备考2024年高考数学一轮复习-抛物线

专题9.5抛物线

日题型目录

题型一抛物线的定义与方程

题型二抛物线方程与位置特征

题型三距离的最值问题

题型四实际问题中的抛物线

题型五抛物线中的三角形和四边形问题

题型六抛物线的简单几何性质

才典例集练

题型一抛物线的定义与方程

例1.（2023秋•高二课时练习）过抛物线焦点尸的直线与抛物线交于P,。两点，若尸，。在抛物线准线上的射影

为耳,则/学也等于（）

A.45°B.60°C.90°D.30°

例2.（2023・山东烟台・统考三模）设抛物线。:丁=2°武0>0）的焦点为月，点。（2,0）,过点F的直线交C于",N

两点，直线垂直x轴，|MFk3,贝卜.

举一反三

练习1.（2023秋•高三课时练习）抛物线的顶点在原点，对称轴是无轴，抛物线上的点（-5,加）到焦点的距离是6,

则抛物线的方程为（）

A.y2=-2xB.y2=-4x

2

C.y2=2xD.y=-4x或y2=-36x

练习2.（2021秋•高三课时练习）分别求符合下列条件的抛物线方程：

⑴顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且过点4（2,3）；

（2）顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为g.

练习3.（2023•北京•北京四中校考模拟预测）已知抛物线。:产=22宜0>0）的焦点为/，准线为/,点A是抛物线C

上一点，AD_L/于。.若A尸=2,/£>”=60,则抛物线C的方程为（）

A.y2=8xB.y2=4x

C.y2=2xD.y2=x

练习4.（2023・福建福州•福州三中校考模拟预测）已知抛物线V=4x与圆（x-iy+y2=i,过抛物线的焦点p作斜

率为左的直线/与抛物线交于A,。两点，与圆交于民C两点（AB在x轴的同一侧），若AB=4CD，则k2的值是

练习5.（2023・河南・洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知产是抛物线C：V=8x的焦点，M是C上一点，FM

的延长线交y轴于点M若FM=2MN，贝U|RV|=

题型二抛物线方程与位置特征

例3.（2023•陕西渭南•统考二模）将抛物线产=,内绕其顶点顺时针旋转90之后，正好与抛物线y=2x?重合，则机=

（）

A.—B.JC.-2D.2

22

例4.（2023秋•高二课时练习）已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方程：

（l）y2=6x；

（2）2y2+5x=0.

举一反三

22

练习6.（2023春・上海普陀・高三曹杨二中校考阶段练习）在同一坐标系中，方程=+斗=1与依+勿2=0.>6>0）

a"b

练习7.（2022・高三单元测试）已知加件0,则方程mr2+wy2=1与ay?=〃?尤在同一坐标系内对应的图形编号可能是

练习8.（2022.高三课时练习）根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画图:

（1）准线方程为y=-;；

（2）焦点在无轴上且其到准线的距离为6；

⑶对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2；

⑷对称轴是y轴，经过点（1,-2）.

练习9.（2023•全国•模拟预测）十一世纪，波斯（今伊朗）诗人奥马尔・海亚姆（约1048-1131）发现了三次方程

丁+。％=6（6*0）的几何求解方法，如图是他的手稿，目前存放在伊朗的德黑兰大学.奥马尔采用了圆锥曲线的工

具，画出图像后，可通过测量的方式求出三次方程的数值解.在平面直角坐标系xQy上，画抛物线/=世，在x轴

上取点C（5，O）SHO）,以0C为直径画圆，交抛物线于点尸.过尸作X轴的垂线，交X轴于点Q.下面几个值中,

哪个是方程/+片》=人的解？（）

心.

