三角函数知识梳理清单-高三数学一轮复习

三角函数知识梳理

1.角的概念的推广：

平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。射线的起始位置称为始边，终止位

置称为终边。

按方向旋转所形成的角叫正角，按方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋

转时，称它形成一个零角。

2.象限角的概念：

在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，

就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称作轴线角。

(1)四个象限内的角的集合

终边在第一象限：终边在第二象限：

终边在第三象限：终边在第四象限：

⑵若a为第一象限的角，则U所在象限为若a为第三象限的角，则多所在象限为

3.终边相同的角的表示：

(1)cr终边与6终边相同(a的终边在6终边所在射线上)=a=，+2版•(keZ),

注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.

(2)a终边与。终边共线(a的终边在。终边所在直线上)=.

(3)a终边与6终边关于x轴对称=.

(4)(Z终边与0终边关于j轴对称OL

(5)戊终边与。终边关于原点对称=.

(6)a终边在x轴上的角可表示为：a=kn,keZ；a终边在y轴上的角可表示为：；

a终边在坐标轴上的角可表示为：.

4.弧度制

(1)1弧度定义：，角a的弧度数的绝对值|a|=

弧长公式：,扇形面积公式：

(2)换算关系：1°=rad,lrad=°.

5.三角函数定义：

(1)设a是一个任意角，终边与单位圆交于点P(x,y),那么y叫作a的正弦，记作sina；

x叫作a的余弦，记作cosa；。叫作a的正切，记作tana.

x

⑵已知角a终边上一点尸(xj),且|QP|二r,则有

三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

(3)一些特殊角的三角函数：

a0°30°45°60°90°120°135°150°180°15°75°

sina

cosa

tana

6.同角三角函数的基本关系式：

①平方关系;②商式关系.

关于公式sin之a+cos2a=1的深化

1+sin2a=(sina+cosa)2,1—sin2a=(sina-cosa)2,

③一些常用特殊三角函数值:

sinacosa卜ana勾股关系sinacosatana勾股关系

352=32+428

517

12377

3"

1141

忑丁

311

Vio14

7.三角函数的诱导公式

公式一二三四五六

71

角2k7i-\~a(k^Z)兀+。~a71-a----a

2

正弦sina

余弦cosa

正切tana

口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限

六组诱导公式统一为“三土e(左eZ)”，记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.

诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为0。〜90。角的三角函数。

8.两角和与差的正弦、余弦、正切：①sin(a+/3)=sinacosP±cosasin>0；

②cos(a±£)=_______________________；③tan(a土尸)=tana±tan.

1+tanatanP

9.二倍角公式：①sin2a=2sinacosa；变形sinacosa=cosa=sina=

小八o2tanor

②cos2a===___________；.(3)tan2a=-------z-

1-tana

变形：升幕l+cos2a=1-cos2a=降幕扩角sin2a=cos2a=

tana+tan0=tana_tanp=

asma

半角公式:sin一=cos一=tan一二--------

2----------221+coscr

个2tancir

万能公式：sin2a=:cos2a=,tan2a=--------—

----------1-tan

③重要结论⑴sinaicosa=(2)(sinaicosa)2=(3)tancr+-------=

tana

1+tancr1-tancr

(4)=-----------=.

1-tana--------1+tana----------

三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的

关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切

化弦”；第三观察代数式的结构特点。

10.辅助角公式：

a22

y=qsinx+b8sx+讨(sinx+,cosx)=yja+bsin(x+9).(其中辅助角夕所在象限由点

廿Nd+廿

(见力)所在的象限决定,tan。=2).

a

11.物理意义：物理简谐运动>=4sin(ox+0),x£[0,+oo),其中4>0,刃>0.振幅为4,表示物体离开平

衡位置的最大距离；周期为T=d,表示物体往返运动一次所需的时间；频率为/=，表示物体在

CD

单位时间内往返运动的次数；为相位；为初相.

12.三角函数图象与性质：（定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、单调性）

函数y=sinxy-cosxj=tanx

►

V)iy=sinxv,1y=cosx

11

X-/

图象9y7-r

作图:五点法作图:五点法

作图:二三点二线

定义域(—00,+oo)(—00,+oo)

值域[-b1][—h1](^x),~hx))

当乂=_____,ymax=l；当乂=_____,ymax=l；

最值无

当,ymin=l当，Ymin=1

奇偶奇函数偶函数奇函数

对称轴对称轴

对称性对称中心

对称中心对称中心

周期2兀2兀71

单调性

（注：表中后均为整数）

13.正弦型函数y=/sin（0x+°）（N＞0,。＞0）的性质及研究思路:

①最小正周期？=红，值域为［-4图.

TT47r

②五点法图：把“GX十0”看成一个整体，取69%+°=0,5，匹5,2万时的五个自变量值，相应的函数值为

0,40,-40,描出五个关键点，得到一个周期内的图象.

③三角函数图象变换路线：

y=sinx左移泊单位y=sin（x+夕）横坐标变为工倍y=sin（6yx+（p）纵坐标变为4倍＞=Zsin（@x+0）.

-①

或：y=sinx横坐标变为工倍y=sincox左移£■个单位y=sina）（x+—）纵坐标变为/倍〉=/sin（3+何.

①①CD'

④单调性：＞=/sin（ox+°）（4＞0,。＞0）的增区间，把“。龙+0”代入至！Jy=sin十增区间

-TT-ITJTTT

［--+2k7T,—+2k^］（左eZ）,即求解一万+2版■4。彳+0＜万+2左万（左eZ）.注意勿为正。

⑤对称轴与对称中心油。x+0=E（左GZ）可得对称中心；由0x+p=E+至后GZ）可得对称轴.

⑥奇偶性：°=时，函数夕=/$皿5+。）为奇函数；

（p~时，函数了=然皿5：+9）为偶函数.

⑦整体思想：把“。x+e”看成一个整体，代入了=5,:＜:与＞=tanx的性质中进行求解.这种整体思想的运

用，主要体现在探讨单调性与对称性时，或取最大值与最小值时的自变量取值.

14.正、余弦定理：正弦定理、余弦定理沟通了角与边的关系，可使边转化为角，也可使角化为边。

⑴正弦定理：上=—=」=2R(2R是MBC圆直径)

sin4sin8sinC

定理变形：①a:b:c=；②〃=,b=,c=；

③sin/=,sin5=,sinC=；@a=——=——=-.....------------------

sinAsinBsinCsinA+sin5+sinC

22222222

⑵余弦定理：a=b+c-2bccosAfb=+c-2accosB,c=a+b-2abcosC

定理变形：①cosZ=，cosB=,cosC=o

②若层>〃+/则^ABC为三角形；若小二加十^则4ABC为直角三角形:

若/<从十°2则4ABC的形状为o

③射影定理：；；o

(3)在△45。中，已知Q,b和4时，解的情况如下：

A为锐角A为钝角或直角

二ccc

X

图形

AB；'--BAJ.....，BAB

AB

关系式a=Z)sinA.a>ba<b

解的个数一解两解一解一解无解

15.三角形面积公式：①S=工aha='b%='ch,(%、瓦、儿分别表示a、b、c边上的高).

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