2023年中考数学真题实战测试 矩形B(学生版)

2023年中考数学精选真题实战测试42矩形B

一'单选题（每题3分，共30分）

1.（2022•无锡）下列命题中，是真命题的有（）

①对角线相等且互相平分的四边形是矩形②对角线互相垂直的四边形是菱形③四边相等的四边

形是正方形④四边相等的四边形是菱形

A.①②B.①④C.②③D.③④

2.（2022・黔西）在如图所示的RtAZBC纸片中，AACB=90°,D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD

折叠，点B到点E的位置，连接AE.若AE||DC,Z.B=a,贝吐区4。等于（）

1

A.aB.90°—aC.D.90°—2a

3.（2022•宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形

ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）

A.正方形纸片的面积B.四边形EFGH的面积

C.ABEF的面积D.AAEH的面积

4.（2021・北部湾）如图，矩形纸片ABCDAD：AB=V2；1,点E,F分别在AD,BC上,

把纸片如图沿EF折叠，点A,B的对应点分别为A,，B；连接AA1并延长交线段CD于点

5.（2021•娄底）如图，点E,F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上，BE=DF,则四边形

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

6.（2022•恩施）如图，在矩形ABCD中，连接BD,分别以B、D为圆心，大于■JBD的长为半径画弧，

两弧交于P、Q两点，作直线PQ,分别与AD、BC交于点M、N,连接BM、DN.若40=4,AB=2.则

四边形MBND的周长为（）

7.（2022•宁波）如图，在R3ABC中,D为斜边AC的中点,E为BD上一点,F为CE中点.若AE=AD,

DF=2,则BD的长为（）

A

A.2A/2B.3C.2V3D.4

8.（2021,西藏）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.点E、F分别是AB,AO的中

C.6D.8

9.（2021•连云港）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点小、的的位置,

ED1的延长线交BC于点G,若乙EFG=64°，则乙EGB等于（）

A.128°B.130°C.132°D.136°

10.（2022•绥化）如图，在矩形中，P是边40上的一个动点，连接BP,CP,过点B作射线，交

线段CP的延长线于点E,交边于点M,且使得乙4BE=ZCBP,如果4B=2,BC=5,AP=x,PM=y,

其中2<x<5.则下列结论中，正确的个数为（）

（Dy与x的关系式为y=久一;（2）当4P=4时，△ABP八DPC；（3）当AP=4时，tan乙EBP=|.

A.0个B.1个C.2个D.3个

二、填空题（每空3分，共18分）

11.（2022•邵阳）已知矩形的一边长为6cm,一条对角线的长为10cm,则矩形的面积为cm2.

12.（2022•大连）如图，对折矩形纸片4BCD,使得4。与BC重合，得到折痕EF,把纸片展平，再一次

折叠纸片，使点A的对应点才落在EF上，并使折痕经过点B,得到折痕连接MF,若MF1

AB=6cm,则40的长是cm.

13.（2022•梧州）如图，在△ABC中，乙4cB=90。，点D,E分别是AB,AC边上的中点，连接

CD,DE.如果AB=E>m,BC=3m,那么CD+DE的长是m.

14.（2022・武威）如图，在四边形ABCD中，AB||DC,AD||BC,在不添加任何辅助线的前提

下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是.

15.（2022•贺州）如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,E,F分别是AD,AB的中点，乙40c

的平分线交AB于点G,点P是线段DG上的一个动点，贝UAPEF的周长最小值为.

16.（2022,苏州）如图，在矩形ABCD中需=刍.动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，

动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN.动点M,N同时出发，点M运动的速度为

%，点N运动的速度为v2,且巧＜.当点N到达点C时，M,N两点同时停止运动.在运动过

程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形MA'B'N.若在某一时刻，点B的对应点B,恰好

在CD的中点重合，则宗的值为

v2---------------

三'解答题（共8题，共72分）

17.（2022・云南）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD,E为线段AD的中点，延长BE与CD的

延长线交于点F,连接AF,ZBDF=90°

（1）求证：四边形ABDF是矩形;

（2）若AD=5,DF=3,求四边形ABCF的面积S.

