2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试（新高考专用）对数与对数函数 含解析

专题11对数与对数函数

知考纲要求

识考点预测

梳常用结论

理方法技巧

题型一：对数的化简与求值

题型二：对数函数的图象及应用

题题型三：对数型复合函数的综合问题

型题型四：比较指数式、对数式大小

归题型五：解对数方程、不等式

类题型六：对数函数性质的综合应用

训练一：

培训练二：

优训练三：

训训练四：

练训练五：

训练六：

强单选题：共8题

化多选题：共4题

测填空题：共4题

试解答题：共6题

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.

2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解

对数函数的单调性与特殊点.

3.了解指数函数y=a1c与对数函数夕=logd（a>0,且aW1）互为反函数.

【考点预测】

1.对数的概念

如果c，=M">0，且aWl),那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=log〃N,其中“叫做对

数的底数，N叫做真数.

2.对数的性质、运算性质与换底公式

⑴对数的性质：①。睢。"=乂②log，=b(a>0,且aWl).

(2)对数的运算性质

如果a>0且aWl,。0,N>0,那么

①=log“M+logaN；

②log«¥=log»〃-lOgaN；

③logaM1=eR).

(3)换底公式：logab=及域(a>0,且aWl,b>0,c>0,且cWl).

logca

3.对数函数及其性质

(1)概念：函数y=logax(a>0,且aWl)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+°°).

(2)对数函数的图象与性质

a>\0<a<l

y

\『1）=l°g,AX=1

（））

图象■,

oM（i,o）^o

1

y=iogrtx

定义域：(0,+8)

值域:R

当x=l时，y=0,即过定点(1,0)

性质

当x>l时，歹>0；当x>l时，y<0；

当0<%<1时，产0当0<x<l时，y>0

在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数

4.反函数

指数函数歹=a(a>0,且aWl)与对数函数月典(心0,且aWl)互为反函数，它们的图象关

于直线工对称.它们的定义域和值域正好互换.

【常用结论】

1.换底公式的两个重要结论

(l)log“b=--―(<2>0,且aWl；h>0,且bWl).

logftfl

（2）logm/>rt=—log«/）（<7>0,且a#l；b>0；m,”CR,且加WO）.

flm

2.对数函数的图象与底数大小的比较

如图，作直线丁=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.■>'[

故OVcVdVIVaVb.d^''x'y=X

由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.潟]

【方法技巧】

1.在对数运算中，先利用赛的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数球的形式，使赛的底

数最简，然后用对数运算法则化简合并.

2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对

数真数的积、商、寐再运算.

3d=Ncb=kgaN（a>0,且aWl）是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互

化.

4.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最

高点、最低点等）排除不符合要求的选项.

5.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

6.利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三

方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是

复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分

类讨论、转化与化归思想的应用.

二、【题型归类】

【题型一】对数的化简与求值

【典例1】（1）计算log535+21og/—logs2—log514的值.

1

⑵计算（log2125+log425+log85Wog1258+Iog2s4+logs2）的值.

（3）设x,y,z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则髻+髻的最小值为

41gxIgy

as义so

【解析】（1）原式=log5—――F210g22=logs53—1=2.

1

2

31og25+log25+-log251,,13

b33JJ(log52+log2+log2)=ylog5X31og2=13.

(5525

(3)因为x,y,z均为大于1的实数，所以lgx>0,lgy>0,lgz>0,又由z为x和y的等比中项，

可得Z2=中.生+忠=联X蚓虫=L附义期位=(二+1二⑷.+联)=

-41grIgy4lgxXlgy2-41gxXlgy81gxXlgy

4(Igva+SlgxXlgy+agya,gigyXigyMg故填2

81gxXIgy81grXlgy88

【典例2】⑴计算(Ig2>+lg2-lg50+lg25的值；

(2)计算(log32+log92)(log43+log83)的值;

(3)设函数力(x)=x,%(x)=log2oi5X,a,=2015^=1,2''20”),记人=族(。2)—4(切)|+麻(。3)

—fi(a2)\H-----1■依42015)-A(a2014)|，k=1,2,贝|J()

A.h<h

B.7I=；2

C.I\>h

D./l与/2的大小关系无法确定

【解析】⑴原式=Qg2)2+(l+lg5)lg2+lg52

=(lg2+lg5+l)lg2+21g5

=(1+I)lg2+21g5=2(lg2+lg5)=2.

