2023年高考数学一轮复习（全国版理） 第9章 曲线与方程

曲线与方程

【考试要求】1./解方程的曲线与曲线的方程的对应关系2了解解析几何的基本思想和利用

坐标法研究几何问题的基本方法3能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.

【知识梳理】

1.“曲线的方程”与"方程的曲线”

在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一

个二元方程共x,y)=0的实数解建立了如下的关系：

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.

2.坐标法

(1)用坐标表示点,把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹.

(2)用曲线上点的坐标(x,v)所满足的方程y)=0表示曲线.

(3)通过研究方程的性质间接地研究曲线的性质.

3.求动点轨迹方程的步骤

(1)建系——建立适当的坐标系.

(2)设点一设轨迹上的任一点P(x,)，).

(3)列式一列出动点P所满足的关系式.

(4)代换一依关系式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x,y的方程，并

化简.

(5)证明一证明所得方程即为符合条件的动点轨迹方程.

4.求动点轨迹方程的常用方法

(1)直接法：即根据题目条件，写出关于动点的几何关系并用坐标表示，再进行整理、化简.

(2)定义法：先根据已知条件判断动点的轨迹形状，然后根据曲线的定义直接求动点的轨迹方

程.

(3)代入法：也叫相关点法，其特点是动点M(x,＞)与已知曲线C上的点(/，＜)相关联，

可先用x,y表示/,，再代入曲线C的方程，即得点M的轨迹方程.

(4)参数法：选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标(x,y),消去参数，即得其普通方程.

【常用结论】

1.“曲线C是方程兀Gy)=0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程於，＞)=0的解"

的充分不必要条件.

2.曲线的交点与方程组的关系

(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解.

(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)方程/+xy=x表示的曲线是一个点和一条直线.(X)

(2)”式沏，州)=0”是“点尸(xo,加)在曲线式*，y)=0上”的充要条件.(X)

(3)y=fcr与x=讨表示同一条直线.(X)

(4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.(X)

【教材改编题】

1.已知点心，0),直线/：x=一点8是/上的动点，若过点2垂直于)，轴的直线与线

段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是()

A.双曲线B.椭圆

C.圆D.抛物线

答案D

解析由题意得|MQ=|M8|,根据抛物线的定义知，

点用的轨迹是以点尸为焦点，直线/为准线的抛物线.

2.已知动点"(X,)，)到点0(0,0)与到点A(6,0)的距离之比为2,则动点M的轨迹所围成的区

域的面积是.

答案16兀

解析依题意可知掰=2,

即'『+三__2

即加6)2+厂2,

化简整理得(X—8)2+)，2=16,

即动点M的轨迹是以(8,0)为圆心，以4为半径的圆.

所以其面积为S=TIR2—16n.

3.若过点P(l,l)且互相垂直的两条直线/1,/2分别与X轴、y轴交于A，B两点,则AB中点

M的轨迹方程为.

答案x+y—1=0

解析设M的坐标为(x,y),则4,8两点的坐标分别是(2x,0),(0,2y),连接PM(图略)，

V/11/2,，|PM=|OM(。为坐标原点)，

而1PM=^J(x—l)2+(y—I)2,

|OM=、f+F

化简，得x+y—1=0,即为所求的轨迹方程.

题型一直接法求轨迹方程

例1已知动点P(x,y)与两定点M(—1,0),N(l,0)连线的斜率之积等于常数

⑴求动点P的轨迹C的方程；

(2)试根据2的取值情况讨论轨迹C的形状.

解(1)由题意可知，直线P历与PN的斜率均存在且均不为零，

所以kpM，kpN=士1•一彳=2,

X-T1X-1

2

整理得x2—+_=1(2/0,xW±l)・

A

2

即动点尸的轨迹C的方程为『一，=1QWO,xW±l).

(2)当2>0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)；

当一1<2<0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)；

当2=-1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(一1,0),(1,0).

当力<一1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点).

【教师备选】

已知△ABC的三个顶点分别为A(—1,0),B(2,3),C(l,2啦)，定点

(1)求△ABC外接圆的标准方程；

(2)若过定点P的直线与AABC的外接圆交于E,F两点,求弦EF中点的轨迹方程.