18.（2021•安顺）如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM=AB,且BN1AM,垂足为

N.

(1)求证：XABNMAD；

（2）若力。=2,AN=4,求四边形BCMN的面积.

19.（2022•贵阳）如图，在正方形ABC。中，E为4。上一点，连接BE,BE的垂直平分线交AB于点M,

交CD于点N,垂足为。，点F在。C上，RMF||AD.

（1）求证：4ABE34FMN；

（2）若4B=8,AE=6,求ON的长.

20.（2022•西藏）如图，在矩形ABCD中，AB=4BC,点F在BC边的延长线上，点P是线段BC上

一点（与点B,C不重合），连接AP并延长，过点C作CGLAP,垂足为E.

（1）若CG为/DCF的平分线.请判断BP与CP的数量关系，并证明;

（2）若AB=3,AABP^ACEP,求BP的长.

21.（2022,泰州）如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线.

A

（1）求证：AF与DE互相平分；

（2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由.

22.（2022•哈尔滨）已知矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是边40上一点，连接BE,CE,0E,

且BE=CE.

（2）如图2,设BE与AC相交于点F,CE与BD相交于点H,过点D作AC的平行线交BE的延长线

于点G,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（AAEF除外），使写出的

每个三角形的面积都与△AEF的面积相等.

23.（2022・长春）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形4BCD

为它的示意图.他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中4。=他先将A4纸沿

过点A的直线折叠，使点B落在4。上，点B的对应点为点E,折痕为ZF；再沿过点F的直线折叠,

使点C落在EF上，点C的对应点为点H,折痕为FG；然后连结AG,沿AG所在的直线再次折叠，发

现点D与点F重合，进而猜想AADG三△AFG.

小亮对上面AADG三A4FG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程:

证明：四边形4BCD是矩形，

."BAD=/LB=^C=^D=90°.

1

由折叠可知,Z-BAF="BAD=45°,^BFA=AEFA.

：.AEFA=Z-BFA=45°.

-,-AF=y[2AB=AD.

请你补全余下的证明过程.

(2)【结论应用】

NZMG的度数为度，器的值为;

⑶在图①的条件下，点P在线段ZF上，且4P=气8,点Q在线段4G上，连结FQ、PQ,如图

②，设AB=a,贝UFQ+PQ的最小值为.(用含a的代数式表示)

24.(2022•天津)将一个矩形纸片。ABC放置在平面直角坐标系中，点。(0,0),点。(3,0),点C(0,6),

点P在边。C上(点P不与点O,C重合)，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P,并与x轴的正

半轴相交于点Q,且NOPQ=30。，点O的对应点。'落在第一象限.设。Q=t.

=1时，求ZOQA的大小和点。'的坐标;

(2)如图②,若折叠后重合部分为四边形，O'Q,。”分别与边相交于点E,F,试用含有t的

式子表示O'E的长，并直接写出t的取值范围;

(3)若折叠后重合部分的面积为38，则t的值可以是

(请直接写出两个不同的值即可).

答案解析部分

1.【答案】B

【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题

【解析】【解答】解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确，故该命题是真命题；

②对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题；

③四边相等的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题；

④四边相等的四边形是菱形，正确，故该命题是真命题.

故答案为：B.

【分析】根据矩形的判定定理可判断①；根据菱形的判定定理可判断②④；根据正方形的判定定理

可判断③.

2.【答案】B

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理；翻折变换(折叠问题)；直角三角形斜边

上的中线

【解析】【解答】解：ABC中，ZACB=90°,D是斜边AB的中点，

；.CD=BD=AD,

•.•把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置

；.BD=ED,NB=NCED,

ACD=BD=AD=ED,

ZB=ZDCB=ZDCE=NCED=a,

.,.ZEDC=180°-ZDCE-ZCED=180o-a-a=180°-2a,

VAE//DC,

ZAED=ZEDC=180°-2a,

VED=AD,

.\ZEAD=ZAED=180o-2a,

VZB=a,ZACB=90°,

.".ZCAD=90°-a,

AZEAC=ZEAD-ZCAD=180°-2a-(90°-a)=90°—a.