=31g2)〈51g3=5

21g361g24'

(3)・"3+i)-/i3)='±l———=^—,

-7201520152015

・•♦/|=%(。2)一力(。1)|+%(。3)一力(。2)|+…+忻(々2015)一力(。2014)|

=I2015X2014=^^.

I2015

-

V^(a,+1)—/2(ad=lOg20157^T7Iog2015—=log20i5^-^->0,

20152015i

•**h=1^(^2)~fl(a|)1+1/2(^3)―/2(^2)|H--H力52015)一力(〃2OI4)|

臼为…义鸣

=log20i5U22014j=log20i52015=l.

V/2.故选A.

【典例3］设2a=5b—m,.0.-+-=2,则m等于（）

ab

AA/IOB.10C.20D.100

【解析】2a=5b=m,

，log2"?=a,logs"?=b,

.*.-+7=-^---F——=log,”2+log„,5

ablog2/nlogs/M

=log,„10=2,

"产=10,

.♦.〃?=o（舍用=-71o）.

故选A.

【题型二】对数函数的图象及应用

【典例1】已知函数/（x）=log“（2x+6—1）0>0,且aWl）的图象如图所示，贝Ua,b满足的关系

是（）

A.0<晨|<*1

C.Q<b“<1D.0<晨1<6r<1

【解析】由函数图象可知，/（X）为增函数，故4>1.函数图象与y轴的交点坐标为（0,log滴），由

函数图象可知一l<log“b<0,解得1<X1.综上有0<lxi.故选A.

aa

【典例2】若方程牛=皿在（°,:上有解，则实数。的取值范围为.

【解析】

、（0,1]（0」、

若方程4'=logd在I2」上有解，则函数y=4工和函数夕=logox在I2」上有交点，

0<67<1,

由图象知'logjw2,解得—吟

Jf

Iy-iog^

【典例3】已知Xi,X2分别是函数/3)=已1+》-2,g(x)=lnx+x—2的零点，则9+111X2的值

为()

A.e2+ln2B.e+ln2

C.2D.4

【解析】根据题意，已知xi,X2分别是函数7(x)=e'+x—2,g(x)=lnx+x—2的零点，

函数/(x)=er+x—2的零点为函数的图象与y=2-x的图象的交点的横坐标，

则两个函数图象的交点为(xi,e』)，

函数g(x)=lnx+x—2的零点为函数y=lnx的图象与y=2—x的图象的交点的横坐标，

则两个函数图象的交点为(X2,lnx2),

又由函数>=9］与函数y=lnx互为反函数，其图象关于直线y=x对称，

而直线y=2—x也关于直线夕=x对称，则点(xi,e』)和(乃，lnx2)也关于直线歹=x对称，则有

xi=lnx2,则有e*+lnx2=e*'+xi=2.

【题型三】对数型复合函数的综合问题

【典例1］已知函数兀v)=log(X2—2ax+3).

1

(1)若_/U)的定义域为R,求实装。的取值范围；

(2)若函数/(x)的值域为R,求实数a的取值范围；

(3)若函数/(x)在［-1,+8)内有意义，求实数a的取值范围;

(4)若函数/U)的值域为(-8,-1］,求实数。的值.

【解析】(1)由/(X)的定义域为R,

知/一2"+3>0的解集为R,

则/=4/-12<0,解得一

.♦.a的取值范围为(一心，3).

22

(2)函数/(x)的值域为R等价于u=x—2ax+3取(0,+8)上的一切值，所以只要wmin=3—a

W0=aW—3或

所以实数a的取值范围是(-8,S］U瓜+oo).

(3)由危)在［-1,+8)内有意义,

知u(x)=x2—2ax+3>0对1,+8)恒成立，

因为y=〃(x)图象的对称轴为x=a,

所以当aV—l时，w(x)min=w(-l)>0,

LV—1,

即，解得一2V〃V—1；

|2^+4>0,

当42一1时，〃(X)min=M(4)=3一即一所以一3.

综上可知，a的取值范围为(-2,回

(4)因为y=/(x)W—1,所以〃(x)=x2—2℃+3的值域为［2,4-°°),

又M(X)=(A—a)2+3-a2^3—a2,

贝U有M(X)min=3—fl2=2,

解得。=±L

【典例2】已知函数,/(x)=log4(ax2+2x+3).