A«b0**；」二1£I匚乞ILTtx->u^>'三比”

3#）、■****

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加u/,山上上次〜52样探功⑪

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A.\OQ\B.\QP\c.\QC\D.\OP\

练习10.（2022.高三单元测试）（多选）己知的冲0,则方程如2+〃,2=1与九y?=加尤在同一坐标系内对应的图形可

能是（）

题型三距离的最值问题

例5.（2023・江苏无锡•校联考三模）已如尸（3,3）,用是抛物线V=4无上的动点（异于顶点），过“作圆

C:（x-2『+y2=4的切线，切点为A,则|则+|MP|的最小值为.

例6.（2023秋•高三课时练习）若点A的坐标为（3,2）,尸为抛物线丁=2尤的焦点，点”在抛物线上移动，为使

+最小，点〃的坐标应为.

第二及三

练习11.（2023・上海虹口・华东师范大学第一附属中学校考三模）已知P是抛物线C:y2=4x的焦点，P是抛物线C

上一动点，Q是曲线x2+y2-8x-2y+16=0上一动点，则|尸耳+|尸以的最小值为.

练习12.（2022秋•河南焦作•高三统考期末）已知P是抛物线V=4无上的一个动点，则点P到直线4：3x-4y+12=。

和4：x+2=。的距离之和的最小值是（）

22

A.3B.4C.—D.6

5

练习13.（2023•江苏南通・统考模拟预测）已知点尸伍,九）是抛物线丁=以上的动点，贝1］忘/+员-％+1|的最小

值为.

练习14.（2023・河南•校联考模拟预测）设尸为抛物线C：y'4x上的动点，4（2,4）关于尸的对称点为2,记尸到

直线x=-l,x=-3的距离分别4，4，则4+4+|4到的最小值为（）

A.2后+2B.2713+2

C.717+2D.713+5^7+2

练习15.（河北省唐山市、保定市四校（保定中恒高级中学有限公司等）2023届高三一模数学试卷）（多选）抛物

线V=6x的焦点为尸，P为抛物线上的动点，若点A不在抛物线上，且满足|R4|+|P刊的最小值为•!，则|A司的值

可以为（）

935

A.—B.3C.—D.一

224

题型四实际问题中的抛物线

例7.（2023.青海海东.统考模拟预测）图中是抛物线形拱桥，当水面在沉时，拱顶距离水面2米，水面宽度为8米，

则当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为（）

III[I

I[IL-~~~TJ~~~IIII

[I八II

II1/、[II

ITxC、二XII

IIX2木\

/7

iymi

交二二===二二二二二^^

<----------------------------------------------------------->

8Xn

A.25米B.25米C.225米D.?米

246o

例8.（2023春・广东韶关•高三校考阶段练习）有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图

所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m,若行车道

总宽度为7.2m,则车辆通过隧道时的限制高度为_____m.

举一反三

练习16.（2023春・广西南宁•高三统考开学考试）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回

舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪.某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回

r2v2

试验.如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为二+二=1,变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后

10025

返回的轨迹是以y轴为对称轴，（0,为顶点的抛物线的一部分（从点C到点B）.已知观测点A的坐标（6,0）,当

航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令.

（1）求航天器变轨时点C的坐标；

（2）求航天器降落点8与观测点A之间的距离.

练习17.（2023・上海•高三专题练习）如图所示，一种建筑由外部的等腰梯形PQRS、内部的抛物线以及水平的杠杆

A8组成，其中PS和QR分别与抛物线相切于A,8,A,8分别是PS和QR的中点.梯形的高和CD的长度都是4米.

（1）求杠杆的长度；

（2）求等腰梯形的周长.

练习18.（2023・全国•高三专题练习）有一正方形景区EFG",E”所在直线是一条公路，该景区的垃圾可送到位于

产点的垃圾回收站或公路EH上的流动垃圾回收车，于是，景区分为两个区域耳和邑，其中工中的垃圾送到流动垃

圾回收车较近，邑中的垃圾送到垃圾回收站较近，景区内既和邑的分界线为曲线C,现如图所示建立平面直角坐标

系，其中原点。为EF的中点，点厂的坐标为（L0）.