解(1)由题意得AC的中点坐标为(0,也)，AB的中点坐标为6,|),kAc=取,以8=1,

故AC中垂线的斜率为一乎，A8中垂线的斜率为一1,

则AC的中垂线的方程为、一也=一冬，

A8的中垂线的方程为)一尹一1

x=2,

得

y=0.

所以AABC的外接圆圆心坐标为(2,0),半径/•=2+1=3,

故AABC外接圆的标准方程为(x—2)2+)2=9.

(2)设弦E尸的中点为M(x,y),ZVIBC外接圆的圆心为N,则N(2,0),

由MN工MP,得屈前1=0,

所以(x—2,y)-(x—1,y—1)=0,

整理得jr+y2-3x-y+2=0,

所以弦所中点的轨迹方程为(x-|)2+()-。

思维升华直接法求轨迹方程的思路

直接法求轨迹方程最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价

性.通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这六个步骤，但最后的证明可

以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程

的纯粹性和完备性.

跟踪训练1(1)已知两定点4—2,0),8(1,0),如果动点尸满足|网=2|尸身，则动点尸的轨迹

是()

A.直线B.圆

C.椭圆D.双曲线

答案B

解析设P(x,y),

则K(x+2)2+)2=2K(x-1)2+了,

化简得f+y2-4x=0,即。-2)2+产=4,

其表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆.

(2)在平面内，A,8是两个定点，C是动点，若病•病=1,则C的轨迹为()

A.圆B.椭圆

C.抛物线D.直线

答案A

解析以48所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为)，轴建立平面直角坐标系(图略)，

设A(—a,0),B(a,0),C(x,y),

则AC=(x+n,y),BC=(x-a,y),

'：ACBC=\,

.,.(x+a)(x—a)+y-y=1,

.'.r+)2=.2+1,

.,.点c的轨迹为圆.

题型二定义法求轨迹方程

例2(1)已知△4BC的顶点&-5,0),8(5,0),AABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点

C的轨迹方程是()

汽=l(x>3)

D.*-]=1(X>4)

答案C

解析如图，|A£>|=|AE|=8,18fl=[8E]=2,\CD\^\CF\,

所以|CA|-|CB|=8-2=6<10=|AB|.

根据双曲线定义，所求轨迹是以A,8为焦点，实轴长为6的双曲线的右支0W0),

22

方程为■一汽=l(x>3).

⑵已知圆M：。+1)2+尸=1,圆N：。-1)2+>2=9,动圆P与圆〃外切并且与圆N内切，

则圆心P的轨迹方程为.

92

答案,+'=1(——2)

解析因为圆P与圆M外切且与圆N内切，

所以|PM+|PN|=(R+l)+(3-R)=l+3=4(R为圆P的半径)，

由椭圆的定义可知，圆心P的轨迹是以M,N为左、右焦点，长半轴长为2,短半轴长为小

的椭圆(左顶点除外)，

其方程为今+^=l(x¥-2).

【教师备选】

在aABC中，|BQ=4,ZVIBC的内切圆切8c于。点，H\BD\~\CD\=2y[2,则顶点A的轨

迹方程为.

答案y—^-=i(x>V2)

解析以8C的中点为原点，BC的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，E,F

分别为两个切点.

则由E|=|B£)|,|CD|=|CF|,

\AE]=\AF],

所以|A8|一|AC|=2啦<4,

所以点A的轨迹为以8,C为焦点的双曲线的右支(yWO),且“=也，c=2,所以6=啦，

所以顶点A的轨迹方程为，一，=1(心力).

思维升华(1)定义法的适用范围

若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.此

法一般用于求圆锥曲线的方程.

(2)注意2个易误点

①因为对圆锥曲线定义中的某些特定条件理解不透或忽视某些限制条件而失误.在利用定义

法求轨迹方程时一定要正确应用圆锥曲线的定义.

②不会迁移应用已知条件，因而找不到解题思路，无法解题.

跟踪训练2⑴设点A为圆。-1)2+>2=|上的动点，以是圆的切线，且|以|=1,则P点的

轨迹方程为()

A.V=2xB.(》一1)2+丫2=4

C.尸一比D.(X-1)2+/=2

答案D

解析如图，设P(x,y),圆心为M(1,O).

连接AM,PM.

