2m_l-log,-------------+p2m-log2-----------由于

Pl+P2,„P2+P2MTP2+P2ZPl+P2m

p.>0(z=l,2,,2m),所以一>---------,所以log,一>log2---------------

PiP,+P2,”+IPiPi+Pin^-i

,1,1

所以P,・log?—>0bg2--------------,

PiPi+P2m+1

所以“(x)>”(y),所以D选项错误.故选：AC

【点睛】本小题主要考查对新定义“信息燧”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的

能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.

三、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分，其中第10题第一空2分，第二空3

分)

9.(2020•山东•统考高考真题)将数列｛2n-l｝与｛3n-2｝的公共项从小到大排列得到数列｛m｝,

则S"｝的前n项和为.

【答案13n2-2n

【分析】首先判断出数列｛2〃-1｝与｛3〃-2｝项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新

数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.

【详解】因为数列｛2〃-1｝是以1为首项，以2为公差的等差数列，

数列｛3〃-2｝是以1首项，以3为公差的等差数列，

所以这两个数列的公共项所构成的新数列｛%｝是以1为首项，以6为公差的等差数列，

所以｛《,｝的前〃项和为〃」+若々&MS/-2”，故答案为：3〃2-2”.

【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新

数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.

10.（2020•海南•高考真题）已知正方体ABCD-4&G5的棱长为2,M、N分别为B&、AB

的中点，则三棱锥4MMs的体积为

【答案】:

【分析】利用%一'皿=外."计算即可.

因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M、N分别为BB1、AB的中点

所以匕=%-丽=gxgxlxlx2=g

故答案为：g

【点睛】在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些.

四、解答题（本题共3小题，共34分，其中第11题10分。解答应写出文字说明、证明过

程或演算步骤。）

11.（2020・海南・高考真题）已知公比大于1的等比数列｛《,｝满足%+4=20,4=8.

（1）求｛““｝的通项公式；

（2）求4%-〃2。3+…+（T）"1anan+l-

o,2“+3

【答案】（1）q=2";（2）|-（-Dw^y-

【分析】（1）由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确

定数列的通项公式；

（2）首先求得数列］（-1厂'。“。用｝的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项

和即可.

【详解】（1）设等比数列｛%｝的公比为q（q>l）,则卜+%；R+"W=20,

%=qq=o

整理可得：2/-5q+2=0,

q>l,q=2,%=2,

数列的通项公式为：4=2•2"-'=2".

+112+,

(2)由于:(-ifa„an+l=(-ifx2"x2"=(-if2",故:

1

«,«2-a2a3+...+(-1)"-anan+l

=23-*25*+27*-29+...+(-1),,-1-22n+i

I一22)

【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于

熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的

基础.

12.（2020・山东.统考高考真题）如图，四棱锥P-ABCZ）的底面为正方形，PD0底面ABCZ）.设

平面PAD与平面PBC的交线为I.

（1）证明：应平面PZJC；

（2）已知PO=AO=1,。为/上的点，求PB与平面QC。所成角的正弦值的最大值.

【答案】（1）证明见解析；（2）见.

3

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证得4），平面PDC,利用线面平行的判定定理以

及性质定理，证得A£>///,从而得到/上平面产。C；

（2）方法一:根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点,

之后求得平面QCO的法向量以及向量P8的坐标，求得卜。$<"〃8>|的最大值，即为直线尸3

与平面Q8所成角的正弦值的最大值.

【详解】（1）证明：

在正方形中，AD//BC,因为平面PBC,8Cu平面PBC,

所以〃平面PBC,又因为AOu平面PAO,平面R4£»c平面P8C=/,

所以4）/〃，因为在四棱锥P-A8CD中，底面A8CD是正方形，所以A。DC,.」，OC,且

产。,平面ABC£>,所以A。，？。.」，加，

因为CDPD=D,所以/，平面P£）C.

(2)［方法一］【最优解】：通性通法

因为£>P,ZM,OC两两垂直，建立空间直角坐标系。-孙z,如图所示:

因为叨=AD=1,设。((),0,0),C(0,1,0),A(l,0,0),P(0,0,1),0),

设。(肛0,1),则有DC=(0,1,0),DQ=(m,0,l),PB=(l,l-1),

设平面的法向量为n=(x,y9z),

猊:即仁…

令X=］,贝”=-，"，所以平面。8的一个法向量为"=(1,0,-根)，则

1+0+

cos<PB>=

HM+1

根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦

ruur|1+"2|

值，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值等于Icos<4PB>|=

6JnF+1

g收音考乒考庠考g咚当且仅当会时取

等号，所以直线总与平面QC。所成角的正弦值的最大值为好.

3

［方法二］:定义法

如图2,因为/u平面PBC,Qel,所以Qe平面PBC.

图2

在平面PQC中，设PBQC=E.

在平面PAQ中，过P点作PF_L。。，交。。于F,连接EF.

因为PD_L平面ABCROCU平面ABCD,所以DCJLPD.

又由。CJ.AZ),A£)PO=O,POu平面尸相＞,ADu平面PAD,所以。C_L平面PAD.又

PFu平面PAD,所以。C_LPF.又由。C=2Q。u平面QOC,。Cu平面

QDC,所以PF_L平面。DC,从而4EP即为PB与平面QC。所成角.

设PQ=a,在△尸。/)中，易求。尸

由VPQE与双相似，得群震寸可得汨瞥

所以si"/号J=g方舟争当且

仅当4=1时等号成立.

