2024年河北省石家庄长安区中考一模数学试题(含答案)

年初中毕业年级教学质量检测数学试卷注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上．3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共16个小题．1-6小题每小题3分，7-16小题每小题2分，共38分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．比2（）A．小2 B．大2 C．小4 D．大42．一艘轮船在P处向M处的海上巡逻艇呼叫救援，根据图所示，巡逻艇从M处去P处实施救援，若要航线最短，其航行的路线为（）A．沿北偏东方向航行 B．沿南偏西方向航行C．沿北偏东方向，航行30海里 D．沿南偏西方向，航行30海里3．为纪念我国著名数学家苏步青所做的卓越贡献，国际上将一颗距地球2.18亿千米的行星命名为“苏步青星”，将2.18亿用科学记数法表示为，则（）A．8 B．6 C．4 D．24．若使用如图所示的a，b两根直铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以分为两段的铁丝是（）A．a，b都可以 B．a，b都不可以 C．只有a可以 D．只有b可以5．整式，，下列结论：结论一：．结论二：A，B的公因式为x．下列判断正确的是（）A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确C．结论一、结论二都正确 D．结论一、结论二都不正确6．如图，将由6个棱长为1的小正方体组成的几何体在桌面上逆时针旋转后，主视图的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．67．在课堂上老师给出了一道分式化简题：化简，以下变形过程正确的是（）A．原式 B．原式C．原式 D．原式8．如图，，则直线与所成的锐角的度数是（）A． B． C． D．9．如图，数轴上有①，②，③，④四部分，数轴上的三个点分别表示数a，b，c且，，则原点落在（）A．段① B．段② C．段③ D．段④10．如图，四边形中，点E，F，G，H分别是线段，，，的中点，对于四边形的周长，下列说法正确的是（）A．只与线段，的长有关 B．只与线段，的长有关C．只与线段，的长有关 D．与四边形各边的长都有关11．班主任和甲、乙、丙三位同学围坐在圆桌前．如图，班主任坐在了D座位，三位同学随机坐在A，B，C三个座位，则甲、乙两位同学座位相邻的概率是（）A． B． C． D．12．如图，在正方形纸片上进行如下操作：第一步：剪去长方形纸条；第二步：从长方形纸片上剪去长方形纸条．若长方形纸条和的面积相等，则的长度为（）A． B． C． D．13．刘阿姨早晨从家里出发去公园锻炼，匀速走了后回到家（中间不休息）．下图表示她出发后离家的距离与行走时间之间的函数关系图象．则下列图形中可以大致描述刘阿姨行走路线的是（）A． B．C． D．14．对于题目“已知及圆外一点P，如何过点P作出的切线？”甲、乙的作法如图：甲的作法连接，作的垂直平分线交于点G，以点G为圆心，长为半径画弧交于M，作直线．直线．即为所求．乙的作法连接并延长，交于B，C两点，分别，以P，O为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点D，连接，交于点M，作直线．直线即为所求．下列说法正确的是（）A．甲和乙的作法都正确 B．甲和乙的作法都错误C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．乙的作法正确，甲的作法错误15．如图，直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不包括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则k的取值可能是（）A．2 B．3 C．4 D．516．如图，矩形中，点E，F，G分别在边，，上，将矩形分别沿，，折叠，使点A，D恰好都落在点O处，点B落在点处．以下结论：Ⅰ：若点落在上，则．Ⅱ：若点与点O重合，则．下列判断正确的是（）A．Ⅰ、Ⅱ都正确 B．Ⅰ、Ⅱ都不正确C．只有Ⅰ正确 D．只有Ⅱ正确二、填空题（本大题有3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分）17．计算：__________．18．规定一种新运算：，如．（1）计算：__________；（2）如果，则x的值为__________．19．图1是一种拼装玩具的零件，它可以看作是底面为正六边形的六棱柱，其内部挖去一个底面为正方形的长方体后得到的几何体，图2是该零件的俯视图，正方形的两个相对的顶点A，C分别在正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），点E，F分别是正六边形的顶点．已知正六边形的边长为2，正方形边长为a．（1）连接，的长为__________；（2）a的取值范围是__________．三、解答题（本大题有7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（本小题满分9分）琪琪准备完成题目：计算：．发现题中有一个数字“■”被墨水污染了．