数学思想方法之转化与化归学案

数学思想方法之化归与转化学案2007年12月引言：所谓化归与转化的思想是指在研究解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略。一般情况下，总是将复杂的问题化归为简单的问题，将较难的问题转化为较容易的求解的问题，将未解决的问题化归为已解决的问题，等等。化归与转化的思想是解决数学问题时经常使用的根本思想方法，它的主要特点是灵活性与多样性。一个数学问题，我们可以视其为一个数学系统或数学结构，组成其要素之间的相互依存和相互联系的形式是可变的，但其变形并不唯一，而是多种多样的。所以，应用数学变换的方法去有关数学问题时，就没有一个统一的模式可以遵循。在此正需要我们依据问题本身所提供的信息，利用所谓的动态思维，去寻找有利于问题的途径和方法，并从中进行选择。高考十分重视对化归和转化思想的考查。要求考生熟悉数学变换的思想，有意识地运用变换的方法去灵活解决有关的数学问题。高考中重点考查一些常用的变换方法，如一般与特殊的转化，繁与简的转化，构造转化，命题的等价转化，等等。课题化归与转化的思想关键词化归转化一、从曹冲称象谈起三国时候，魏王曹操有个小儿子，名字叫作曹冲。曹冲自幼聪明伶俐、智慧过人，深得曹操的宠爱。曹冲做事爱开动脑筋、勤于思考，才只有五六岁的年纪，就可以想出方法来解决一些连大人都束手无策的问题。

有一天，吴王孙权派人给曹操送来了一头大象作为礼物。北方是没有大象的，曹操第一次见到这样的庞然大物，心下很是好奇，就问送大象来的人说：“这头大象究竟有多重呢？”来人答复：“鄙国从来没有称过大象，也没有方法称，所以不知道大象有多重。早就听说魏王才略过人，手下谋士众多，个个都智慧超群，请您想个方法称称大象的重量，也让我等领教一下北方大国的风范。”

曹操顿时明白这是孙权给他出的一道难题，他可绝对不能丢这个面子，让国威受损。于是他召集群臣，传令下去：能称出大象的重量的人，重重有赏。大家都绞尽了脑汁，苦苦思索。有人说要做一杆大秆，曹操反驳说就是做出来了，也没有人能提得动啊。有人说要把大象锯成一块块地零称，曹操斥责说怎么可能把吴国送的礼物毁坏成这样呢。人们你一言我一语，就是没人想出一个切实可行的方法。

就在大伙儿都一筹莫展之际，小曹冲突然走到曹操身边说道：“父王别着急，我有方法，我们可以先把大象牵到船上，在船帮齐水处作个记号，再将大象牵走，把石头运到船上去，一直到船到达先前作的记号为止，这时石头的重量就和大象的重量相等了。然后，我们再把石头分别称一称，把这些重量加起来，不就知道大象有多重了吗？”