（1）求景区内的分界线C的方程;

（2）为了证明跖与S2的面积之差大于1,两位同学分别给出了如下思路，思路①：求分界线C在点G处的切线方程,

借助于切线与坐标轴及景区边界所围成的封闭图形面积来证明；思路②：设直线L：y=x+b,分界线C恒在直线L

的下方（可以接触），求6的最小值，借助于直线L与坐标轴及景区边界所围成的封闭图形面积来证明.请选择一个

思路，证明上述结论.

练习19.（2023春•福建莆田•高三莆田一中校考期中）如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴

旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于

微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，A,2两点关于抛

物线的对称轴对称，尸是抛物线的焦点，NA段是馈源的方向角，记为6,焦点尸到顶点的距离/与口径d的比值4

称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等.如果某抛物面天线馈源的方向角6满足,

tan0=-4百，则其焦径比为（）

练习20.（2023•全国•高二专题练习）探照灯、汽车前灯的反光曲面、手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面等都是抛物镜

面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设

计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是80cm,灯深

40cm,则光源到反射镜顶点的距离为（）

A.20cmB.10cmC.30cmD.40cm

题型五抛物线中的三角形和四边形问题

例9.（2023・广东珠海•珠海市斗门区第一中学校考三模）已知抛物线尤2=4y的焦点为F,准线/与坐标轴交于点N,M

是抛物线上一点，若|敬|=|月即，贝kFMN的面积为（）

A.4B.273C.2夜D.2

例10.（2023・福建莆田•校考模拟预测）已知抛物线C:V=2y的焦点为/，准线为/,A、8是C上异于点。的两

—AB

点（。为坐标原点），若NAEB=60,过AB的中点。作于点E,则的最小值为.

第二反三

练习21.（2023.吉林长春.长春吉大附中实验学校校考模拟预测）设抛物线C：y2=2px（p>0）焦点为产，准线

为/,过第一象限内的抛物线上一点A作/的垂线，垂足为8.设C（2p,。），.与8C相交于£>.若|C尸|=|4尸|,

且.ACD的面积为迷，则抛物线的方程为.

2

练习22.（2023春•海南•高三海南中学校考阶段练习）设。为坐标原点，尸为抛物线C：/=2刃（0>0）的焦点，

过焦点P且倾斜角为。的直线/与抛物线C交于M,N两点（点N在第一象限），当，=30时，\MF\=2,则。=

练习23.（2023•全国•高二专题练习）已知抛物线。：9=2「%（0>0）的焦点为尸，直线/与C交于A,8两点，

\AB\

AF±BF,线段A3的中点为过点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为N,则学岩的最小值为___.

\MN\

练习24.（2023•全国•模拟预测）已知歹是抛物线：/=72尤的焦点，点A,8在抛物线上，且的重心坐标为

K-4则也符虬、）

A.-B.6C.@D.6

3375

练习25.（2023・甘肃金昌・永昌县第一高级中学统考模拟预测）已知抛物线C：V=8x的焦点为R准线/交无轴于

点、E,过歹的直线与C在第一象限的交点为A,则二二的最大值为______.

AF

题型六抛物线的简单几何性质

例11.（2023•全国•高三对口高考）已知48是抛物线了2=2°直°>0）上的两个点，。为坐标原点，若|OA|=|O@且

A08的垂心恰是抛物线的焦点，则直线A3的方程是（）

_c53

A.X=PB.x=3pC.X='^PD.X=QP

例12.（2022秋•重庆•高三统考期末）已知则方程（依-4）卜-叶+*=0表示的曲线可能是（）

举I一反三

练习26.（2023春・甘肃张掖•高三高台县某中学校考阶段练习）（多选）对于抛物线y下列描述不正确的

是（）

A.开口向上，焦点为（0,4）B.开口向上，焦点为（4,0）

C.准线方程为x=TD,准线方程为y=T

练习27.⑵23秋•高三课时练习）抛物线y=的焦点坐标为（）

a

A.a>0时为(0,a),a<0时(0,-。)B.a>0时为0,5,”0时为0,

C.(0,a)D.-,o

a

练习28.（2023秋•高三课时练习）抛物线丁=2力（0>0）上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6,则该

点的横坐标是.

