2023年中考数学几何模型-几何图形的旋转变换（讲+练）（解析版）

专题09几何图形的旋转变换

知识点：（1）旋转后的图形与原图形是全等的；（进而得到相等的线段、相等的角）

（2）旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；（进而得到等腰三角形）

（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；（若特殊角则得到等边三角形、等

腰直角三角形）

题型一,求点的坐标

例1.如图，在平面直角坐标系中，A（1,0）,B（-2,4）,A8绕点A顺时针旋转90°得

到AC,则点C的坐标是（）

【答案】C

【解析】如图，过点8作轴于E,过点C作CFLr轴于凡

VA(1,0),B(-2,4),：,OA=\,BE=4,OE=2,AE=3,

'：NAEB=/AFC=N54C=90°,

：.Zfi+ZBAE=90°,ZHAE+ZCAF=90°,AZfi=ZCAF,

\'AB^AC,：./\BEA^/\AFC(AAS),

：.CF=AE^3,AF=BE=4,OF=l+4=5,：.C(5,3),选C.

例2.如图，RtZ\AO3中，ZAOB=90Q,OA=3,OB=4,将△AOS沿x轴依次以三角形三

个顶点为旋转中心顺时针旋转，分别得图②，图③，则旋转到图⑩时直角顶点的坐标是

()

A.(28,4)

【解析】,：ZAOB=90°,OA=3,08=4,：.AB=\/0A2+OB2=V32+42=5,

根据图形，每3个图形为一个循环组，3+5+4=12,

所以，图⑨的直角顶点在x轴上，横坐标为12X3=36,所以，图⑨的顶点坐标为（36,0）,

又•••图⑩的直角顶点与图⑨的直角顶点重合，，图⑩的直角顶点的坐标为（36,0）.选B.

【变式训练1］如图在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（1,2）,过点B作BA±y

轴于点A,连接OB将aAOB绕点O按顺时针方向旋转45°,得到△A9B，，则点B的坐标

【答案】B

【详解】将线段OB绕点O顺时针旋转90°得到OE.连接BE交OB于F,作FH±x轴于H,

BGJ_x轴于G,如图所示：

VB(1,2),可得E(2,-1),VZBOF=ZEOF,OB=OE,；.BF=EF,

二喟♦。仁腮

13A/W

.FHOHOF.222

VFH^B/G,,

'GB'OGOB-OGA/5

.OG=©G=

【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，AAOB的顶点B在第一象限，点A在），轴的

正半轴上，A0=AB=2,NOAB=120°,将aAOB绕点。逆时针旋转90°,点8的对应

点B'的坐标是（）

【答案】D

【解析】作夕轴于”.

由题意：OA'=4'B'=2,NB'A'”=60°,

B'H=30°,

：.AH'=^A'B'=1,B'H=V3,：.OH=3,：.B'(-3,V3),选£>.

【变式训练3】如图，AAOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2,述），底边OB在x轴上。

将aAOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A9B,点A的对应点A，在x轴上，则

点0'的坐标为（）

【解析】如图，过点A作ACJ_OB于C,过点O作OD_LA'B于D,

VA（2,5）,，OC=2,AC=/,

由勾股定理得04=，0。2+力。2=,2?+（巡）2=3,

•.,△AOB为等腰三角形，OB是底边，.*.OB=20C=2X2=4,

由旋转的性质得，BO,=OB=4,ZA'BO'=ZABO,

Aa(yn'4A/5

sinz^ABO—sinz^O'BD,O'D=——

AnBBO'3

【变式训练4】如图，在平面直角坐标系中，将正方形OA8C绕点。逆时针旋转45。后得

到正方形0A18C1，依此方式，绕点。连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如

果点A的坐标为(1,0),那么点比020的坐标为()

【解析】•••四边形OABC是正方形，且04=1,

：.B(1,1),

连接0B,由勾股定理得：0B=W

由旋转得：OB=OB\=OB2=OB3=…=a，

•..将正方形O43C绕点。逆时针旋转45°后得到正方形048Ci，

相当于将线段08绕点。逆时针旋转45°,依次得到/AOB=/3OBI=/8|O32=“=45°,

：.B\(0,V2),B2(-1.1),83(-V2,0),B(-1,-1),…，

发现是8次一循环,所以2020+8=252…4,.,•点及020的坐标为(-1，-1),

选C.