则MA_L必，且=

又因为照|=1,

所以|「必=3肱4|2+照|2=啦,

即1PM2=2,所以

⑵(2022•杭州七校质检)已知尸i，&是双曲线的两个焦点，。是双曲线上任意一点，从焦点

Fi引/QQB的角平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹为()

A.直线B.圆

C.椭圆D.双曲线

答案B

解析不妨设点。在双曲线的右支上，延长QP交直线。巳于点S(图略)，

尸是NBQF2的角平分线,且。匕LF6,

二尸是的中点.

是尸出2的中点，

.♦.P。是△FiSB的中位线，

/.\PO\=^F2S\=^QS\-\QF^)

=^\QFA~\QFi\)=a,

.♦.点P的轨迹为圆.

题型三相关点法(代入法)求轨迹方程

1

例3如图，已知尸是椭圆示+丁=1上一点，PMJLx轴于M若丽=2丽

(1)求点N的轨迹方程；

(2)当点N的轨迹为圆时，求2的值.

解(1)设点尸，点N的坐标分别为「(》,yi),N(x,y),

则M的坐标为(a,0),且x=xi,

所以PN=(x—xi,y—>,i)=(0,y—yi),

NM=(XLX,—y)=(0,—y),

由丽=人面得(0,y-y)=，0,—y).

所以y—yi=—b，

即y1=(l+2)y.

因为P(xt,yi)在椭圆5+y2=i上，

则号+y?=l,

所以,+(1+»2y2=i,

故］+(l+»2y2=l为所求的点N的轨迹方程.

(2)要使点N的轨迹为圆，则(1+2)2=；,

13

解得或z=—

13

故当2=—1或］时，点N的轨迹是圆.

【教师备选】

设O为坐标原点，动点M在椭圆C：，+丁=1上，过〃作x轴的垂线，垂足为M点P满

足柿=血就

(1)求点尸的轨迹方程；

(2)设点。在直线％=—3上，且质=1.证明：过点P且垂直于OQ的直线/过C的左焦点

F.

⑴解设P(x,y),M(xo,yo),

则N(xo,O),而=(x—沏，y),而=(0,y0).

由沛=会而«得冽=x,yo=2>\

因为M(xo,yo)在C上，

V2y2

所以3+'=1.

因此点P的轨迹方程为『+9=2.

⑵证明由题意知产(-1,0).

设。(—3,。，P(m,n)f则

OQ=(—3,t),PF=(—1—/w,一〃)，OQPF=3+3/H—m,

OP=(m,n),PQ=(—3—fn,，一办

由OPPQ=1得一3加一〃一〃2=1,

又由(1)知nr+rr=2,

故3+3机一加=0.

所以丽辰=0,即丽J_即.

又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线/过C的左焦点F.

思维升华

跟踪训练3(1)(2022・银川模拟)动点A在圆f+>2=1上移动时，它与定点8(3,0)连线的中点

的轨迹方程是.

1

案

答-

-4

解析设中点M(x,四，由中点坐标公式，

可得A(2x—3,2y),

因为点A在圆上，将点A的坐标代入圆的方程,

得轨迹方程为(X一|

4-

(2)设尸(1,0),M点在x轴上，尸点在)'轴上，艮疝=2加,PMA.PF,当点P在y轴上运动

时，点N的轨迹方程为.

答案>2=4X

解析设M(xo,O),P(0,yo),N(x,y),

因为丽_L/，丽=(冲，一加),

苏=(1,一泗)，

所以(M),一泗＞(1,—yo)=O,

所以xo+%=O.

由MN=2MP得(x—M),y)=2(—xo,yo),

x—xo=-2xo,

所以

J=2yo,

X0=­X,

即(1

yo=2)，，

所以一x+；=0,即V=4x.

故所求点N的轨迹方程是V=4x.

课时精练

1.在平面直角坐标系中，动点尸关于x轴对称的点为。，且•丽=2,则点尸的轨迹

方程为()

A.B.%2—9=2

C.x+/=2D.x-/=2

答案B

解析设P(x,y),则Q(x,—y),

因为万5•丽=2,

所以x2—y2=2.

2.(2022・云南质检)已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点尸的轨

迹方程为()

A./+9=2

B.x2+y2=4

C.x2+y2=2(x^±\[2)

D.x2+y2=4(x#:±2)

答案D

解析MN的中点为原点O,

易知|OP|=*MN|=2,

.•.点P的轨迹是以原点。为圆心，2为半径的圆，除去与x轴的两个交点，

即点P的轨迹方程为^+>^=^^±2).

