二节正项级数敛散性的判别

复习级数相关定义及五条性质复习级数相关定义及五条性质1第二节正项级数敛散性的判别一.定义如果则称级数为正项级数.二.性质定理7.1正项级数收敛部分和数列有界.证因所以单调递增从而存在有界故命题成立.第二节正项级数敛散性的判别一.定义如果则称级数为正项级数.2定理7.2(比较判别法的不等式形式)设和都是正项级数,如果则收敛时,也收敛;(2)当发散时,也发散.证设的第次部分和分别为因所以收敛有上界有上界收敛.(1)当定理7.2(比较判别法的不等式形式)设和都是正项级数,如果则3(1)大头收敛小头收敛,小头发散大头发散.(2)条件可改成例1判断级数的敛散性.解因且发散故发散.(1)大头收敛小头收敛,小头发散大头发散.(2)条件可改成例4例2判断的敛散性.级数收敛发散例2判断的敛散性.级数收敛发散5例3判断级数的敛散性.解因且收敛,故收敛.及解因且收敛,故收敛.例3判断级数的敛散性.解因且收敛,故收敛.及解因且收敛,故收6例2判断的敛散性.级数解当时而发散故发散.当时(4)收敛(3)收敛(2)收敛(1)收敛.例2判断的敛散性.级数解当时而发散故发散.当时(4)收敛(37复习正项级数定义及性质复习正项级数定义及性质8比较判别法比值判别法根值判别法√第二节正项级数敛散性的判别主题比较判别法比值判别法根值判别法√第二节正项级数敛散性的判别9(比较判别法的极限形式)设和都是正项级数,如果则时,有相同的敛散性;(1)当与时,(2)当若收敛,也收敛;时,(3)当若发散,也发散.定理7.3目标:1.证明极限2.利用极限证别的问题(对取特殊值)√(比较判别法的极限形式)设和都是正项级数,如果则时,有相同的10时,(1)当因故对存在正整数当时,有即亦从而有相同的敛散性.与证时,(1)当因故对存在正整数当时,有即亦从而有相同的敛散性.11时,(1)当因故对存在正整数当时,有即亦

分析时,(1)当因故对存在正整数当时,有即亦分析12(比较判别法的极限形式)设和都是正项级数,如果则时,有相同的敛散性;(1)当与时,(2)当若收敛,也收敛;时,(3)当若发散,也发散.定理7.3目标:√(比较判别法的极限形式)设和都是正项级数,如果则时,有相同的13时,(2)当因故对存在正整数当时,有即亦从而收敛时,也收敛.时,(2)当因故对存在正整数当时,有即亦从而收敛时,也收敛.14(比较判别法的极限形式)设和都是正项级数,如果则时,有相同的敛散性;(1)当与时,(2)当若收敛,也收敛;时,(3)当若发散,也发散.定理7.3目标:√(比较判别法的极限形式)设和都是正项级数,如果则时,有相同的15时,(3)当因故对存在正整数当时,有即从而发散时,也发散.时,(3)当因故对存在正整数当时,有即从而发散时,也发散.16(比较判别法的极限形式)设和都是正项级数,如果则时,有相同的敛散性;(1)当与时,(2)当若收敛,也收敛;时,(3)当若发散,也发散.定理7.3(比较判别法的极限形式)设和都是正项级数,如果则时,有相同的17例4判断的敛散性.级数解因且发散故发散.例4判断的敛散性.级数解因且发散故发散.18例5判断的敛散性.级数解因且收敛,故收敛.例5判断的敛散性.级数解因且收敛,故收敛.19练习判断下列级数的敛散性.练习判断下列级数的敛散性.20比较判别法(极限形式)总结熟记定理内容掌握做题方法体会对象选取比较判别法(极限形式)总结熟掌体21(达朗贝尔比值判别法)设是正项级数,如果则时,(1)当收敛;时,(2)当发散;或时,(3)当此法失效.定理7.4(达朗贝尔比值判别法)设是正项级数,如果则时,(1)当收敛;22时,(1)当因故对存在正整数当时,有即从而证时,(1)当因故对存在正整数当时,有即从而证23因(1)收敛,故(2)收敛,从而原级数收敛.因(1)收敛,故(2)收敛,从而原级数收敛.24时,(2)当因故对存在正整数当时,有即从而故所以发散.时,(2)当因故对存在正整数当时,有即从而故所以发散.25时,(2)当因故对存在正整数当时,有即故所以发散.用比值法判定级数发散,则一定有时,(2)当因故对存在正整数当时,有即故所以发散.用比值法判26时,(3)当此法失效.例发散,收敛时,(3)当此法失效.例发散,收敛27例6判断的敛散性.级数解故级数收敛.例6判断的敛散性.级数解故级数收敛.28例7判断的敛散性.级数解故级数收敛.例7判断的敛散性.级数解故级数收敛.29例7判断的敛散性.级数解故级数收敛因又从而级数收敛.例7判断的敛散性.级数解故级数收敛因又从而级数收敛.30(柯西根值判别法)设是正项级数,如果则时,(1)当收敛;时,(2)当发散;或时,(3)当此法失效.定理7.4(柯西根值判别法)设是正项级数,如果则时,(1)当收敛;时,31例8判断的敛散性.级数解故收敛.(5)柯西根值判别法(4)达朗贝尔比值判别法(3)比较判别法的极限形式(2)比较判别法的不等式形式(1)基本定理总结例8判断的敛散性.级数解故收敛.(5)柯西根值判别法(4)达32一般级数做题参考思路:(1)是否特殊级数(等比级数,调和级数)(2)一般项是否趋于零(3)其它性质(4)定义一般级数做题参考思路:(1)是否特殊级数(等比级数,调和级数33正项级数做题参考思路:(1)是否特殊级数(等比级数,调和级数,p级数)(2)一般项是否趋于零(3)其它基本