(1)若<1)=1,求加)的单调区间;

(2)是否存在实数a,使火x)的最小值为0?若存在，求出。的值；若不存在，说明理由.

【解析】(1)：/(1)=1,

/.log4(a+5)=1,因此a+5=4,.\a=—1,

这时.危)=log4(—x2+2x+3).

由一x2+2x+3>0得—1Vx<3,

工函数作)的定义域为(一1,3).

令M(X)=—x2+2x+3.

则〃(x)在(一1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，

又y=log4“在(0,+8)上单调递增，

所以/(X)的单调递增区间是(一1,1),单调递减区间是(1,3).

(2)假设存在实数a,使火x)的最小值是0,

则//(x)=ar2+2x+3应有最小值1,显然aWO,

4>0,

因此应有4“X3—22_3a—li解得a=L

------------------1，2

14〃a

故存在实数a=g使./(X)的最小值等于0.

【典例3】已知函数/(x)=log“^一吆是奇函数(a>0,aWl).

%—1

(1)求加的值；

(2)判断危)在区间(1,+8)上的单调性；

(3)当a=g时，若对于［3,4］上的每一个x的值，不等式/(》)>吩+6恒成立，求实数6的取值

范围.

【解析】(l)；/(x)是奇函数，

:小—X)=一火x)在其定义域内恒成立，

11+/HX11—mx

即lOga------=-log”------,

-X—1X—1

/.1—根2/=1—X2恒成立，

m=—\或〃?=1(舍去)，即m=~\.

x+1

(2)由(1)得/(x)=log,/---(a>0,1),

x—1

y-|-10

令“=---=H-----,则〃在(1,+8)上为减函数.

X-1x—1

...当时，./(X)在(1,+8)上是减函数；

当0<a<l时，危)在(1,+8)上是增函数.

(3)对于［3,4］上的每一个x的值，不等式卜+b恒成立=/^)一(}>6在［3,4］上恒成

立.

令g(x)=/(x)一吩，

由(2)知，g(x)在［3,4］上是单调递增函数,

9

所以6Vg(X)min=g(3)=一&,

O

即人的取值范围是卜j一j

【题型四】比较指数式、对数式大小

【典例1】设a=log3e,b=e'-5,c=logj,贝女)

34

A.b<a<cB.c<a<b

C.c<b<aD.a<c<b

【解析】c=log,-=log34>log3e=a.

34

又c=log34<log39=2,b—e'5>2,

/.a<c<h.

故选D.

【典例2】设a=log63,Z>=logi26,c=log2412,则()

A.h<c<aB.a<c<b

C.a<b<cD.c<b<a

【解析】因为m6,c都是正数，

所以'=log36=1+log32,

a

7=log612=l+log62,

b

-=logi224=1+logi22,

c

因为iog32=*q,

lg3

log62=$|,

lg6

1。臼22=踪,且Ig3<lg6<lgl2,

lg12

所以Iog32>log62>log|22,

即

abc

所以a<6<c.故选C.

【典例3】设a=k)g412,b=log515,c=log618,则()

A.a>b>cB.b>c>a

C.d>c>bD.c>b>a

【解析】a=l+log43,&=l+log53,c=l+log63,

*.*Iog43>logs3>log63,a>b>c.

故选A.

【题型五】解对数方程'不等式

［典例1】方程log2（x_1）=2—log2（x+1）的解为.

【解析】原方程变形为1og2（x—D+log2（x+l）=log2（x2—1）=2,即1=4,解得x=±\'5,又

X>1,所以x=3.

【典例2】已知不等式log,(2x2+l)<logr(3x)<0成立，则实数X的取值范围是

0<x<l,

【解析】原不等式。①

2x2+1>3X>1,

或②（x>l+,1<3凶

解不等式组①得卜不等式组②无解.