故答案为：B.

【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得CD=BD=AD,利用折叠的性质可

推出CD=BD=AD=ED,ZB=ZCED,利用等边对等角，可得到NB=NDCB=NDCE=NCED

=%利用三角形的内角和定理和平行线的性质可表示出NAED的度数，从而可表示出NEAD,ZCAD

的度数；然后根据NEAC=NEAD—NCAD,可表示出NEAC的度数.

3.【答案】C

【知识点】矩形的性质；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法

【解析】【角牟答】解：设MD=m,MH=n,则MH=m-n,

,・,矩形纸片和正方形纸片的周长相等,

2AP+2(PG-PH)=2AP+2(m-n)=4m,

AP=m+n,

・•・阴影部分面积二S矩形ABCD-2SAADH-2SAAEB

=(2m+n)(2m-n)-2xA(m-n)(2m+n)-2xA(2m-n)m

=2mn,

•正方形纸片的面积=m2,四边形EFGH的面积=#,ABEF的面积=*mn,AAEH的面积=6（m-n）；

.,.△BEF的面积阴影部分面积，

q

一定能求出△BEF的面积.

故答案为：C.

【分析】设设MD=m,MH=n,则MH=m-n,根据矩形纸片和正方形纸片的周长相等，列式求出AP=m+n,

然后根据面积的和差表示图中阴影部分的面积，再整理化简，再用m、n分别表示出四个选项的面积，

即可作出选择.

4.【答案】A

【知识点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：如图，过点F作FHLAD于点H,

：.EA=EA',FB=FB',

；.EF是AA'的垂直平分线.

ZAOE=90°.

♦.•四边形ABCD是矩形，

ZBAD=/B=ND=90。.

ZOAE+ZAEO=ZOAE+ZAGD,

.\ZAEO=ZAGD.

VFHXAD,

；.NFHE=ND=90。.

；.△EFH^AGAD.

.EF_FH

"AG=AD-

ZAHF=ZBAD=NB=90。，

二四边形ABFH是矩形.

；.FH=AB.

.EF_FH_AB_1_42

''AG=AD=AD=^=^J'

故答案为：A.

【分析】过点F作FHLAD于点H,利用折叠的性质可证得EA'=AE,FB=FBz,同时可证得EF是

AAZ的垂直平分线，可得到NAOE=90。；利用矩形的性质去证明/AEO=NAGD,利用垂直的定义可

证得NFHE=ND=90。；再利用有两组对应角分别相等的三角形相似，可证得△EFHs/^GAD,利用

相似三角形的性质可得对应边成比例；利用矩形的性质可得到FH=AB,由此可求出EF与AG的比值.

5.【答案】A

【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：由题意：

•・.AD//BC,・•・Z.ADB=乙CBD，

Z.FDA=Z.EBC,

又VAD=BC,BE=DF,

：.hADFCBE(SAS),

AF=EC,

•••^AFD=乙CEB,AF//EC,

••・四边形AECF为平行四边形，

故答案为：A.

【分析】证明△4DF三△CBE(SZS),利用全等三角形的性质得出4F=EC乙4F0=NCEB

利用内错角相等两直线平行，可得AF〃CE,根据一组对边平行且相等可证四边形AECF为平行四

边形.

6.【答案】C

【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质

【解析】【解答】解：•••四边形ABCD是矩形，

LA=90°,AD||BC,

・•・Z.MDB=乙NBD,

由作图过程可知，PQ垂直平分BD,

・・・BM=DM,BN=DN,

・・・乙MDB=4MBD,乙NBD=乙NDB,

••・Z-MBD=Z-NDB,

・・・BM||DN,

.•・四边形MBND是平行四边形，

又•••BM=DM,

二平行四边形MBND是菱形，

设BM=DM=x(x>0),则AM=AD-DM4-x,

在RtZkABM中，AB2+AM2=BM2,即2?+(4—xf=/,

解得久=f,

则四边形MBND的周长为4BM=4%=4X1=10

故答案为：C.