A

D

例1.如图1,已知点B、C、。在同一条直线上，和△CCE都是等边三角形，BE交

AC于点F,AD交CE于点、H.

（1）求出N4CE的度数；

（2）请在图1中找出一对全等的三角形，并说明全等的理由；

（3）若将△（7£>£绕C点转动到如图2所示的位置，其余条件不变，（2）中的结论是否还成

立，说明理由.

【答案】见解析

【解析】(1),..△ABC和△(?£)£都是等边三角形，.•.N4CB=NEC£)=6(r,

•点8、C、。在同一条直线上，/.ZAC£=180°-ZACB-ZECD=180°-60°-60°

=60°；

(2)ABCf^AACD.理由：:△ABC和△CED都是等边三角形，

NBCA=NDCE=60°,BC=AC,CE=CD,：.ZBCE=ZACD,

(BC=AC

在△BCE和ZvlC。中，\ABCE=AACD,.".△fiCE^AACD(SAS)；

(CE=CD

(3)(2)中的结论还成立.

•二△A8c和△€：£>£都是等边三角形，ZACB=ZECD=60°,AC=BC,EC=DC.AZ

BCE=NACD,

：.^BCE^/\ACD(SAS).

例2.如图1,正方形MCQ与正方形A£FG的边AB、AE(AE)在一条直线上，正方

形WG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为a.在旋转过程中，两个正方形只有

点A重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG.

(1)当正方形A£FG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE-DG-.

(2)当点C在直线BE上时，连接R7,直接写出NFCD的度数；

(3)如图3,如果a=45。，AB^2,AE=4&，求点G到5E的距离.

【答案】(1)证明：如图2,

:四边形MC£)是正方形，43=AT)，ZBAE+ZEAD^90°.

•.•四边形A£FG是正方形，AAE=AG,ZEAD+ZDAG=9QP.：.ZBAE=ZDAG.

：.公ABEwAADG(SAS).:.BE=DG.

(2)解:45。或135。.

(3)解：如图3,连接G8、GE.

图3

由已知a=45°,可知NBAE=45。.又：GE为正方形AEFG的对角线，

二ZAEG=45。.AB//GE.

11；

•AE-4>/2>••GE—8,SA0EC=SA14go=万5正方粉竹^=16•jj..,.,B\lBHJ.AEJ'H-

,;AB=2,：.BH=AH=日：.HE=3丘・：,BE=2y^.设点G到BE的距离为〃.

•••S.BEc=3BEh=3x2后xh=T6..-.h=^-.即点G到破的距离为小叵•

..如“2255

例3.在Rt^ABC中，AC±AB,D为内平面内一动点，CD=a,CB=b,其中a,b为常数,

且a<b,WAADC沿射线AB方向平移，得到ABEF,点A、C、D的对应点分别为点B、E、

F,连接AF.

(1)如图，若D在aABC内部，请在图中画出ABEF；

(2)在(1)的条件下，若CD_LAF,求AF的长(用含a,b的式子表示)；

(3)若NABC=S试探究当线段AF的长度取最小值时/ACD的大小(用含a的式子表示).

【解答】(1)见解析；(2)”=，1一.2；(3)N/C0=90°-a

【解析】(1)如图所示：

(2)连接CE、DF、AE,如图所示:

•.,将4ACD沿射线AB方向平移，得到aBEF,

.,.CD//EF,CD=EF：AC//BE,AC=BE,四边形ACEB是平行四边形，

,.,ZCAB=90°,四边形ABEC为矩形，；.BC=AE,VCD1AF,AEFIAF

•；CD=a,BC=b,...EF=a,AE=b,/.AF=y/AE2—EF2=y/b'2—a2；

(3)当点F在AE上时，线段AF的长度最小，如图所示:

:四边形ABEC是矩形，NABC=a,；.AE=BC,且互相平分，,OE=OB,二/OEB

=ZOBE,

VZABE=90°,；./CBE=90°-a,/ACD=NBEF=/CBE=90°—a.

【变式训练1】已知：在RtAABC中，ZACB=90°,AC=BC,D是线段AB上一点，连结CD,

将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE,连结DE,BE.

