2023-2024学年人教A版必修第二册 平面向量的概念 学案

6.1平面向量的概念

【学习目标】（1）能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数

量的区别.（2）会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别.（3）理解

零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些

相关的概念.

题型1向量的概念

【问题探究11在物理中，我们学习过位移、速度和力，这些物理量与我们日常生活

中的面积、质量等有什么区别？

例1下列说法正确的是（）

A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小

B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小

C.向量的大小与方向有关

D.向量的模可以比较大小

学霸笔记：解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的方向.

跟踪训练1下列各量中，哪些是向量，哪些是数量？

（1）密度（2）体积（3）电阻（4）推进力

（5）长度（6）风速

向量：;数量：.（填写相应编号）.

题型2向量的几何表示

【问题探究2]由于实数与数轴上的点一一对应，数量常常用数轴上的一个点表示,

那么，怎么表示向量呢？

例2在如图所示的坐标纸上（每个小方格的边长为1）,用直尺和圆规画出下列向量：

（1）OA,使|就|=4或，点/在点。北偏东45°方向上;

（2）AB,使|通|=4,点6在点/正东方向上；

（3）BC,使|阮|=6,点。在点8北偏东30。方向上.

题后师说

用有向线段表示向量的步骤

跟踪训练2李明从2点出发向东走了5米到达6点，然后改变方向按东北方向走了10V2

米到达。点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达。点.

⑴作出向量丽，BC,CD；

(2)求起的模.

题型3相等向量与共线向量

【问题探究3](1)如果两个向量所在的直线互相平行或重合，那么这两个向量有什么

关系？方向如何？

(2)如果两个向量的大小相等方向相同，这两个向量有什么关系？

例3在平行四边形中，E,尸分别为边皿、比'的中点，如图.

⑴写出与向量定共线的向量;

⑵写出与向量正相等的向量.

一题多变将本例条件不变，求证：BE=FD.

题后师说

寻找相等向量与共线向量的策略

争找翁、_先找与表示已知向量的有向线段长度相

芟向芳/>1等的向量，再确定哪些是同向共线

工先找与表示已知向量的有向线段平行或

共线的线段，再构造同向与反向的向量,

卓向方尸注意不要漏掉以表示已知向量的有向线

段的终点为起点，起点为终点的向量

跟踪训练3

如图所示，的三边长均不相等，E,F,，分别是/GAB,8c的中点.

⑴写出与扉共线的向量;

⑵写出与乐相等的向量.

随堂练习

1.下列命题中正确的是（）

A.温度是向量

B.速度、加速度是向量

C.单位向量相等

D.若|a|=|6|,则a和6相等

2.下列说法正确的是（）

A.向量靠与向量证的长度相等

B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同

C.零向量的大小为0,没有方向

D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等

3.设点。是正三角形/回的中心，则向量而，BO,也是()

A.相同的向量B.模相等的向量

C.共起点的向量D.共线向量

4.

如图所示，每个小正方形的边长都是1,在其中标出了6个向量，在这6个向量中:

(1)有两个向量的模相等，这两个向量是，它们的模都等于;

(2)存在着共线向量，这些共线的向量是,它们的模的和等于.

课堂小结

1.向量是既有大小又有方向的量，借助于向量，我们将代数问题和几何问题互化.

2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一条直线上.当然,

同一直线上的向量也是平行向量.

3.注意两个特殊向量一一零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行.

6.1平面向量的概念

问题探究1提示：面积和质量只有大小，没有方向，而位移、速度和力既有大小，又

有方向.

例1解析：A项，向量不能比较大小，不正确；B项，方向相同的向量也不能比较大小，

不正确；C项，向量的大小即向量的模，指的是向量的长度，与方向无关，不正确；D项，向

量的模是一个数量，可以比较大小，正确.故选D.

答案：D

跟踪训练1解析：密度、体积、电阻、长度都是只有大小没有方向的量，是数量；推

进力、风速是既有大小又有方向的量，是向量.

答案：(4)(6)⑴⑵⑶(5)

问题探究2提示：(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量

的大小，有向线段的方向表示向量的方向.

(2)字母表示：向量可以用字母a,b,c,…表示(E|3刷用黑体a,b,c,书写时用出b,

c).

例2解析：(1)由于点力在点。北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点/距点。的横向

小方格数与纵向小方格数相等.又|鼐|=4A②小方格的边长为1,所以点/距点。的横向

小方格数与纵向小方格数都为4,于是点力的位置可以确定，画出向量嬴，如图所示.

(2)由于点8在点/正东方向上，且|靠|=4,所以在坐标纸上点方距点/的横向小方格

数为4,纵向小方格数为0,于是点6的位置可以确定，画出向量靠，如图所示.

(3)由于点，在点8北偏东30°方向上，且|玩|=6,依据勾股定理可得，在坐标纸上点

。距点8的横向小方格数为3,纵向小方格数为3g-5.2,于是点。的位置可以确定，画出

向量前，如图所示.

O东

跟踪训练2解析:

(1)作出向量而，BC,CD,如图所示.

(2)由题意得，△〃力是直角三角形，其中/6〃C=90°,及7=10&米，切=10米，所以

应)=10米.2X9是直角三角形，其中//应)=90°,AB=5米，加=10米，所以AD=<S2+102

=5强(米)，所以|前|=5有米.

问题探究3

提示：(1)平行(共线).相同或相反.

(2)相等.

例3解析：(1)据题意，与向量前共线的向量为：CF,FB,BF,BC,CB,AE,EA,

ED,DE,AD,DA.

(2)与向量前相等的向量为：BF,AE,ED.

一题多变证明：以力是平行四边形，且£,尸分别为边和，比1的中点，

：.BF=ED,豆BF〃ED,

：.四边形枷应是平行四边形，

：.BE=FD,旦BE〃FD,

ABE=FD.

跟踪训练3解析：(1)'：E,尸分别是熊，加的中点，...母〃比；

.•.与品共线的向量为前，BD,DB,无，CD,BC,CB.

(2)与品相等的向量为加，CD.

［随堂练习］

1.解析：温度只有大小，没有方向，A错误；速度有大小和方向，应该是向量，加速度

是速度变化量与发生这一变化所用时间的比值.由于速度是矢量，速度的变化既可能有大小

上的变化，同时也可能有方向上的变化，因此速度的变化量应该是一个既有大小又有方向的

一个量，即是一个矢量.时间的变化，只有大小，是一个标量.因此加速度是一个矢量，也

就是向量，B正确；向量既有大小也有方向，单位向量都是长度为1的向量，但方向可能不

同，C错误；已知1=1引，但a与b的方向不一定相同，则a与6不一定相等，D错误.故

选B.

答案：B

2.解析：对于A：向量而与向量丽的长度相等，正确；

对于B：有共同起点，且长度相等的向量，若方向不同，它们的终点不同，错误；

对于C：零向量的大小为0,方向为任意方向，错误；

对于D：若两个单位向量平行，则它们的方向可能相反，此时它们不是相等向量，错误.故

选A.

答案：A

3.解析:

如图，因为。是正△力6c的中心，所以|而|=|南|=|而|=〃(〃为△被7外接圆的半径),

所以向量而，B0,团是模相等