【分析】根据矩形的性质可得NA=90。，AD〃BC,根据平行线的性质可得NMDB=NNBD,由作图

过程可知：PQ垂直平分BD,则BM=DM,BN=DN,根据等腰三角形的性质可得NMDB=/MBD,

ZNBD=ZNDB,推出BM〃DN,结合BM=DM可得四边形MBND是菱形，设BM=DM=x,贝!J

AM=AD-DM=4-x,利用勾股定理可得x,进而不难求出四边形MBND的周长.

7.【答案】D

【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线

【解析】【解答】解：ABC是直角三角形，D为斜边AC的中点，

；.AD=BD=CD,

VAE=AD,

；.AE=BD,

•.•D为AC的中点，F为EC的中点，

；.DF为△ACE的中位线，

；.AE=2DF=4,

；.BD=AE=4.

故答案为：D.

【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得出AD=BD=CD,结合AE=AD,得出AE=BD,然后由中

位线定理求出AE的长，则可求出BD长.

8.【答案】A

【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：•••四边形ABCD是矩形，

；.AC=BD=8,BO=DO=1BD,

；.BO=DO=1BD=4,

•.•点E、F是AB,AO的中点，

；.EF是^AOB的中位线，

；.EF=iBO=2,

故答案为：A.

【分析】由矩形的性质可得AC=BD=8,B0=D0=|BD=4,然后根据中位线的性质进行解答.

9.【答案】A

【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）

【解析】【解答】解：..•四边形ABCD是矩形，

AAD//BC,

・・,矩形纸片ABCD沿EF折叠，

.・・NDEF=NGEF,

XVAD//BC,

.・・NDEF=NEFG,

•••NDEF=NGEF=NEFG=64°,

■:乙EGB是4EFG的外角，

，乙EGB=ZGEF+ZEFG=128°

故答案为：A.

【分析】根据矩形的性质求出NDEF=NEFG,由折叠可得NDEF二NGEF,从而求出

NDEF=NGEF=NEFG=64°,根据三角形的外角可得乙EGB=NGEF+NEFG,据此计算即可.

10.【答案】C

【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；四边形-动点问题

【解析】【解答］解：（1）・・•在矩形43CD中,

：.AD||BC,^A==90°,BC=AD=5,AB=DC=2,

：.^LAPB=乙CBP,

9：Z.ABE=乙CBP,

：.^ABE=^LAPB,

A△ABM〜△4PB,

.AB_AM

,,加=而

9CAB=2,AP=x,PM=y,

・2x—y

•五二U-'

解得：y=x--f

Jx

故(1)符合题意；

(2)当4P=4时，DP=AD-AP=5-4=1,

.DC_DP_1

,•加诙=2'

XVzX=ND=90°,

△ABPfDPC,

故（2）符合题意；

（3）过点M作MF1BP垂足为F,

：.^A=Z.MFP=AMFB=90°,

•当4P=4时，此时久=4,y=x--=4-l=3,

JX

：.PM=3,

在RtaAPB中，由勾股定理得：BP2=AP2+AB2,

；・BP=VAP2+AB2=V42+22=2倔

VzFPM=4ApB,

：.△FPM-AAPB,

.MF_PF_PM

99~AB~AP~TB,

.MF_PF_3

,,丁rF'

•,375675

,•MnFc=-，Pr=­g—»

'-BF=BP-PF=2V5-等=零，

3/5

MFr3

Z.tanzEBP=釜=枭=」

BF4V54

亏

故（3）不符合题意；

故答案为：C.