练习29.（2023•全国•高三专题练习）已知抛物线C：V=8x,尸为C上一点，A（-2,0）,5（2,0）,当告最小时，

PA\

点P到坐标原点的距离为（）

A.2-J5B.3亚C.2^/3D.8

练习30.（2023•山西朔州•怀仁市第一中学校校考二模）已知抛物线J=4x的焦点为尸，点A,8在抛物线上.若

加=120。，则当号沪取得最大值时,M=

专题9.5抛物线

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题型一抛物线的定义与方程

题型二抛物线方程与位置特征

题型三距离的最值问题

题型四实际问题中的抛物线

题型五抛物线中的三角形和四边形问题

题型六抛物线的简单几何性质

才典例集练

题型一抛物线的定义与方程

例1.（2023秋•高二课时练习）过抛物线焦点尸的直线与抛物线交于P,。两点，若尸，。在抛物线准线上的射影

为耳,则/学也等于（）

A.45°B.60°C.90°D.30°

【答案】C

【分析】由抛物线的定义及内错角相等，可得/々尸尸+/。笈尸=180。，Zl+Z2+Z^PF+Z3+Z4+ZeieF=360°,

可得答案.

【详解】由于尸为焦半径，

所以|尸尸|=|尸制,依尸|=|Q2|,

题中求的是角，故把边转化到角，如图，

贝（JZ1=Z2,Z3=Z4,

PK〃QQt,

Z^PF+Z21QF=180°,

又N1+N2+/々PB+N3+N4+NQQP=360°,

所以2N2+2N4=18O。，

N2+/4=90。，从而/片/Q=90。.

故选：C

例2.（2023•山东烟台・统考三模）设抛物线。:、2=2°X（0>0）的焦点为厂，点。他,0）,过点F的直线交C于MN

两点，直线MD垂直x轴，|MFk3,贝"NF|=.

【答案】（3

【分析】根据抛物线定义求出P=2,再设直线MN的方程为无-1=加，得到韦达定理式，求出N点横坐标，再利

用抛物线定义即可求出|八丁|的长.

（详解】由题意得下L，因为直线MD垂直于无轴,〃3。），准线方程为x="，

所以M点的横坐标为"，设%）,"（%,%），

根据抛物线的定义知悭同=玉+§=qp=3,解得p=2,

则C：V=4x,则P（LO）,可设直线脑V的方程为无-1=7孙，

联立抛物线方程有j可得V—4my-4=0,

2

A=16m+16>0,y^y2=-4,则（％%J=16%遇2=16,

则32%=16,解得马=；,则|N司=%+5=；+1=%

第二反三

练习1.(2023秋•高三课时练习)抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(-5,附到焦点的距离是6,

则抛物线的方程为()

A.y1=-2xB.y2=-4x

C.y1=2xD.y~=—4x或y，=-36x

【答案】B

【分析】由已知，抛物线开口向左，设其方程为y2=_2。尤，则准线方程为x=等，由条件结合抛物线的定义求出P

的值即可.

【详解】由已知，抛物线开口向左，设其方程为V=-2px,p>0,则准线方程为当，

由抛物线的定义知，点(-5,㈤到焦点的距离是孑+5=6,所以。=2,

所以抛物线的方程是：/=-4x,

故选：B.

练习2.(2021秋•高三课时练习)分别求符合下列条件的抛物线方程：

(1)顶点在原点似坐标轴为对称轴,且过点4(2,3)；

(2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为

Q4

【答案】

(2)y2=5%或y2=_5x或f=5y或Y=-5y

【分析】(1)由题意方程可设为或/="将4(2,3)代入求解即可；

(2)根据抛物线的定义焦点到准线的距离为|■，即p=:写出抛物线方程即可.