3.己知点4一1,0),8(2,4),△ABC的面积为10,则动点C的轨迹方程是()

A.4x—3y—16=0或4x—3y+16=0

B.4x—3y-16=0或4x-3y+24=0

C.4x—3y+16=0或4x—3y+24=0

D.4x—3y+16=0或4x—3厂24=0

答案B

解析可知A8的方程为4x-3y+4=0,

又|AB|=5,设动点C(x,y).

由题意可尺X5X恒产UlO,

所以4x—3y—16=0或4x—3y+24=0.

9,2

4.已知尸I，尸2分别为椭圆C：，+]=1的左、右焦点，点P是椭圆C上的动点，则△PQF2

的重心G的轨迹方程为()

A益+若=lgO)

B.今+y2=igo)

C.竽+3)2=10.0)

4

D.x1+^y2=\(yyi0')

答案C

解析依题意知Q(—1,0),F2(l,0),

设P(xo,为)。()20),G(x,y),

则由三角形重心坐标公式可得

%()~1+1

x=-3，]向=3x,

即

、，-1Q8=3%

)一3，

代入椭圆C：5+亨=1，

得重心G的轨迹方程为9于/+3尸=l(yW0).

5.在平面直角坐标系中，已知两点4(3,1),5(-1,3),若点C满足女=九晶+心协(O为原

点)，其中21，%CR，且21+%=1，则点C的轨迹是()

A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线

答案A

解析设C(x,>•).则次=(x,y),

04=(3,1),访=(-1,3),

'：0C^Xi0A+h0B,

.卜=3九一22,

[)；=九+3%2,

又九+乃=1,

；・化简得x+2y—5=0,

即点C的轨迹是一条直线.

6.在平面直角坐标系屹y中，F\,B分别为椭圆5+g=1(9》0)的左、右焦点，P为椭圆

上的点，PQ为NBPF2的外角平分线，BTJ-PQ于点7，则点7的轨迹为()

A.双曲线B.抛物线

C.椭圆D.圆

答案D

解析延长6T交HP的延长线于点例，如图所示.

由于PQ平分/FzPM,

则/尸2P7=/MPT,\P7]=\PT\,NPTF?=NPTM,

所以APTF2丝APTM,

则|P&I=FM，\TF2\=\TM\,

则点T为MB的中点，

又因为。为后巳的中点，

所以|。71=36闾=/田田+『根)

=如田+|尸2P1)=4,

所以点T的轨迹是圆.

7.动点M(x,y)与定点尸(4,0)的距离和M到定直线/：尸箸的距离的比是常数方，则动点M

的轨迹方程是.

答案各另=1

解析因为动点M(x,y)与定点尸(4,0)的距离和〃到定直线/：尸皆25的距离的比是常数会4

mi、7(L4)2+.F4

所以—竺|-5-

X—4I

即25[仁一4)2+9]=16(%一引2,

整理可得9^+25/=225,

■+若=1.

8.已知两点M(—2,0),M2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|丽|而|+就V•标=0,则动

点P(x,y)的轨迹方程为.

答案V=一8》

解析设点P的坐标为(x,y),则加=(4,0),方》=(x+2,>>).种=。-2,)，)，；.|丽=4,

I加1=、3+2)2+.俨,MN-NP=4(x-2).根据已知条件得可(》+2)2+、=4(2-犬).整理得产

=-8x....点P的轨迹方程为V=-8x.

9.已知平面内8,C是两个定点，出Q=8.

①△ABC的周长为18；

9

②直线AB,AC的斜率分别为MB，kAc，且以8次m=一正.

请从上面条件中任选一个作答，以8c的中点为坐标原点，以BC所在直线为x轴,求出AABC

顶点A的轨迹方程.

注：如果选择多个条件作答，按第一个条件计分.

解选择条件①：根据椭圆定义，平面上到两个定点的距离之和为定值，且定值大于定长的

点的集合轨迹为椭圆，

山Cl=8,2c=8,c=4以及2。=18—8=10,a=5,则有层=25,/=16,

那么/=42—/=9,且A,B,C三点构成三角形，

那么A点的轨迹方程为言+]=1QWO).

选择条件②：设点A(x,y),

又B(—4,0),C(4,0),

则有以8=#?