【分析】利用矩形的性质、相似三角形的判定和性质逐项判断即可。

11.【答案】48

【知识点】勾股定理；矩形的性质

【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，BC=6cm,AC=10cm,

.•.在Rt△ABC中，AB=V102-62=8(cm),

:矩形ABCD=ABXBC-8X6=48(cm2).

故答案为：48.

【分析】根据矩形的性质可得/ABC=90。，利用勾股定理求出AB,然后根据矩形的面积公式进行计

算.

12.【答案】5V3

【知识点】矩形的性质；翻折变换(折叠问题)；解直角三角形

【解析】【解答】解：如下图所示，设Z,E交BM于点。，连接AO,

•••点E是中点,

.•.在和中，AO=OM=OB,OA'=OB=OM,

.'.^OAE=4)BE,AOBA'=^OA'B,

♦:乙OBE=^OBA',

：.AOAE=^OA'B,

VzOXF+^AOE=90°,^OA'B+^OA'M=90°,

：.AAOE=^OA'M,

：.AO//A'M,

'：AM//OA'

，四边形AOAM是平行四边形,

：.AM=OA'

：.AM=A。=OM,

.•.△4。”是等边三角形，

：.AAMO=AOMA'=60"

tanZ-AMO-tan60°=

-,-AM=2V3.

,：MF1BM,NOMA=60",

J.^A'MF=30°,

：.ADMF=180°-150°=30°,

i

■:DF=^AB=3,

-'-AD=AM+MD^5V3.

故答案为：5V3.

【分析】先求出四边形4。4M是平行四边形，再求出zAMF=30°,最后求解即可。

13.【答案】4

【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线

【解析】【解答】解：：D、E分别是AB和AC的中点，

.•.DE是△ABC的中位线，

13

:・DE=^BC,

9：^ACB=90°,

由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：DC==■!，

CD+DE=|+1=4.

故答案为：4.

【分析】由题意可得DE是△ABC的中位线，则DE=|BC=|,根据直角三角形斜边上中线等于斜边

的一半可得DC=1AB=|,据此计算.

14.【答案】NA=90。（答案不唯一）

【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定

【解析】【解答】】解：需添加的一个条件是NA=90。，理由如下：

VAB/7DC,AD//BC,

四边形ABCD是平行四边形，

XVZA=90°,

平行四边形ABCD是矩形，

故答案为：/A=90。（答案不唯一）.

【分析】由已知条件可得四边形ABCD是平行四边形，然后结合矩形的判定定理进行解答.

15.【答案】5+V37

【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形

【解析】【解答】解：如图，在CD上取点H,使DH=DE,连接EH,PH,过点F作FKLCD于点K,

在矩形ABCD中，ZA=ZADC=90°,AD=BC=6,CD=AB=8,

...△DEH为等腰直角三角形，

：DG平分NADC,

.\DG垂直平分EH,

；.PE=PH,

APEF的周长等于PE+PF+EF=PH+PF+EF>FH+EF,

当点F、P、H三点共线时，△PEF的周长最小，最小值为FH+EF,

VE,F分别是AD,AB的中点，

；.AE=DE=DH=3,AF=4,

；.EF=5,

VFKXCD,

ZDKF=ZA=ZADC=90°,

四边形ADKF为矩形，

；.DK=AF=4,FK=AD=6,

；.HK=1,

-,-FH=y/FK2+HK2=V37，

；.FH+EF=5+V37,即△PEF的周长最小为5+V37.

故答案为：5+后.

【分析】在CD上取点H,使DH=DE,连接EH,PH,过点F作FKLCD于点K,根据矩形的性质

可得

ZA=ZADC=90°,AD=BC=6,CD=AB=8,推出△DEH为等腰直角三角形，结合DG平分NADC可

得DG垂直平分EH,则APEF的周长可转化为PH+PF+EF,易得当点F、P、H三点共线时，△PEF

的周长最小，最小值为FH+EF,根据中点的概念可得AE=DE=DH=3,AF=4,利用勾股定理可得EF,

易得四边形ADKF为矩形，贝1JDK=AF=4,FK=AD=6,利用勾股定理求出FH,据此解答.

