2.1等差数列的概念及其通项公式8种常见考法归类（原卷版）

2.1等差数列的概念及其通项公式8种常见考法归类课程标准学习目标1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义．2．体会等差数列与一次函数的关系．3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．1.理解等差数列、等差中项的概念．(数学抽象)2．了解等差数列与一次函数的关系．(数学抽象)3．会求等差数列的通项公式以及与等差数列通项公式有关的计算．(数学运算)4．能利用等差数列解决相关的实际问题．(数学建模、数学运算)知识点01等差数列的概念对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示．注：(1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”．(2)一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，即该常数与n无关．(3)求公差d时，可以用d＝an－an－1来求，也可以用d＝an＋1－an来求．公差是每一项与其前一项的差，用an－an－1求公差时，要求n≥2，且n∈N*.【即学即练1】下列数列中，不成等差数列的是（

）．A．2，5，8，11 B．1.1，1.01，1.001，1.0001C．a，a，a，a D．，，，【即学即练2】判断下列数列是否为等差数列，若是，首项和公差分别是多少？(1)在数列中；(2)在数列中；(3)在数列中，其中p，q为常数．知识点02等差数列的通项公式若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为：an＝a1＋(n－1)d，此公式的推导方法是累加法．注：等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个量(首项a1，公差d，项数n和第n项an)，如果知道了其中的任意三个，就可以由通项公式求出第四个．【即学即练3】在等差数列{an}中，（1）已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an；（2）已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n；（3）已知a1＝12，a6＝27，求d；（4）已知d＝－，a7＝8，求a1和an.【即学即练4】已知数列为等差数列，，，则公差d为______．【即学即练5】已知在等差数列中，,，则=（

）A．8 B．10 C．14 D．16知识点03等差数列与一次函数的关系由an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d.当d>0时，数列{an}为递增数列，如图甲所示．当d<0时，数列{an}为递减数列，如图乙所示．当d＝0时，数列{an}为常数列，如图丙所示．注：项目等差数列一次函数解析式an＝kn＋b(n∈N*)f(x)＝kx＋b(k≠0)不同点定义域为N*，图象是一系列孤立的点(在直线上)定义域为R，图象是一条直线相同点等差数列的通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次整式【即学即练6】已知数列中，点在直线上，且．求证：数列是等差数列．知识点04等差中项(1)如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项．(2)如果A是a与b的等差中项，则A＝a+b2注：在等差数列{an}中，任取相邻的三项an－1，an，an＋1(n≥2，n∈N*)，则an是an－1与an＋1的等差中项．反之，若an－1＋an＋1＝2an对任意的n≥2，n∈N∗均成立，则数列{a因此，数列{an}是等差数列⇔2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)．用此结论可判断所给数列是不是等差数列，此方法称为等差中项法．【即学即练7】已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（）A． B． C．1 D．2，【即学即练8】在等差数列中，，则（

）A．14 B．16 C．18 D．28【即学即练9】已知等差数列的前三项依次为，，，求通项.知识点05等差数列的性质（1）通项公式的推广：在等差数列中，对任意，，，；（2）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等差中项.（3）ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)；（4）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列，{pan＋qbn}也是等差数列（5）若数列是等差数列,则仍为等差数列．（6）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．【即学即练10】等差数列中，，，则的值为______．【即学即练11】等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，求a2+a8=（

）A．45 B．75 C．180 D．300知识点06等差数列的四种判断方法(1)定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列；(2)等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列;(3)通项公式：(为常数,)⇔是等差数列;(4)前项和公式：(为常数,)⇔是等差数列;注：是等差数列⇔是等差数列.提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件.【即学即练12】已知数列满足，（），令.（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式.题型一：等差数列概念的理解（一）等差数列概念的判断例1．（2023下·高二课时练习）判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”）（1）数列1，1，1，1，1是等差数列．()（2）若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()（3）任意两个实数都有等差中项．()（4）等差数列的公差是相邻两项的差．()例2．（2023·全国·高二课堂例题）判断下列数列是否为等差数列：(1)1，1，1，1，1；(2)4，7，10，13，16；(3)－3，－2，－1，1，2，3．变式1．（2024上·云南昆明·高二统考期末）已知等差数列，则下列属于该数列的项的是（

）A．23 B．31 C．33 D．43变式2．（2024上·吉林·高二吉林省实验校考期末）已知为等差数列，则下面数列中一定是等差数列的是（

）A． B． C． D．变式3．（2023上·江苏·高二专题练习）已知数列满足，（）．(1)判断数列是否为等差数列，并说明理由；(2)求的通项公式．利用定义求等差数列的通项公式例3．（2023下·北京·高二北京市第九中学校考期中）已知数列满足，，则当时，n的最大值为（