［方法三］:等体积法

如图3,延长C8至G,使得8G=PQ,连接GQ,GD,则P8//QG,

过G点作GML平面QOC,交平面QDC于M,连接QM,则

NGQM即为所求.

设PQ=x,在三棱锥Q-OCG中，

VQ.DCG=^PD-CD(CB+BG)=^(1+X).

在三棱锥G-QDC中，20c=^GM-CDQD=^GM-V177.

由其-DCG=%-0£>C得1（1+X）=2Ji+3,

o32

14-y

解得<y/2,

yjl+x2

当且仅当x=l时等号成立.

在此△尸D8中，易求PB=6=QG,所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值

为sinZMQG=

【整体点评】(2)方法一：根据题意建立空间直角坐标系，直线PB与平面QCD所成角的

正弦值即为平面QC。的法向量〃与向量P8的夹角的余弦值的绝对值，即再

根据基本不等式即可求出，是本题的通性通法，也是最优解；

方法二：利用直线与平面所成角的定义，作出直线PB与平面QCD所成角，再利用解三角

形以及基本不等式即可求出；

方法三：巧妙利用P8〃QG,将线转移，再利用等体积法求得点面距，利用直线PB与平面

QCD所成角的正弦值即为点面距与线段长度的比值的方法，即可求出.

13.（2020•山东・统考高考真题）已知椭圆C：4+卫=1（。>/,>0）的离心率为更，且过点

a-bl2

A（2,l）.

（1）求C的方程：

（2）点/，N在C上，且AM1.4V,AD^MN,。为垂足.证明：存在定点。，使得

为定值.

【答案】（1）［+4=1；（2）详见解析.

o3

【分析】（1）由题意得到关于。,仇。的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.

（2）方法一：设出点M,N的坐标，在斜率存在时设方程为丫="+，”，联立直线方程与椭

圆方程，根据已知条件，已得到机#的关系，进而得直线MN恒过定点，在直线斜率不存在

时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q的位置.

也

a2

41

【详解】（1）由题意可得：—+77=1,解得：片=6万=/=3,

a~b~

a2=b2+c2

故椭圆方程为：4+v=i-

o3

（2）［方法一］:通性通法

设点”（芭,3）,阳毛,％）,

若直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为：y=kx+m,

代入椭圆方程消去》并整理得：（1+2/卜2+4hnx+2病-6=0,

4km2m2-6

可得N+x=-

21+2/~\+2k2

因为AMJ.4V,所以AM.AN=0，即（芯一2）（/-2）+（乂-1）（%-1）=。,

根据X=g+〃?,％=小+加，代入整理可得：

2

（&2+1）工］工2+（〃加_后_2）（工］+x2）+（/w-l）+4=0,

所以+（袖T-2）（-7^T）+（〃IT）2+4=0,

1।4Ky1十乙K）

整理化简得（2Z+3帆+1）（2%+加-1）=0,

因为4（2,1）不在直线上，所以歌

故2女+3，〃+l=0,k*l,于是MN的方程为y=^(x-g)-g仅片1),

所以直线过定点直线过定点P

当直线MN的斜率不存在时，可得"(不,-乂)，

由AAT4N=0得：(百-2)(%1-2)+(y)-1)=0,

得(玉一2y+l-y；=0,结合J+［=i可得：3X,2-8X,+4=0,

解得：占=：或月=2(舍).

32

此时直线MN过点?

令Q为”的中点，即

若。与「不重合，则由题设知4P是RtAADP的斜边，故口口=/4尸|=手，

若力与P重合，则pQ|=g|AP|,故存在点。色4)，使得|92)为定值.

［方法二］【最优解】：平移坐标系

将原坐标系平移，原来的O点平移至点A处，则在新的坐标系下椭圆的方程为

在上生+包位=1,设直线MN的方程为m+犯，=4.将直线MV方程与椭圆方程联立得

63

工2+4x+2)a+4)=0,BPx2+(nvc+ny)x4-2y2+(mx+ny)y=0,化简得

(〃+2)y2+(/n4-ri)xy+(1+nt)x2=0,即(〃+2)(工)+(加+〃)())+(1+优)=0.

设M(%，X),N(X2，%)，因为则怎"匹="^=一1,即m=-〃一3.

%x2n+2

代入直线MN方程中得〃(y-x)-3x-4=0.则在新坐标系下直线MN过定点则

在原坐标系下直线MN过定点P

又ADLMN,D在以4P为直径的圆上.AP的中点j即为圆心Q.经检验，直线MN垂

直于x轴时也成立.

故存在使得|DQ|=g|”|=孚.

［方法三］:建立曲线系

A点处的切线方程为竽+学=1,即x+y-3=0.设直线M4的方程为3-y-2K+i=0,

63

直线MB的方程为何x-y-2&+l=0,直线MN的方程为履-y+〃?=0.由题意得尢？&-1.

则过A,M,N三点的二次曲线系方程用椭圆及直线M4,"8可表示为

<22、

—+-24+1）（221一,-222+1）=0（其中丸为系数）.

、63）

用直线MN及点A处的切线可表示为"（丘-），+帆）•*+¥-3）=。（其中〃为系数）.

/22、

即F——1+九y—2k［+y—2公+1）=〃（"一y+zzz）（x+y—3）.

I63J

对比个项、x项及y项系数得

」（1+3=〃（1T）,①

<2（4+4+/）=〃（加-3%）,②

22（^+22-1）=〃（帆+3）.③

21

将①代入②@,消去4〃并化简得3w+24+1=0,即根=

故直线MN的方程为y"x-gj-g,直线MN过定点又