16.【答案】|

【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换(折叠问题)；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判

定(ASA)

【解析】【解答】解：如图所示：

在矩形ABCD中黎=|,设AB=2a,=3a,运动时间为t,

・•.CD=AB—2a,AD=BC=3a,BN=172aAM=v^t,

在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形MAEN,

B'N=BN=v2t>A'M=AM—vrt，

若在某一时刻，点B的对应点B，恰好在CD的中点重合，

DB'=B'C=a,

在RtAB'CN中，zf=90%B'C=a,B'N=v2t,CN=3a—v2t，贝U"=|a=BN，

•••乙A'B'N=ZB=90°，

AA'B'D+乙CB'N=90°,

•••乙CNB'+乙CB'N=90°,

•••^A'B'D=乙CNB',

AEDB'〜AB'CN,

DE_BC_BC_a_3

■'-~^='CN=BC^BN==4'

DB'=B'C=a,

DE=|DBZ=竟,则BE=J(£)B')2+DE2=Ja2+(1a)2=£'

A'E=A'B'-B'E=2a-^a=^a,即DE=^a=A'E,

在AA'EM和ADEB'中，

'屋=NO=90°

'AE=DE

<Z-AEM=2DEB

・・・AArEM=ADEB\ASA),

r

:.A'M—BD=a,即AM-vrt-a,

巧—_ZM_a_3

‘历=砧=丽="=5

3a

故答案为：|.

【分析】设AD与AE交于点E,设AB=2a,则BC=3a,根据矩形的性质可得CD=AB=2a,AD=BC=3a,

BN=V2t,AM=vit,根据折叠的性质可得B，N=BN=V2t,A，M=AM=vit,由题意可得DB，=BC=a,根据

线段的和差关系可得v2t=|a=BN,根据同角的余角相等可得/ABD=/CNBT证明△EDB^AB^N,

利用勾股定理可得B，E,然后表示出A，E、DE,证明△A，EM四△DEB，，得到A，M=B，D=a,据此求解.

".【答案】(1)证明：•.•四边形ABCD平行四边形，

AAB//CD,即AB〃DE,

.\ZEFD=ZEBA,ZEAB=ZEDF,

•.•E为AD的中点,即EF=EB,

AEB^ADEF(AAS),

；.AE=ED,

四边形ABDF是平行四边形,

VZBDF=90°,

・・・四边形ABDF是矩形；

(2)解：•・,四边形ABDF是矩形，

.\ZAFD=90°,AB=DF,

1・_后必=BD,

•・•四边形ABCD平行四边形，

二•CD=AB二DF=3,

・・・CF=CD+DF=6,

・・・S=S梯形ABCF—1(AB+CF)-BD=|x9x4=18,

即四边形ABCF的面积S为18.

【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定(AAS)

【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质得出AB〃DE,则由平行线的性质得出角相等，然后利用AAS

证明△AEB0ADEF,得出AE=ED,结合EF=EB，证出四边形ABDF是平行四边形,再结合NBDF=90。,

证出四边形ABDF是矩形；

(2)根据勾股定理求出AF长，然后根据矩形的性质和平行四边形的性质求出AB和CF的长，最后根

据梯形的面积公式计算，即可解答.

18.【答案】(1)证明：\•在矩形ABCD中，

.\ZD=90o,AB/7CD,

AZBAN=ZAMD,

*：BN1AM,

；.NANB=90°,即：ZD=ZANB,

又•.FM=AB,

:.XABN三XMAD(AAS)

(2)解：△ABN三AMAD,

；.AN=DM=4,

'：AD=2,

•'-AM=V22+42=2V5，

，AB=2V5，

，矩形ABCD的面积=2V5x2=4V5,

又,S»ABN—S^MAD=2*2X4=4，

，四边形BCMN的面积=4V5-4-4=4V5-8

【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【分析】（1）利用矩形的性质及垂直的定义可得ND=/ANB=90。，ZBAN=ZAMD,根据AAS

可证△ABNMAD；

（2）由△ABN三△MAD,可得AN=DM=4,利用勾股定理求出AM,即得AB,由四边形BCMN的

面积=矩形ABCD的面积-△ABN的面积-△MAD的面积，据此计算即可.