【详解】(1)由题意，方程可设为y2=〃?x或/=「，

将点4(2,3)的坐标代入，得32=2m或2?=3",

9、4

二."2=一或〃=_,

23

Q4

所求的抛物线方程为丁=,或

(2)由焦点到准线的距离为|,可知p=g

所求抛物线方程为产=5x或=-5%或Y=5y或X?=-5y.

练习3.(2023•北京・北京四中校考模拟预测)已知抛物线C:y2=2px(p>())的焦点为产，准线为/,点A是抛物线C

上一点，于。.若,则抛物线C的方程为()

A.y2=SxB.y2=4x

C.y2=2xD.y2=x

【答案】C

【分析】根据抛物线的定义求得口耳=2,然后在直角三角形中利用NZMF=60。可求得p=2,从而可得答案.

【详解】如图，连接DF,设准线与x轴交点为M

抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为尸］,0j,准线/：x=-j

又抛物线的定义可得|AH=|AO|,又ZDAb=60,所以为等边三角形，

所以同=|AF|=2,ZDFM=60

所以在Rt中，0典=2囚用=2p=2,则p=l,所以抛物线C的方程为y2=2x.

故选：C.

练习4.(2023•福建福州•福州三中校考模拟预测)已知抛物线>2=4尤与圆(尤-1)2+9=1,过抛物线的焦点厂作斜

率为左的直线/与抛物线交于两点，与圆交于昆C两点(42在x轴的同一侧)，若A8=4C£>,则。的值是

【答案】8

【分析】根据给定条件，写出直线/的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理并结合圆的性质及向量等式求解作

答.

【详解】抛物线丁=4x的焦点尸(1,0),准线方程为尸-1,于是直线/：y=k(x-l),显然让0,

由<2,消去y得：k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设4>1，X),£>(%,%)，

[y=4x

4

则玉+工2=2+记,项%2=1，又圆(工一1)2+y?=1的圆心为尸(1,0),半径为1,

由A3=4C。，得|A5|=4|GD|,即|A尸I—1=4(1。尸|—1),

+1)-1=4[(x2+1)-1],整理得%=4尤2，又无m=1，解得％=2,马=；，

45

则2+”=无|+%=/,解得*=8，

所以不的值是8.

故答案为：8

练习5.(2023•河南・洛宁县第一高级中学校联考模拟预测)已知尸是抛物线C:丁=股的焦点，M是C上一点，FM

的延长线交y轴于点M若FM=2MN，贝1J|月V|=

【答案】4

【分析】先求出准线/方程为x=-2,根据抛物线定义把焦半径转化为焦点到准线距离，在直角梯形AKVD中由平

行线得比练习线段，从而可得忸M|,^\MF\,从而可得|WV|.

【详解】易知焦点尸的坐标为(2,0),准线方程为了=-2,如图，作MBJU于3,NDLIWD,

FM=2MN<可知线段平行于和。N,因为|Z)N|=2,|AF|=4,J—=

QQ

所以忸闾=§,又由定义知怛闾=附刊=§,

所以|/w|=|政V[+|EV/|=4.

题型二抛物线方程与位置特征

例3.(2023•陕西渭南•统考二模)将抛物线y2=„u绕其顶点顺时针旋转死之后，正好与抛物线y=重合，则加=

()

B-IC.-2D.2

【答案】A

【分析】根据抛物线旋转规律可得，其焦点坐标从无轴负半轴旋转到y轴正半轴，即可得利=-，

【详解】根据题意可得抛物线/=mx的焦点坐标为（彳，0）,

抛物线y=2x?的标准方程为V=；y,

可得其焦点坐标为

易知存。）绕原点顺时针旋转9。之后得到国,即可得十-"，

解得加=一；.

故选：A

例4.（2023秋•高二课时练习）已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方程:

(1)/=6x；

(2)2/+5x=0.

【答案】⑴焦点为||,0；准线方程为x=-|；

⑵焦点为卜。，。］,准线方程为x=J.