所以实数x的取值范围为8,H

【典例3】若log“(a+l)<log〃(2^)<0(a>0,aWl),则实数。的取值范围是

【解析】依题意log"(a+l)<log“(2U)<log"l,

.d>\,0<a<l,

a+l<2^/a<la+1>2\a>1,

解得

4

【题型六】对数函数性质的综合应用

【典例1】设函数段)=ln|2x+l|Tn|2xT|,则於)()

A.是偶函数，且在匕’十弓上单调递增

B.是奇函数,且在(一59上单调递减

C.是偶函数,且在I一8'―3上单调递增

D.是奇函数，且在(-8'—9上单调递减

I•

【解析】/(x)=ln|2x+1|-ln|2x—1]的定义域为卜「2J.

又/(_x)=ln|-2x+1|

=ln|2x—1|-Ln|2x+1|=~/(x),

••JU)为奇函数，故排除A,C.

f-oo-1]

当'2J时，

—2x-1

/(x)=ln(-2x—1)-ln(l-2x)=ln-------

l—2x

,2x+lJ"产7]

=ln-----=lnl2x-1J,

2x—I

Vy=H"——在(一8'T上单调递减，

2x-1

二由复合函数的单调性可得兀Q在1-8,―J上单调递减.

【典例2】若«c)=lg(x2—2办+1+0在区间(-8,1]上单调递减，则。的取值范围为()

A.[1,2)B.[1,2]

C.[1,+0°)D.[2,+8)

【解析】令函数g(x)=/—2ax+l+a=(x—a)2+l+a—a2,对称轴为》=4,要使函数./(x)在

(-8,1]上单调递减，则有占[即<解得lWa<2,即武口,2).

,a—])X*~-4—2。x^-1

【典例3]已知函数4)=•',"'若段)的值域为R,则实数。的取值范围

.1+log2X,Q1,

是____________

【解析】当时，y(x)=l+log2X》l,当x<l时，,及r)=(a—l)x+4—2〃必须是增函数，且

a—1>0,

最大值大于或等于1才能满足/(x)的值域为R,可得，

a—1+4—2心1,

解得「6(1,2].

三、【培优训练】

【训练一】已知k>g"(a+l)<log("+i)a(a>0且aWl),则a的取值范围是.

【解析】log«(a+1)—log(a+1)a

_lg(a+l)Iga

Igalg(a+l)

^lg2(a+l)—lg2a

lgalg(a+l)

=[lg(a+1)—lga][lg(a+l)+lga]

lgdg(a+l)

当a>l时,lg(a+l)>lga>0,

...10go(a+l)>log(“+i混，不符合题意;

当0<a<l时，lga<0,lg(a+1)>0,

lg(a+l)—lga=lg竺H>lg1=0,

a

lg(a+l)+lga=lg[a(a+l)]

lo&(a+l)<log(a+1)a(0<<7<l)

即为igL

由于y=lgx(x>0)单调递增,

4

又0<a<l,解得二<a<l,

12"

J

综上有a的取值范围是I2').

【训练二】已知函数/(x)=10g2(2、+k)(keR).

(1)当％=—4时，解不等式_/(x)>2；

(2)若函数/(x)的图象过点P(0,l),且关于x的方程/(x)=x—2〃?有实根，求实数m的取值范围.

【解析】⑴当k=-4时，麻)=k>g2(2*-4).

由山)>2,

得log2(2A—4)>2,

得2*—4>4,

得2>8,

解得x>3.

故不等式/(x)>2的解集是(3,4-0°).

(2)因为函数兀口=log2(2'+女)(〃eR)的图象过点尸(0,1),

所以/(0)=1,

即10g2(l+k)=1,

解得无=1.

所以/(x)=log2(2v+l).

因为关于X的方程/(x)=x—2”?有实根,

即log2(2*+1)=X—2〃7有实根.

所以方程一2〃?=log2(2x+1)—X有实根.

令g(x)=l。g2(2x+l)一x,

则g(x)=log2(2x+l)—X

=log2(2v+1)—log22v

=1噌*41+3

2X

因为logzl+zj>。,

2A

所以g(x)的值域为(0,+°°).

所以-2加>0,

解得加<0.

所以实数加的取值范围是(一8,0).

V-1

【训练三】已知函数兀0=1或1.

⑴计算：/(2020)+/(-2020)；

(2)对于xe[2,6],/(x)<lg——;恒成立，求实数〃?的取值范围.

(x+1)(7—%)

1

【解析】(1)由一；一>0,得x>l或X<—1.

x+1

二函数的定义域为{冲>1或x<-1}.

p-x1+A1

又/(x)+7(_x)=lgll+x1—AJ=O,

.,贝x)为奇函数.