19.【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，有AD=DC=CB=AB,ZA=ZD=ZC=90°,BC||AD,

AB||DC,

'：MF||AD,ZA=ZD=90°,AB||DC,

四边形ADFM是矩形，

；.AD=MF,ZAMF=90°=ZMFD,

.,.ZBMF=90°=ZNFM,即NBMO+NOMF=90。，AB=AD=MF,

：MN是BE的垂直平分线，

AMN±BE,

ZBOM=90°=ZBMO+ZMBO,

.,.ZMBO=ZOMF,

2NFM=AA=90°

VMF=AB，

1.乙OMF=AMBO

.*.△ABE/△FMN；

（2）解：连接ME,如图，

VAB=8,AE=6,

...在RtAABE中，BE=yJAB2+AE2=V82+62=10,

根据(1)中全等的结论可知MN=BE=10,

VMN是BE的垂直平分线，

.,.BO=OE=1B£=5,BM=ME,

；.AM=AB-BM=8-ME,

在RtAAME中，AM2+AE2=ME2,

A(8-MF)2+62=ME2,解得：ME=孕，

4

・・・BM=ME二年，

q

.•.在R3BMO中，MO2=BM2-BO2,

-"-MO=<BM2-BO2=J(第2—52=竽，

AON=MN-MO=10一¥=今.

44

即NO的长为：孕.

q

【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理;矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定(ASA)

［解析］［分析］(1)根据正方形的性质可得AD=DC=CB=AB,ZA=ZD=ZC=90°,BC〃AD,AB〃DC,

易得四边形ADFM是矩形，则AD=MF,ZAMF=90°=ZMFD,根据垂直平分线的性质可得MNXBE,

由同角的余角相等可得NMBO=NOMF,然后根据全等三角形的判定定理AASA进行证明；

(2)连接ME,利用勾股定理得BE,根据全等三角形的性质可得MN=BE=10,由垂直平分线的性质

得BO=OE=5,BM=ME,则AM=8-ME,利用勾股定理可得ME,MO,然后根据ON=MN-MO进行

计算.

20.【答案】(1)解：BP=CP,理由如下：

：CG为NDCF的平分线，

.\ZDCG=ZFCG=45°,

；.NPCE=45°,

VCGXAP,

；.NE=/B=90。，

.\ZCPE=45°=ZAPB,

；.NBAP=/APB=45°,

；.AB=BP,

VAB=|BC,

；.BC=2AB,

；.BP=PC

(2)解:'/△ABP^ACEP,

・・・AP=CP,

,.・AB=3,

,.・BC=2AB=6,

•・•力p2=AB2+BP2,

・・・(6-BP)2=9+BP2,

「.BP1

4

【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形；角平分线的定义

【解析】【分析】⑴根据矩形的性质得NB=NBCD=90。,根据角平分线的概念可得NDCG=/FCG=45。，

根据对顶角的性质可得NFCG=/PCE=45。，ZCPE=45°=ZAPB,根据三角形的内角和定理可得

ZBAP=ZAPB=45°,推出AB=BP,由已知条件可知AB=：BC,贝l|BC=2AB,据此解答；

(2)根据全等三角形的性质可得AP=CP,由AB=3可得BC=2AB=6,然后在RtAABP中，利用勾

股定理进行计算.

21.【答案】(1)证明：\•线段DE与AF分别为AABC的中位线与中线，

：.D,E,F分别是AB,AC,BC的中点，

线段DF与EF也为△ABC的中位线，

ADFHAC,EF||AB,

四边形ADFE是平行四边形，

；.AF与DE互相平分.