【分析】（1）根据抛物线标准方程即可判断焦点位置及0=3,进而写出焦点坐标和准线方程;

（2）将抛物线2y2+5x=0化成标准方程可得y'-gx,即可写出焦点坐标和准线方程；

【详解】（1）由抛物线方程为/=6x,可得p=3,且焦点在x轴正半轴上，

所以可得其焦点为准线方程为x=-|;

（2）将2y2+5x=0化成标准方程为尸=3，

可得且焦点在x轴负半轴上，

4

所以焦点为准线方程为x

举一反三

22

练习6.（2023春・上海普陀・高三曹杨二中校考阶段练习）在同一坐标系中，方程=+1=1与⑪+6/=0（a>6>0）

ab

的曲线大致是（）

【分析】结合椭圆和抛物线的标准方程定义判断即可.

22

【详解】由a>6>0,则方程三+与=1表示焦点在关轴上的椭圆，

ab

方程以+Z?y2=。化为,2=一，%,

b

由于--<0,则方程表示焦点在无轴上开口向左的抛物线.

b

故选：A.

练习7.（2022・高三单元测试）已知7A0,则方程MIX?=1与ay?=如在同一坐标系内对应的图形编号可能是

()

A.①④B.②③C.①②D.③④

【答案】B

【分析】结合椭圆、双曲线、抛物线的图像，分别对①②③④分析相、〃的正负，即可得到答案.

【详解】对于①：由双曲线的图像可知：相由抛物线的图像可知：同号，矛盾.故①错误；

对于②：由双曲线的图像可知：相<0,”>0；由抛物线的图像可知：机，〃异号，符合要求.故②成立；

对于③：由椭圆的图像可知：相>0,">0；由抛物线的图像可知：孤〃同号，且抛物线的焦点在x轴上，符合要求.

故③成立；

对于④：由椭圆的图像可知：机>0,”>0；由抛物线的图像可知：同号，且抛物线的焦点在x轴上，矛盾.故④

错误；

故选：B

练习8.（2022・高三课时练习）根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画图：

3

（1）准线方程为〉=-；；

⑵焦点在x轴上且其到准线的距离为6；

⑶对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2；

⑷对称轴是y轴，经过点（L-2）.

【答案】（1）答案见解析；

（2）答案见解析；

（3）答案见解析；

（4）答案见解析.

【分析】（1）根据抛物线的准线方程为了=-|,得到点=|且焦点在y轴上求解;

（2）根据焦点在x轴上且其到准线的距离为6,得到P=6求解；

（3）根据对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2,得到5=2求解；

（4）根据对称轴是y轴，设抛物线方程为/=分，将点（1,-2）代入求解.

（1）

3

解：因为抛物线的准线方程为y=-

所以与=|"'p=3,

22

所以抛物线的方程是f=6y；其图象如下：

因为焦点在x轴上且其到准线的距离为6,

所以。=6,

所以抛物线的方程是V=12x或寸=-12x；其图象如下:

(3)

因为对称轴是无轴，顶点到焦点的距离等于2

所以5=2,p=4,

所以抛物线的方程是V=8x或产=_8x；其图象如下:

因为对称轴是y轴，

设抛物线方程为炉=今，

因为抛物线经过点(1,-2),

所以『="(—2),解得.=

所以抛物线的方程是/=-gy,其图象如下:

练习9.（2023•全国•模拟预测）十一世纪，波斯（今伊朗）诗人奥马尔・海亚姆（约1048-1131）发现了三次方程

d+片X=优6W0）的几何求解方法，如图是他的手稿，目前存放在伊朗的德黑兰大学.奥马尔采用了圆锥曲线的工

具，画出图像后，可通过测量的方式求出三次方程的数值解.在平面直角坐标系xQv上，画抛物线无2=3，在x轴

上取点c[，,o]sHO）,以OC为直径画圆，交抛物线于点尸.过尸作x轴的垂线，交x轴于点Q.下面几个值中，

哪个是方程/6的解？（）

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A.\OQ\B.\QP\C.\QC\D.\OP\

【答案】A

【分析】求出圆的方程，联立圆与抛物线的方程求出尸的横坐标满足的方程可得解.