9

且乂8,3(7=一书，

那S+4A—4-16'

化简可得缶=T9，

-16y2=9x2-9X16,9x2+16y2=9X16,

y,2

且A,B,。三点构成三角形，那么A点的轨迹方程为言+，=l(yW0).

10.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为凡M(l,州)00>0)是抛物线上一点且尸的面

积为上其中。为坐标原点)，不过点M的直线/与抛物线C交于P,。两点，且以PQ为直径

的圆经过点M,过点M作MNLPQ交PQ于点N.

(1)求抛物线C的方程；

(2)求证直线尸。恒过定点，并求出点N的轨迹方程.

解(1)由题意得州=扬，

故SAMOF=3X,X寸解得〃=今

故抛物线C的方程为尸=乂

(2)易得

由题意可设直线PQ的方程为x=，〃y+a,

PgyD，。(无2,”),

[x=my+a

92

由彳9消去x,得y—my—。=0,

故』=相2+4。>0,>1+丁2=m，一〃，

因为NPMQ=90。，

所以赤•曲=0,

即（X]—1）（及一l）+（y—l）（j2—1）=0,

整理得X]X2（XI+X2）+y1y2-（^1+><2）+2=0,

即1yb8+了2）2+3川〉2-（丁1+及）+2=0,

所以a2一62―3〃一机+2=0,

所以（a—|）2=,+如

所以a—|=〃?+；或

当“一,=一（%+，,即a——m+l时，

直线PQ的方程为x=my+a=m（y—\）+1,

此时直线/过点（1』），不符合题意，舍去；

31

当a—]=，*+/,即a=m+2时，

直线PQ的方程为x—my-\-a—tn（y-\-\）+l,

此时直线尸。恒过定点H（2,-1）.

设Mx,y）,

则由而_1而/,

即加而/=0,

得（x—i）a—2）+。+1）。-1）=0,

即点N的轨迹方程为』+），2—3彳+1=0（》#1）.

11.如图，斜线段4B与平面a所成的角为60°,B为斜足，平面a上的动点P满足N%B=30。,

则点P的轨迹是（）

A.直线B.抛物线

C.椭圆D.双曲线的一支

答案C

解析可构造如图所示的圆锥.母线与AB所在直线（中轴线）的夹角为30。，然后用平面a去

截圆锥，使直线AB与平面a的夹角为60。，则平面a与圆锥侧面的交线为P的轨迹图形，

由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆.

12.若曲线C上存在点M,使M到平面内两点4（-5,0）,8（5,0）距离之差的绝对值为8,则

称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是（）

A.x+y=5B.f+y2=9

C*+]=lD.x1—16y

答案B

解析因为M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差的绝对值为8,

所以例的轨迹是以4—5,0),8(5,0)为焦点的双曲线，

方程为船一5=1•

A项，直线x+y=5过点(5,0),满足题意，为“好曲线”；

B项，/+产=9的圆心为(0,0),半径为3,与M的轨迹没有交点，不满足题意；

C项，克+5=1的右顶点为(5。)，满足题意，为“好曲线”；

D项，方程代入器一卷=1,可得即>2—%+9=0,所以/>0,满足题意，为“好

曲线”.

13.已知过点A(—3,0)的直线与x=3相交于点C,过点8(3,0)的直线与》=-3相交于点。,

若直线CD与圆f+丁=9相切，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为.

答案①

4

解析设点M(x,y),C(3,m),D(-3,n),mn^O,则直线CO的方程为(/n-〃)x—6y+3(〃?

3\m+n\

+n)=0,因为直线CO与圆f+V=9相切，所以3,所以加〃=9,又直线

[(加一〃)2+36

AC与BD的交点、为M,

y_y-/n(_6y

x+3x—3'mx+39

解得〈(

{x~3x+3'Ix—3'

36v-

所以=9,

x2—9

7

K

-

所以点M的轨迹方程为全十9

-1(产0).

4

「A1

14.已知△ABC中，AB=3,而=于则AABC面积的最大值为------

答案3

解析以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系(图略),

则A(0,0),8(3,0),设C(x,y).

,CA1

由而=1

+41

得.

yJ(x—3')2+y12'

即(X+1)2+)2=4.

所以点C的轨迹是圆心为M(-1,O),半径为2的圆(不含与A3共线的两点).

13

所以SAABC=]AB・[yd=^ydW3.

即XKBC面积的最大值为3.

15.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