(2)解：当AF=±BC时，四边形ADFE为矩形，理由如下：

\•线段DE为AABC的中位线，

ADE=|BC,

由(1)知四边形ADFE为平行四边形，若回ADFE为矩形，则AF=DE,

/.当AF=1BC时，四边形ADFE为矩形.

【知识点】三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；三角形的中位线定理

【解析】【分析】(1)由题意可得D,E,F分别是AB,AC,BC的中点，则线段DF与EF都为△ABC

的中位线，根据中位线的性质可得DF〃AC,EF//AB,推出四边形ADFE是平行四边形，然后根据

平行四边形的对角线互相平分可得结论；

(2)根据中位线的性质可得DE=^BC,由(1)知四边形ADFE为平行四边形，若平行四边形ADFE

为矩形，则AF=DE,据此解答.

22.【答案】(1)证明：・・•四边形43。。是矩形，

・・・4C与3。相等且互相平分，

：.0B=0C,

■:BE=CE,0E=0E,

：.LBEO=^CEO(SSS)；

(2)解：△DEG、ADEH.XBFO、△C”。这4个三角形的面积与△AEF的面积相等.

【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质

【解析】【解答］解：(2)二•四边形ABCD是矩形，

二•AB=CD,NBAE=NCDE=90。，OA=OD=OB=OC,

又〈BE二CE,

ARtAABE^RtADCE(HL)

・・・AE=DE,

•・S440E=SADOE，

VOA=OD,AE=DE,

AOEXAD,

：.AB||OE,

•=SBOE，

1•SA/OE-S^EOF=S&BOE~S^EOF，

:・S〉BFO=S4/EF；

■:XBEO/CEO,

••NOBF=NOCH,S>BOE=S*OE，

又〈NBOF=NCOH,OB=OC,

.*.△BOF^ACOH(ASA),

:・S>BFO=S^CHO=S〉AEF，

:・S〉BOE~^LBOF-S〉COE~S&COH，

:・SAOEF-SxOEH，

••^LAOE~LOEF=SbDOE~S^OEH，

:・S〉DEH=SA4EF；

*：AC||DG,

.\ZAFE=ZDGE,ZEAF=ZEDG,

XVAE=DE,

Z.△AEF三△CEG(44S),

SxAEF-SADEG；

综上所述，ADEG、ADEH、XBFO、△CH。这4个三角形的面积与△AEF的面积相等.

【分析】(1)利用全等三角形的判定方法求解即可；

(2)先求出AB=CD,ZBAE=ZCDE=90°,OA=OD=OB=OC,再利用全等三角形的判定与性质求解

即可。

23.【答案】(1)证明：四边形4BC0是矩形，

：.^BAD=ZB=ZC=ZD=90°.

1

由折叠可知，ABAF=-^ABAD=45°,^BFA=AEFA.

：.^EFA=ABFA=45°.

'-AF=y/2AB=AD.

由折叠得，乙CFG=4GFH=45°,

J.^AFG=LAFE+乙GFE=45°+45°=90°

：.^AFG=4=90°

又AD=AF,AG=AG

・・△ADG=△A.FG

(2)22.5°；V2-1

(3)空。

2

【知识点】矩形的性质；四边形的综合

【解析】【解答】解：(2)由折叠得，/BAF=AEAF,

又NBAF+NEAF=90°

ZEAF="BAE=宏x90。=45°,

11

由△ZDG三A4FG得,ZDAG=Z.FAG=^FAD=JX45°=22.5°,

ZAFG=^ADG=90",

又/AFB=45°

：./GFC=45°,

:./FGC=45°,

：.GC=FC.

设ZB=%,贝=%,AF=V2x=AD=BC,

­•FC=BC-BF=V2x-x=(V2-1)%

,GF=V2FC=(2-V2)x

♦GF(2—i/2)x内

,寸=H1

(3)如图，连接FD,

ARED

；DG=FG

AAG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称，

连接PD交AG于点Q,则PQ+FQ的最小值为PD的长；

过点P作PR1AC交AD