（1）琪琪猜测被污染的数字“■”，请计算；（2）琪琪的妈妈看到该题标准答案的结果等于，请通过计算求出被污染的数字“■”．21．（本小题满分9分）某班数学小组在研究个位数字为5的两位数的平方的规律时，得到了下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；…按照以上规律，解决下列问题：（1）填空：__________=__________；（2）已知且n为整数，猜想第n个等式（用含n的等式表示），并证明．22．（本小题满分9分）鱼塘承包户小李在春天往鱼塘投放了2000条鱼苗，打算在中秋节前全部售出，据统计，鱼的存活率约为．小李随机捕捞了20条鱼，将每条鱼称重后得到的质量作为一个样本，然后把鱼又放回鱼塘．统计结果如图所示：（1）求样本的中位数和平均数；（2）已知这种鱼的售价为25元，利用样本平均数，估计小李售完鱼塘里的这种鱼的总收入．23．（本小题满分10分）某中学举行校庆活动，使用了两架小型无人机进行现场拍摄，1号机所在高度与上升时间的函数图象如图所示；2号机从高度，以的速度上升．两架无人机同时起飞，设2号机所在高度为．（1）求1号机所在高度与上升时间x之间的函数表达式（不必写出x的取值范围），并在图中画出2号机所在高度与上升时间的函数关系图象；（2）在某时刻两架无人机能否位于同一高度？如果能，求此时两架无人机的高度；如果不能，请说明理由．24．（本小题满分10分）如图1，某玩具风车的支撑杆垂直于桌面，点O为风车中心，，风车在风吹动下绕着中心O旋转，叶片端点A，B，C，D将四等分，已知的半径为．（1）风车在转动过程中，当时，点A在左侧，如图2所示，求点A到桌面的距离（结果保留根号）；（2）在风车转动一周的过程中，求点A到桌面的距离不超过时，点A所经过的路径长（结果保留）；（3）连接，当与相切时，求切线长的值，并直接写出A，C两点到桌面的距离的差．25．（本小题满分12分）图1为某游乐场过山车的一部分滑道设施，为研究过山车沿滑道运动中的数学知识，小李使用电脑软件将这部分滑道抽象出如图2所示的函数图象，并模拟过山车（抽象为点）的运动．线段是一段直滑道，点A在y轴上，且．滑道为抛物线：的一部分，在点处达到最低，点B，D到x轴的距离相等，其中点B到点A的水平距离为2，轴于点G．滑道与滑道可看作形状相同、开口方向相反的两段抛物线，点．（1）求抛物线和的函数表达式；（2）当过山车沿滑道从点A运动到点F的过程中，过山车到x轴的距离为1.5时，求它到出发点A的水平距离；（3）点M为上的一点，求点M到和到x轴的距离之和（图中）的最大值及此时点M的坐标．26．（本小题满分13分）在中，，，，点P是的中点，M在上（不与点C重合），连接，在的左侧作矩形．（1）如图1，当点N在线段上时，①若，求的长；②求的值．（2）如图2，当时，①若矩形在内部（包括边界），设，写出的长与x的函数关系式，并求x的取值范围；②若矩形的两个顶点落在的同一条边上，直接写出在矩形内部的线段长．2024年初中毕业年级教学质量检测数学解答参考及评分参考一、选择题（本大题共16个小题．1-6小题每小题3分，7-16小题每小题2分，共38分）1．C 2．D 3．A 4．C 5．A 6．A 7．D 8．C 9．C 10．B11．D 12．A 13．C 14．A 15．C 16．C二、填空题（本大题有3个小题，共10分，17题2分，18~19小题各4分，每空2分）17． 18．（1）； （2）1或19．（1）； （2）．三、解答题（本大题共7个小题，共72分）20．（本题满分9分）解：（1）；（2）设被污染的数字为x，根据题意得：，解得：．答：被污染的数字是．21．（本题满分9分）解：（1）5625，；（2）（，且n为整数）．证明：．猜测的算式正确．22．（本题满分9分）解：（1）将这20条鱼的质量按照由小到大排列后，中位数是第10、11个数据的平均数，第10、11个数据为1.4、1.4，这20条鱼质量的中位数是．．（2）（元）．答：估计小李售完鱼塘里的这种鱼可收入64125元．23．（本题满分10分）解：（1）由图象知，函数经过，两点．设，将，分别代入得：，解得：．．由题意得：．当，，在直角坐标系中描点，．画得函数的图象如图．（2）在某时刻两架无人机能位于同一高度，理由如下：当时，，解得．．答：此时两架无人机高度为．24．（本题满分10分）解：（1）如图1，过点A作于点F，作于点G，则四边形为矩形．．在中，，，．，，．答：点A到桌面的距离是．（2）如图2，点A在旋转过程中运动到点，的位置时，点A到桌面的距离均为．过点作于H，则．作于点D，则四动形为矩形，．，．在中，，．．由圆的轴对称性可知，．．符合条件的点A所经过的路径长为．（3）连接，如图3．弧AC是半圆，为的直径．直线l切于点C，且l经过点E，．在中，，，．答：切线长的值为．A，C两点到桌面的距离的差为．25．（本题满分12分）解：（1）滑道的顶点为点，．即．点B到点A的水平距离为2，将代入，，点．点D与点B关于直线对称，点．滑道与滑道是形状完全相同、开口方向相反的抛物线，可设抛物线的函数表达式为．将点，分别代入得：，解得：．抛物线的函数表达式为．（2）设直线的函数表达式为．将，代入得：，解得：，直线AB的函数表达式为．点为抛物线的顶点，抛物线不存在的点．当时，，．，解得．根据图像可知．综上所述，时，过山车到出发点A的水平距离为：或．（3）设，则，．．．点M为上一点，，且的值随x的增大而增大，当时，．当时，和长度之和的最大值为4．此时M的坐标为．26．（本题满分13分）（1）①如图1，当时，，此时点M