(1)依题意补全图形；

(2)若NACD=a,用含a的代数式表示NDEB；

(3)若4ACD的外心在三角形的内部，请直接写出a的取值范围.

【答案】(1)见解析；(2)NOE6=90°—a：(3)45°<a<90°

【解析】(1)如图所示：

(2)..•将线段CD绕点C逆时针旋转9旋得到线段CE,，NDCE=90°,CD=CE,

VZACB=90°,AZACD=ZBCE=a,

AC=BC

NACD=NBCE,

{CD=CE

/.△ACD^ABCE(SAS),，NCBE=NA,

VZACB=90°,AC=BC,AZA=45°,，/CBE=45”,

VZDCE=90o,CD=CE,AZCED=45°,

在4BCE中，ZBCE=ZACD=a,

NDEB=180°—a-45°—45°=90°—a；

(3)•..△ACD的外心在三角形的内部，.•.△ACD是锐角三角形，

AZACDOO0,ZADC<90°,

又•../A=45°,.,.NACD>45",；.45°<^<90°.

【变式训练2】阅读下面材料，并解决问题：

(1)如图①等边△ABC内有一点P,若点P到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5,求/

APB的度数.

为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到AACP'处，此时△4CP'gAABP,这

样就可以利用旋转变换，将三条线段PA.PB、PC转化到一个三角形中，从而求出NAP8

=150°；

(2)基本运用

请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题

已知如图②，△A8C中，NC4B=90°,AB=AC,E、F为8c上的点且/E4F=45°,求

证：EF2=BE1+FC2；

（3）能力提升

如图③，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=\,NABC=30°，点。为RtZ\ABC内一点，

连接AO,BO,CO,且/AOC=NCOB=NBQ4=120°,求OA+OB+OC的值.

【解析】（1）VAACP,^/XABP,：.AP'=AP=3、CP1=BP=4、NAP'C=AAPB,

由题意知旋转角/以P'=60°,:.MPP为等边三角形，PP'=AP=3,ZAP'P=

60°,

易证C为直角三角形，且NPPC=90°,

ZAPB=ZAP'C=ZAP'P+ZPP'C=60°+90°=150°；

（2）如图2,把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE',

由旋转的性质得，AE'=AE,CE'=BE,ZCAE'=ZBAE,ZACE'=NB,ZEAE'=

90°,

VZ£AF=45°,AZE'AF=ZCAE'+ZCAF=ZBAE+ZCAF=ZBAC-ZEAF=90°-45°

=45。，

：.ZEAF=ZE'AF,

；AE=AE'

在尸和△£'4尸中，NE4F=NE'4F，AF(SAS'),：.E'F=EF,

AF=AF

VZCAB=90°,AB=AC,,N8=NACB=45°,/.ZE/CF=45°+45°=90°,

由勾股定理得，E'F2=CE'2+2,apEF2=BE2+FC2.

(3)如图3,将△AO8绕点8顺时针旋转60°至△A'O'8处，连接。。'，

•.•在RtZVlBC中，/C=90°,AC=1,/4BC=30°,：.AB^2,：.BC=>JAB2-AC2=V3,

•.,△AO8绕点8顺时针方向旋转60°,二.△A'O'8如图；乙4'BC=ZABC+6Q°=30°

+60°=90°,

VZC=90°,AC=\,乙48c=30°,：.AB=2AC=2,

「△AOB绕点8顺时针方向旋转60°,得到△与O'B,：.A'B=AB=2,BO=BO',A'

O'=AO,

...△BO。'是等边三角形，：.BO=OO',ABOO'=ZBO'0=60°,

；/AOC=/CO8=/8OA=120°,

：.ZCOB+ZBOO'=ZBO'A'+ZBO'(9=120°+60°=180°,：.C,0、A'>O'四

点共线，

RtAA(8c中,/VC=y/BC2+A'B2=J(V3)24-22=V7,：.OA+OB+OC^A'O'+00'+OC

=4'C=y[7.

【变式训练3】在△ABC中，AC=BC,在△?!£/)中，AD=ED,点D、E分别在C4、AB

上.