b2

【详解】由题意，圆的方程为+/如图,

4。4

—+丁上

联立I2a2）>一41,

x2=ay

消去》可得：4a2x4+4a4x2—4a2bx=0，

BPx（x3+a2x-Z?）=0,

可得x=0或％③+/%一b=o,

即P点的横坐标满足方程x3+a2x-b=0,

故。点的横坐标IOQI可以满足的方程尤3+/%=6

故选：A

练习10.（2022•高三单元测试）（多选）已知mnwO,则方程如2+盯2=］与町/2=处在同一坐标系内对应的图形可

能是（）

xy_

【分析】先将方程化为标准方程得了+1=,y2=-x,再根据抛物线图形与椭圆或双曲线图形判断即可.

———n

mn

x2y2

【详解】解：将对应方程化为标准方程得1+i=】，y2=-x,

n

mn

所以抛物线，2=竺》的焦点在无轴上，故排除D选项，

n

对于A选项，由图可知一〉0,m<0,n>0,矛盾，故A错误；

n

对于B选项，由图可知一<0,m<0,n>0,满足，故B正确；

n

对于C选项，由图可知，一〉。，m>0,n>0,满足，故C正确；

n

故选：BC.

题型三距离的最值问题

例5.（2023・江苏无锡•校联考三模）已如尸（3,3）,M是抛物线y=4彳上的动点（异于顶点），过〃作圆

C:（x-2y+y2=4的切线，切点为A,贝U|M4|+|网的最小值为.

【答案】3

【分析】设出点M的坐标，结合圆的切线的性质求出1加川，再借助式子几何意义作答.

【详解】依题意，设川（毛,%）,%>0,有巾=4%,圆C:（尤-2）2+/=4的圆心。（2,0）,半径厂=2,

于是IAM|=JlMCf-产=&%-2）2+4-4=正=%，

因止匕|加4|+|河?|=龙。+|网，表示抛物线C上的点〃到y轴距离与到定点尸的距离的和，

而点尸在抛物线C内，当且仅当加是过点尸垂直于y轴的直线与抛物线C的交点时，与+|10取得最小值3,

所以0例+也0的最小值为3.

故答案为：3.

例6.（2023秋•高三课时练习）若点A的坐标为（3,2）,尸为抛物线丁=2x的焦点，点网在抛物线上移动，为使

|用4|+|加口最小，点时的坐标应为.

【答案】（2,2）

【分析】根据A点位置和抛物线方程可得焦点下和准线x=利用抛物线定义可知

\M^+\MF\=\M^+\MM\>\AM\,当AM,三点纵坐标相同时取最小值，即可求得M（2,2）.

【详解】由A（3,2）以及抛物线V=2x可知，点A在抛物线内部，如下图所示:

抛物线y2=2工的焦点坐标W，0],准线方程为x=-J；

作初%垂直于准线，垂足为

由抛物线定义可得\MF\=\MMX\,则\M^\+\MF\=\M^+\MM\>\AM\,

当且仅当A,监三点共线时，+|MF]取最小值3+|=|,

此时A,M,%三点纵坐标相同，所以点加的纵坐标为2,

代入抛物线方程可得M(2,2).

故答案为：(2,2)

举一

练习11.(2023・上海虹口・华东师范大学第一附属中学校考三模)已知尸是抛物线C：V=4x的焦点，P是抛物线C

上一动点，Q是曲线Y+y2-8x-2y+16=0上一动点，则怛同+|PQ|的最小值为.

【答案】4

【分析】根据题意，过点尸作PA，/,垂足为A,过点垂足为A，根据抛物线的定义，转化为

\PF\+\P^\PA\+\PM\-1,结合图象，得到，当且仅当在一条直线上时，|尸司+|尸。|的最小值，即可求

解.