故/(2020)+/-2020)=0.

(2)当xe［2,6］时，,A%)<lg~;恒成立可化为三:二、恒成立.

(x+1)(7—x)1+x(x十1)(7—x)

即m>(x—1)(7—x)在［2,6］上恒成立.

又当xG［2,6］时，(x-l)(7-x)=-x2+8x-7=-(x-4)2+9.

.,.当X=4时，［(x-l)(7—x)］max=9,/.W>9.

即实数”的取值范围是(9,+8).

【训练四】设函数/⑴的定义域为。，若满足:①/⑶在。内是单调增函数;②存在

使得/㈤在［加，山上的值域为阿，n］,那么就称N=/(x)是定义域为。的“成功函数”.若函数

8(幻=108°(0+0(。>0且qWi)是定义域为R的“成功函数”，则/的取值范围是()

AF3BFI

C卜8,JDLT

【解析】因为g(x)=l0go(a」+f)是定义在R上的“成功函数”，

所以鼠x)为增函数，且g(x)在［加，网上的值域为［"?,〃］,故g(加)="?,g(〃)=〃，

即g(x)=x有两个不相同的实数根.

又loga(a2v+/)==x,即a2v—a*+/=0.

令s=a>5>0,

即s2-s+/=0有两个不同的正数根，

［/>0,

可得

|j=l—4/>0.

解得0<Z<7.

4

【训练五】已知/(x)=|lgx|一"一2,给出下列四个结论:

(1)若攵=0,则崖)有两个零点;

(2)SK0,使得/(x)有一个零点；

(3月4<0,使得义x)有三个零点；

(4方人>0,使得/(X)有三个零点.

以上正确结论的序号是.

【解析】零点个数问题，转化成两个函数图象的交点个数来分析.

令/(x)=|lgx|—Ax—2=0,

可转化成两个函数yi=|lgx|,yi—kx+2的图象的交点个数问题.

对于(1),当％=0时，竺=2与川=|lgx|的图象有两个交点，(1)正确；

对于(2),存在上<0,使户=履+2与yi=|lgx|的图象相切，(2)正确；

对于(3),若Z<0,y=|lgx|与户=依+2的图象最多有2个交点，(3)错误；

对于(4),当A0时，过点(0,2)存在函数g(x)=lgx(x>l)图象的切线，此时共有两个交点，当

直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故(4)正确.

【训练六】已知函数y(x)=3—21ogzr,g(x)=log2X.

(1)当x£[l,4]时,求函数/?(x)=[/(x)+1g(x)的值域；

(2)如果对任意的xW[l,4],不等式/(炉)：/(4)>左.g(x)恒成立，求实数左的取值范围.

【解析】(l)//(x)=(4—21og2X)k)g2X

=2—2(log2X-I)2.

因为x£[l,4],所以log2xW[0,2],

故函数6(x)的值域为[0,2].

(2)由^

得(3—41ogjx)(3—log2%)>A:log2X,

令f=log2X,因为x£[l,4],

所以t=log2xe[0,2],

所以(3—4。(3kf对一切/e[0,2]恒成立，

①当1=0时，左右R；

②当fd(0,2]时，k<-—°~。—恒成立，即&<4/+?—15,

tt

因为4/+9212,当且仅当々=9,即f=3时取等号，

tt2

Q

所以4H----15的最小值为-3.

t

所以上<一3.

综上，实数上的取值范围为(一8,-3).

四、【强化测试】

【单选题】

1.已知4=log20.2,b=2°-2,c=0.2°3,则（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

03

【解析】Va=log20.2<0,b=2°2>l,c=0.2E(0,l),；.a<c<b.故选B.

2.若函数夕=/(x)是函数夕=倒4>0,且的反函数且./(2)=1,则/(x)等于()

A.log2rB.-C.log,xD.2X~2

2、5

【解析】函数尸心>0,且aWl)的反函数是./(x)=k)g“x,

又负2)=1,即log“2=l,

所以<7=2.

故_/(x)=log2X.故选A.