(1)如图①，若44cB=a4£>£=90。，则8与BE的数量关系是；

(2)若/4CB=NA£>E=120。，将A4ED绕点A旋转至如图②所示的位置，则8与跳:的

数量关系是;

(3)若NACB=NADE=2a(0<a<90。)，将△诋绕点A旋转至如图③所示的位置，探究

线段CD与8E的数量关系，并加以证明(用含a的式子表示).

图①图②

【答案】(1)BE=42CD.(2)BE=gCD.

(3)BE=2sinaCD

过点C作C〃_L4?交4?于

AOAE

VCA=CB,DA=DE，ZACB=ZADE^2a,：.Z^ACB^ADE,，——=——

ACAB

BEAB

又,?ZCAB=ZDAE,：.ZCAD=ZBAE,△AOCjMEB,.1

CD~^C

VCA^CB,AH±AB,AH=BH<ZACH=ABCH=a.

:喘=%=靠=2sina,.•.BE=2sina.C“

课后训练

1.如图，在平面直角坐标系中，长方形ABC。的顶点8在坐标原点，顶点A、C分别在y轴、

x轴的负半轴上，其中A(0,-4),C(-2,0),将矩形ABCQ绕点。逆时针旋转得到矩

形A5CO,点9恰好落在x轴上，线段87V与CO交于点E的坐标为()

矩形ABCD绕点D逆时针旋转得到矩形A'B'CD,：.BD=B'D,

又•.'DCLaB',A(0,-4),C(-2,0),：.BC=B'C=2=A'D,

又•..N8'CE=N£>4£=90°,ZB'EC=ZDEA',

.•.△8'£C丝△OE4',：.B'E=DE,设CE=x,则3E=Z)E=4-x,

•.•RtAB'EC中，CE2+B'C2=B'E2,.*.?+22=(4-x)2,解得尸-2,-|),选A.

V2y/2

2.如图，在平面直角坐标系中，点Pi的坐标为(3，y),将线段OP1绕点。按顺时针方

向旋转45°,再将其长度伸长为OP\的2倍，得到线段OP2；又将线段0尸2绕点O按顺时

针方向旋转45°,长度伸长为。尸2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段。&，OP5,…，

OPn（〃为正整数），则点P2020的坐标是

【解析】•••点Pi的坐标为（3，y）,将线段OP绕点。按逆时针方向旋转45°,再将其

长度伸长为。P1的2倍，得到线段。乃；二。P1=1，。尸2=2,

.•."3=4,如此下去，得到线段OP4=23,OP5=24…，.，.OP”=2"I,

由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，•.•2020+8=252-4,

.•.点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，正好在y轴的负半轴上，

/.点P2020的坐标是（0，-22019）.

故答案为：（0,-22019）.

3.如图，在4ADE中，ZDAE=80°,^AADE绕点A顺时针旋转a得△ABC,若AC平分/

DAE,则。=；若AC平分NBAE,则a=.

【答案】40°,80"

【解析】由旋转的性质得：NBAC=/DAE=80°,.•.Nl=N2=a,

若AC平分NDAE,则a=/2=]/DAE=40°；

若AC平分NBAE,贝AC与AD重合，a=/DAE=80°.

4.如图，在AABC中，ZBAC=90°,B=AC=10,点D为AABC内一点，/BAD=15°,

AD=6,连接BD,将AABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应

点为点E,连接DE,DE交AC于点F,则CF的长为

【解答】10—2，8

【解析】过点A作AG_LDE于点G,如图所示：

由旋转知：AD=AE,ZDAE=90°,/CAE=NBAD=15°,

.,.ZAED=ZADG=45°,在AAEF中，ZAFD=ZAED+ZCAE=60°,

ADr-

在Rt^ADG中，4G=。6=黄=3倘，

在RtAFG中，G尸==述,4尸=2/6=2/\CF=AC—AF=1（）—2/.

V3

5.如图，ZiABC中，ZABC=45°,AH_LBC于点H,点D在AH上，且DH=CH,连结

BD,将ABHD绕点H旋转，得到AEHF（点B、D分别与点E、F对应），连结AE,当点

F落在AC上时（F不与C重合），若BC=4,tanC=3,则AE的长为.