【详解】由抛物线C：V=4x,可得焦点坐标为尸(1,0),准线方程为/:x=-l,

又由曲线炉+y2-8x-2y+16=0,可化为(x-4)2+(y-l『=i,

可得圆心坐标为M(4,l),半径厂=1,

过点尸作垂足为A,过点M作垂足为4,交抛物线于:，如图所示，

根据抛物线的定义，可得|PF|+|PQ|=|到+|P"|-1,

要使得|出+|尸加|取得最小值，只需使得点P与《重合，此时A与A重合,

即I期+WM9用闻+|甲图=5,当且仅当M,用2,A在一条直线上时,

所以|尸川+卢鱼的最小值为5-1=4.

故答案为：4.

练习12.（2022秋.河南焦作.高三统考期末）已知尸是抛物线y?=4x上的一个动点，则点尸到直线4：3x-4y+12=。

和/?:x+2=0的距离之和的最小值是（）

22

A.3B.4C.—D.6

5

【答案】B

【分析】先判断直线4与抛物线的位置关系，过点尸作于点PNLI于点、N,连接尸尸，根据抛物线的

定义，得到网二附,推出|四+忸闾=|用+忸叫，结合图形,可得M,P,尸共线时，|「耳+|尸网最小,进而

可得出结果.

【详解】由-八消去x得/一学y+16=0,

[3x-4y+12=03

因为=卜5）-4X16<0,所以方程y-^丫+16=0无解,

即直线小3戈-4丁+12=。与抛物线无交点；

过点尸作于点M,PNLI于点、N,记抛物线V=4x的焦点为产（1,0）,连接尸尸,

因为4：x+2=0点尸到直线4：x+2=0的距离为|PN|+1,/：x+1=0为抛物线丁=4尤的准线，根据抛物的定义可得,

|叫4P耳,

则P到直线4和4的距离之和为1PM+1+|尸叫=|尸尸|++1,

若加，P,尸三点不共线，贝!J有附|+归则邛M，

当M,P,尸三点共线，且尸位于MF之间时，\PF\+\PM\=\FM\,

则|尸尸|+|尸河以尸必，

又“|=_^2M=3

所以归M+归叫=|PF|+归叫+123+1=4,即所求距离和的最小值为4.

练习13.（2023•江苏南通・统考模拟预测）已知点p（得,九）是抛物线V=4x上的动点，贝I垃与+禺-％+1|的最小

值为

【答案】2-应/-应+2

［分析］根据已知条件将问题转化为抛物线V=4x上的动点P（%九）到直线/：Ay+l=0和y轴的距离之和的最

小值，作出图形，利用抛物线的定义及点到直线的距离公式即可求解.

【详解】由题可知，过抛物线丁=4X上的动点尸（4,几）作直线l:x-y+l=0的垂线交直线于M,过点户（X。,几）作

y轴的垂线交y轴于Q,交准线于G点，厂为抛物线焦点,

所以X。+也］尹U=俨@+归闾=|PG|+-1=|尸制+-1,

当且仅当足P、M三点共线时，|PQ|+|PM|有最小值,即|尸&+|9|=|尸尸|+|尸网-以诋|-1（此时|MF|为点F到

直线/的距离）,

所以网1,0）到直线/X-y+l=O的距离为眼巴=号=a,

所以4+"。蓝=

所以V2x0+|%-%+1|=/］毛+1°"---->2-也.

所以0尤0+民一为+1|的最小值为2-夜.

故答案为：2-6

练习14.（2023・河南•校联考模拟预测）设P为抛物线C：产=4》上的动点，A（2,4）关于尸的对称点为8,记P到

直线x=-Lx=-3的距离分另1」4，d2,则4+4+|AB|的最小值为（）

A.2717+2B.2713+2

C.Vn+2D.713+717+2

【答案】A

【分析】根据题意得到dl+d2+\AB\=24+2+2|PA|=2（4+|PA|）+2,再利用抛物线的定义结合三角不等式求解.

【详解】解：如图，

因为4=4+2,且A（2,4）关于尸的对称点为B,所以照|=|P8|,抛物线焦点”