3.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足加2一如

=jigI1,其中星等为侬的星的亮度为&《=1,2).已知太阳的星等是一26.7,天狼星的星等

是一1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为()

A.10101B.10.1C.1g10.1D.10~l0J

【解析】由题意可设太阳的星等为加2,太阳的亮度为良，天狼星的星等为"小天狼星的亮度

为Ei,则由W2-/Mi=|lg得一26.7+L45=[lg与，则21g—25.25,lg—10.1,

2Ei2石22£2Ei

1g坨=10.1,.•.坨=KT。」.故选A.

EiEi

4.若函数/(x)=log“(x+b)的图象如图所示，其中a,b为常数，则函数g(x)=^+b的图象大

致是()

【解析】由野)的图象可知0<«<1,0<力<1,

.•.g(x)的图象应为D.

5.设函数/)=10goix|在(一8,0)上单调递增，则人。+1)与42)的大小关系是()

A.9+1)次2)B.加+1)42)

C.,/(a+l)=/(2)D.不能确定

【解析】由已知得所以又易知函数/(X)为偶函数，故可以判断危)在(0,

+8)上单调递减，所以/3+1)>/(2).故选A.

6.若函数y=k)g“(x2—依+1)有最小值，则a的取值范围是()

A.B.0<a<2,aWl

C.l<a<2D.a22

【解析】当a>l时，y有最小值，则说明/一℃+1有最小值，故/一依+1=0中/<0,即序

一4<0,所以2>心1.

当0<。<1时，y有最小值，

则说明x2-ax+l有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去.综上可知，故选C.

7.已知函数｛X)=log3(9x+l)+/MX是偶函数，则不等式7(x)+4x<log32的解集为()

A.(0,+°°)B.(1,+8)

C.(—8,0)D.(—8,1)

【解析】由.信)=10醺3+1)+〃LV是偶函数，得/(—x)=/(x),即Iog3(9r+l)+〃7(—X)=log3(3

+1)+/MX,变形可得加=一1,

即Hx)=log3(9'+l)—x,设g(x)=/(x)+4x=log3(9'+l)+3x,易得g(x)在R上为增函数，且g(0)

=log3(90+1)=log32,则/(x)+4x<log320g(x)<g(0),则有x<0,即不等式的解集为(一8,。).故

选C.

2l~x,xWl

8.设函数/)=,'、’则满足y(x)W2的X的取值范围是()

,1—log2X»x>l,

A.[-1,2]B.[0,2]

C.[1,+0°)D.[0,+°0)

【解析】当xWl时，2LxW2,解得x20,所以OWxWl;当x>l时，1—log2%W2,解得

所以x>l.综上可知x20.故选D.

【多选题】

9.已知a,b>0且aWl,bWl,若log°b>l,则()

A.(a—l)(a—Z))<0B.(a—l)(a—Z?)>0

C.(b—1)(6—a)<0D.(b—1)(6—a)>0

【解析】①当a>\时，log(J/»l=log«a,

Ab>ay/.b>a>\,

(a—l)(a—Z>)<0.

②当01时,\ogab>1=lo&a,「・b<a,

/.0<b<a<\,

:.b-l<0,h—a<09

：.(b-1)(b~a)>0,

故选AD.

10.已知函数/(x)=log2(l—|x|),则关于函数兀0有下列说法，其中正确的说法为()

A../(x)的图象关于原点对称

B./(x)的图象关于y轴对称

C.府)的最大值为0

D.於)在区间上单调递增

【解析】/(X)=k)g2(l—⑼为偶函数，不是奇函数，

，A错误，B正确；

根据/(X)的图象(图略)可知D错误；

，/(x)Wlog2l=0,故C正确.

故选BC.

11.己知函数/(x)=ln(x—2)+ln(6—x),则()

A./(x)在(2,6)上单调递增

B.於)在(2,6)上的最大值为21n2

C./(x)在(2,6)上单调递减

D.y=/(x)的图象关于直线x=4对称

【解析】Hx)=ln(x-2)+ln(6—x)=ln[(x—2)(6—x)],定义域为(2,6).令/=。一2)(6一》)，则y

=lnt.因为二次函数r=(x—2)(6—x)的图象的对称轴为直线x=4,又/(x)的定义域为(2,6),

所以/(X)的图象关于直线x=4对称，且在(2,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，当x=4时，

/有最大值，所以./(x)max=ln(4—2)+ln(6-4)=21n2,故选BD.