曹操听了大喜，众人也对曹冲的聪明赞叹不已。就这样，大象的重量终于被称出来了。

两千多年前，幼小的曹冲就有这样惊人的智慧，怎不叫人称赞。这个故事启发我们在现实生活中遇事要多动脑筋，经常锻炼自己的思维能力，使人变得越来越聪明。同时它也表达了数学中的一种重要的数学思想方法——化归与转化。转化大象的重量石头的重量〔这个问题可解决〕二、化归与转化思想应用举例【例1】〔2006〕假设，那么〔Ａ〕〔Ｂ〕〔Ｃ〕〔Ｄ〕此题考查复合函数的概念、三角函数的根本关系式及运算、转化能力。方法一应选〔Ｃ〕。方法二令，那么，所以,应选〔Ｃ〕.此题中方法一和方法二采用了两种不同的转化方法，一种是由未知向转化，一种是由向未知转化.在方法一中，首先把转化为，通过的关于的函数关系，将代入原函数的表达式，得出的表达式。在方法二中，首先把转化为关于的表达式，进而得出关于自变量的函数关系，再将代入，也可以得出的表达式.此题中的两种转化方式是处理问题时比拟典型的方法.【例2】〔2004〕设函数为奇函数，那么〔Ａ〕0〔Ｂ〕1〔Ｃ〕〔Ｄ〕5此题属于求函数值的问题.题目的条件中并没有给出函数的解析式，而是给出了函数的两条性质和时的函数值，分析后不难看出，要想求出的值，必须利用所给的两条性质进行转化，最终利用求值.因此，由如何利用性质出现就成了解决此题的关键.先利用性质分析，将进行转化：其中，只需求出即可。于是问题进一步转化为如何求的值。再使用相同的思维模式进行变形已经不可能，必须与另一条性质综合考虑才行.由于是Ｒ上的奇函数，那么.因为，即，由此解得。到此的求值转化已根本完成，可以求的值了.，应选〔Ｃ〕.此题以求函数值为素材，重点考查化归与转化的思想.利用函数的两条性质，沟通与未知的关系，将未知转化成进行求解.在转化的过程中，又表达出特殊与一般，具体与抽象之间的相互转化，使多种数学思想方法交织、融会在一起，由此表达出对运算能力和思维能力的考查.【例3】〔07湖北〕．在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，为棱上的一点，且．那么点到平面的距离为Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．【例4】〔07山东〕给出以下三个等式：．以下函数中不满足其中任何一个等式的是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕解析：本小题主要通过三种抽象函数的根本概念和性质，考查学生的转化与化归的数学思想和抽象概括能力．考查学生是否能把平时所学的根本函数的一般性质抽象概括出来，并转化加以应用．因为对数函数满足〔恒〕等式〔1〕；指数函数满足〔2〕；正切函数满足〔3〕，故答案为〔B〕．【例5】〔〔07天津〕函数．〔Ⅰ〕求函数的最小正周期；〔Ⅱ〕求函数在区间上的最小值和最大值．【例6】〔07湖南〕设分别是椭圆〔〕的左、右焦点，假设在其右准线上存在使线段的中垂线过点，那么椭圆离心率的取值范围是〔〕A． B． C． D．【分析及解】如图，MF2设是线段PF1的中垂线，设那么.即，化简得〔1〕为了求出的范围，先将〔1〕式转化为有的式子，为此，两边同时除以，得〔2〕注意到〔2〕式左边的取值范围，那么〔2〕式又可以转化为从而，解之得.【例7】(2004年，全国卷Ⅲ)球的半径为,三点都在球面上,且每两点间的球面距离均为,那么球心到平面的距离为().(A)(B)(C)(D)【分析及解】由条件,分析所给出的几何体的特征,可作如下转化:球心到平面的距离正三棱锥的高正方体的对角线可立即得出球心到平面的距离=棱长为的正方体对角线的=.【例8】．假设不等式对一切均成立，试求实数的取值范围。【分析及解】令，那么要使它对均有，只要有或.点评：在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的.但在某些特定条件下，此路往往不通，这时假设能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解.此题中，假设视x为主元来处理，既繁且易出错，实行主元的转化，使问题变成关于p的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行.【例9】设求证(提示：可构造如下图的直角三角形)11ba【例10】〔2006全国卷I〕在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的局部为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量.求点M的轨迹方程.【分析及解】此题外表上为解析几何的试题，看似与函数无关，因此很容易想到用解析法确定椭圆切线方程的方法，这样就会陷入繁杂的计算之中，事实上，在求得曲线C的方程后，将其转化为函数的图像来认识，通过导数得y'=－eq\f(2x,\r(1－x2))设P(x0,y0)，因P在C上,有0<x0<1,y0=2eq\r(1－x02),y'|x=x0=－eq\f(4x0,y0),得切线AB的方程为:y=－eq\f(4x0,y0)(x－x0)+y0。于是得A(eq\f(1,x0)，0)和B(0，eq\f(4,y0))，设M(x，y)，由得：x=eq\f(1,x0)，y=eq\f(4,y0)，所以，，代入得点M的轨迹方程为:eq\f(1,x2)+eq\f(4,y2)=1(x>1,y>2)【例11】〔06天津〕.设函数，点表示坐标原点，点.假设向量，是与的夹角〔其中〕，设，那么。【分析及解】【例12】〔07全国〕如图，正四棱柱中，，那么异面直线与所成角的余弦值为〔D〕A． B． C． D．AA1D1C1B1ADCBA1D1C1B1ADCBzyx〔综合法〕〔坐标法〕A1C1B1ADCB第〔7〕题D1【分析及解】1〔综合法，转化为平面角〕不妨设AB=1，那么A1A=2，连结BC1，A1C1，那么AD1∥BC1，∠A1BC1为所求异面直线与所成角．在△A1BC1中，A1B=BC1=，A1C1=，．选D．2〔坐标法，转化为向量的夹角〕不妨设AB=1，那么A1A=2，以A为坐标原点建立如下图的空间直角坐标系，那么，，，，．，∴与所成角的余弦值为，选D．【例13】〔07全国二〕．在中，是边上一点，假设，那么〔〕A． B． C． D．【分析及解】由向转化.由得.所以..即，从而选A.【例14】〔07全国二〕在中，内角，边．设内角，周长为．〔1〕求函数的解析式和定义域；〔2〕求的最大值．【分析及解】〔一般解法〕〔1〕的内角和，由得．应用正弦定理，知 ， ．因为，所以，〔2〕因为 ， 所以，当，即时，取得最大值．【转化解法】此题大局部考生都是用三角恒等变形和正弦定理通过一定量的计算来完成,但是注意到数形结合,可以很快解决问题.为此,延长到,使,那么,由正弦定理,即,由此,.【例14】〔07江苏〕．假设对于任意的实数，有，那么的值为〔〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．【分析及解】假设将右边展开，比照系数来计算将转化为，那么问题显而易解.从而.选B.【例15】(07全国22〕数列中，，．〔Ⅰ〕求的通项公式；〔Ⅱ〕假设数列中，，，证明：，．【分析及解】〔Ⅰ〕〔转化为等比数列〕用待定系数法.由得〔1〕设，展开整理，得〔2〕比照〔1〕和〔2〕，得.所以．所以，数列是首项为，公比为的等比数列，，即的通项公式为，．〔Ⅱ〕用数学归纳法证明〔略〕．【例16】〔07天津21〕在数列中，，其中．〔Ⅰ〕求数列的通项公式；〔Ⅱ〕求数列的前项和；【分析及解】〔Ⅰ〕〔转化为等差数列〕由，，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为．〔Ⅱ〕解：设，①②当时，①式减去②式，得，．这时数列的前项和．当时，．这时数列的前项和.三、化归与转化思想练习练习1〔07全国一〕函数的一个单调增区间是〔〕A． B． C． D．练习2〔07上海〕．假设，且，那么的最大值是．练习3〔07辽宁〕函数〔其中〕.〔I〕求函数的值域；〔II〕假设对任意的，函数，的图象与直线有且仅有两个不同的交点，试确定的值〔不必证明〕，并求的单调增区间．练习4〔07全国二〕函数的最小正周期和最大值分别为A．， B．， C．， D．，练习5．假设，那么点的轨迹是A