,AH_

【解析】在中,

RtaAHC■:tanC=3,,~CH

设CH=c,则BH=AH=3rr,VBC=4,：.3x=4,：.x=\,；.AH=3,CH=1,

由旋转知，ZEHF=ZBHD=ZAHC=90°,EH=AH=3,CH=DH=FH,

EHFH

ZEHF+ZAHF=ZAHC+ZAHF,ZEHA=ZFHC,~AH~HC

.".△EHA^AFHC,；.NEAH=NC,；.tan/EAH=tanC=3,

过点H作HPLAE,如图所示：

A

：.AP2=(34P)2=AH2,：.AP=^2,/.AE=

6.如图，在△ABC中，他=AC,且4c=30。，以AB为腰作等腰直角三角形至£>,以AC

为斜边作等腰直角三角形ACE,连接CO、8E交于点求NDFB的度数.

【答案】方法-：如图1,平移线段EF使得E点与C点裁合,连接DC、BG、

四边形CG3E是平行四边形，BG=CE=AE，BD=AB,ZBAE=75°,

ZGBD=360°-90°-ZABC-ZGBC=75°,^DGB^XBEA,

ZDGC=NDGB+ZBGC=ZAEB+NBEC=9Q。,DG=GC，ADGC为等腰直角三角形

ZDFB=ZDCG=45°.

7.如图1,已知41BC是等腰直角三角形，ZBAC=90。，点。是3c的中点.作正方形DEFG,

使点A、C分别在0G和DE上，连接AE,BG.

(1)试猜想线段BG和AE的数量关系是,

(2)将正方形DEFG绕点、。逆时针方向旋转«(0°<«<360°),

①判断(1)中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论;

②若BC=DE=4,当他取最大值时，求"'的值.

【答案】(1)BG=AE-.

(2)①成立.以下给出证明:

如图，连接4)，

•.•在RtABAC中，。为斜边8c中点,

:.AD=BD,ADLBC,

：.ZADG+ZGDB=90°.

•••四边形瓦6。为正方形，

DE=DG,tLZGDE=90°,

/.ZADG+ZADE=9GP,

：.ZBGD=ZADE.

BD=AD

在ABDG和A/WE中，＜NBDG=ZADE,；.ABDG三AADE,

DG=DE

：.BG=AE.

②由①可得BG=AE,当BG取得最大值时，他取得最大值.

当旋转角为270。时，BG=AE,最大值为2+4=6.

如图，止匕时AF=JAE?+EF?=2万.

8.阅读下面材料，并解决问题：

(1)如图①等边△ABC内有一点P,若点尸到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5,求N

APB的度数.

为了解决本题，我们可以将△然「绕顶点A旋转到△4CP'处，此时△ACP'四△ABP,这

样就可以利用旋转变换，将三条线段PA.PB、PC转化到一个三角形中，从而求出/APB

-150°；

(2)基本运用

证：EF2=BE2+FC2；

(3)能力提升

如图③，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=1,/ABC=30°,点。为RtZvLBC内一点,

连接AO,BO,CO,且/AOC=NCOB=/8OA=120°,求OA+OB+OC的值.

【解析】(1)'：/\ACP'^/\ABP,：.AP'=AP=3.CP'=BP=4、ZAP'C=ZAPB,

由题意知旋转角/以P'=60。，...△AP尸为等边三角形，PP'=AP=3,乙4尸尸=60。,

易证△PUC为直角三角形，且NPPC=90。，

二ZAPB=ZAP'C=NAP'P+ZPP'C=60°+90°=150°；

(2)如图2,把△ABE绕点A逆时针旋转90。得到AACF,

ZEAF=45°,

：.ZE'AF=ZCAE'+ZCAF=ZBAE+ZCAF=ZBAC-ZE4F=90°-45°=45°,AZE4F=

ZE'AF,

AE=AE'

在小EAF和^E'AF中，1/.EAF=NE'HF，/\EAF^/\E'AF(SAS),：.E'F=EF,

AF=AF

VZCAB=90°,AB^AC,：.ZB^ZACB=45°,/E'CF=45°+45°=90°,

由勾股定理得，E'F2=CE'2+FC2,即EF1=BE1+FC2.

(3)如图3,将ZAOB绕点B顺时针旋转60。至△405处，连接00,

,在中，ZC=90°,AC=