12.在同一直角坐标系中,./(》)=丘+力与8(；0=1084的图象如图，则下列关系不正确的是()

A.k<0,0<b<\

B.k>0,b>\

C.y(z)g(l)>0(x>0)

D.x>1时，/(x)—g(x)>0

【解析】由直线方程可知，k>0,0<b<\,故A,B不正确；而g(l)=O,故C不正确；而当

x>l时，g(x)<0,./(%)>0,所以/(x)-g(x)>0.所以D正确.故选ABC.

【填空题】

13.设2"=5&="?,且!十1=2,则加=.

ab

【解析】因为2"=5"=加>0,所以a=log2加，b=log5加，

所以,=―1=log,”2+log»,5=log”10=2.所以加2=io,

ah10g2W10g57M

所以/?7=\10.

答案："To

14.已知函数产log〃(x+3)—：3>0,aWl)的图象恒过定点Z,则点/的坐标为；若

点/也在函数/(》)=3'+6的图象上，则/(log32)=.

【解析】令x+3=l可得x=-2,此时夕=log“l—；=—；,可知定点/的坐标为(2J

Q

点工也在函数人工)=3'+6的图象上，故一;=3-2+力，解得6=-1.所以/(幻=3，一1,则火log32)

=310g32-l=2-l=l.

答案「嚼1

\nx+h»x>l»

15.已知函数/(%)=•,若/七)=一3/(0),则力=_________,函数/⑴的值域为

6^—2,xWl，

lnx+25x>l>

【解析】由/(e)=-3/(0)得1+力=-3X(-1),即人=2,即函数/(、)=•当x>l

①一2»xW1.

时，_y=lnx+2>2；当xWl时，y=e，-2e(-2,e-2].故函数人x)的值域为(-2,e-2]U(2,

+°°).

答案：2(—2,e-2]U(2,+<=°)

16.已知函数/)=-10g2X,则下列四个结论中正确的是.(填序号)

①函数/(|刈为偶函数；

②若/(a)=|/(b)|,其中a>0,h>0,aWb,贝ljab=l；

③函数/(一》2+2x)在(1,3)上单调递增.

【解析】对于①，/(|x|)=T0g2|x|,X|-X|)=-10g2|-X\=-10g2|x|=X|x|),所以函数/(⑼为偶函

数，故①正确：对于②,若｛°)=火6)|,其中a>0,b>0,aHb,则/(a)=l/g)|=-/S)，即一log2a

=log2b,即log2a+log2b=log2“b=0,得到。方=1,故②正确：对于③，函数人一/+2%)=—log2(一

x2+2x),由一/+2*>0,解得0<x<2,所以函数./(一好+公)的定义域为(0,2),因此在(1,3)

上不具有单调性，故③错误.

答案：①②

【解答题】

17.已知函数/(x—3)=10须/-(4>0,aWl).

6—x

(1)求/(x)的解析式；

(2)判断外)的奇偶性，并说明理由.

aI

【解析】(1)令x—3=〃，贝"x=〃+3,于是y(^)=k)ga----(a>0,a*1,—3<w<3),

3—〃

3+x

所以Xx)=log"--汽Q>0，a手1,-3<x<3).

3-x

(2)/)是奇函数，理由如下：

3—x3+x

因为/(—X)+y(X)=10g-4-lOgc,---=10g„1=0,

a3+x3—x

所以又定义域(一3,3)关于原点对称.

所以./)是奇函数.

18.设段)=10耿(1+力+1。8(1(3—%)(。>0且4#1),且义1)=2.

(1)求实数a的值及大力的定义域；

L3~|

(2)求/(X)在区间_2」上的最大值.

【解析】(I)因为.70)=2,所以log"4=2(q>0,a*l),所以a=2.

1+x>0，

由，得一l<x<3,

3-x>0»

所以函数/(X)的定义域为(一1,3).

2

(2)/(x)=log2(l+x)+log2(3—x)=log2[(l+x)(3—x)]=log2[—(X—1)+4],

所以当xW(-l,1]时，/(x)是增函数；当xG(l,3)时，/(x)是减函数，

0，-

故函数./(X)在区间2上的最大值是y(l)=log24=2.

19.已知函数段)是定义在R上的偶函数，｛0)=0,当x>0时，大幻=10以.