）A．3 B．4 C．5 D．7变式1．（2023下·贵州·高一贵州师大附中校考阶段练习）已知数列中，，则（

）A． B． C． D．变式2．（2023上·安徽合肥·高三校考开学考试）数列满足，，则（

）A． B． C． D．变式3．（2023上·四川广安·高二四川省华蓥中学校考阶段练习）在数列中，，则（

）A． B． C． D．变式4．（2023·高二课时练习）数列中，，（为正整数），则（

）A． B． C． D．变式5．（2023上·江西抚州·高三临川一中校考阶段练习）已知数列满足，，则=（

）A．80 B．100 C．120 D．143【方法技巧与总结】定义法判定等差数列(1)作差an＋1－an；(2)对差式进行变形；(3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列．题型二：等差数列的基本量的计算例4．（2024上·广东河源·高二统考期末）若等差数列中，，则（

）A．12 B．14 C． D．变式1．（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）等差数列满足，且，则（

）A．35 B．37 C．41 D．43变式2．（2024上·内蒙古赤峰·高二统考期末）已知为递增等差数列，，，则的公差（

）A． B． C． D．变式3．（2023上·江苏淮安·高二统考期末）已知正项数列是等差数列，若，，则的值为.变式4．（2023上·河南·高二校联考阶段练习）已知数列是首项为3，公差为1的等差数列，则（

）A． B． C． D．例5．（2023下·高二课时练习）四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为，求这四个数.变式1．（2023上·江苏·高二专题练习）已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．例6．（2023上·山东泰安·高二山东省泰安第二中学校考阶段练习）首项为的等差数列，从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（

）A． B． C． D．变式1．（2023上·江苏扬州·高二江苏省邗江中学校考期末）已知等差数列的前项和为，公差为，且满足，，则的取值范围是.例7．【多选】（2023上·甘肃定西·高二甘肃省临洮中学校考阶段练习）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱?”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法错误的是（

）A．戊得钱是甲得钱的一半B．乙得钱比丁得钱多钱C．甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱变式1．（2023上·四川·高三校联考阶段练习）在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，则谷雨日影长为（

）A．8.5尺 B．7.5尺 C．6.5尺 D．5.5尺变式2．（2024·四川遂宁·统考一模）《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，四日织24尺，且第七日所织尺数为前两日所织尺数之积.则第十日所织尺数为？译为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，前4天织了24尺布，且第7天所织布尺数为第1天和第2天所织布尺数的积.问第10天织布尺数为.【方法技巧与总结】(1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，可求出第四个量．(2)应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，得a1+m−1d=a,a1(3)若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其它项时，则运用am＝an＋(m－n)d较为简捷．(4)当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间的一项为a，再以d为公差向两边分别设项，即设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当等差数列的项数n为偶数时，可设中间两项分别为a－d，a＋d，再以2d为公差向两边分别设项，即设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….题型三：等差数列与一次函数的关系例8．【多选】（2023·高二课时练习）关于等差数列，有下列四个命题，正确的是（

）A．若数列中有两项是有理数，则其余各项都是有理数B．等差数列的通项公式是关于项数n的一次函数C．若数列是等差数列，则数列（k为常数）也是等差数列D．若数列是等差数列，则数列也是等差数列变式1．（2023·全国·高三专题练习）下面结论正确的个数为（

）(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(2)数列为等差数列的充要条件是对任意，都有.(3)数列为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(4)已知数列的通项公式是(其中p，q为常数)，则数列一定是等差数列.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式2．（2023·高二课时练习）在数列中，，，已知该数列的通项公式是关于n的一次函数，则.【方法技巧与总结】(1)根据等差数列图象上的两点求通项公式的一般方法是设出an＝dn＋b，将图象上的点代入，求d，b.(2)判断等差数列增减性的方法主要有两种，一是公差法：d>0递增；d<0递减；d＝0不单调．二是图象法：图象上升递增；下降递减；图象不上升也不下降，不单调．题型四：等差中项例9．（2023上·黑龙江哈尔滨·高二校考期末）已知，，则、的等差中项为（

）A． B． C． D．变式1．（2023上·高二课前预习）已知数列满足，，则等于.变式2．（2023上·重庆·高二校联考期末）在等差数列中，、是方程的两根，则的值为（

）A． B． C． D．变式3．（2023上·高二课时练习）已知数列是等差数列，且，．设与的等差中项为，与的等差中项为，求．【方法技巧与总结】数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝eq\f(a＋b,2)，其中A叫做a与b的等差中项．题型五：等差数列性质的应用利用等差数列的性质进行计算例10．（2024上·北京顺义·高二统考期末）已知等差数列的首项为，且，则.变式1．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列中，若，则.变式2．（2023上·湖南张家界·高二张家界市民族中学校考阶段练习）已知数列是等差数列，且，则（

）A．4 B．6 C．8 D．10变式3．（2024上·河北张家口·高二统考期末）已知数列为等差数列，且，则（

）A． B． C． D．变式4．（2023上·四川成都·高三成都实外校考阶段练习）在等差数列中，，则的值为（

）A．20 B．40 C．60 D．80变式5．（2024上·全国·高二期末）已知数列满足，则等于（）A．6 B．7 C．8 D．9等差数列的单调性例11．【多选】（2023上·高二课时练习）已知等差数列的公差，则下列四个命题中真命题为（

）A．数列是递增数列 B．数列是递增数列C．数列是递增数列 D．数列是递增数列变式1．（2023·全国·高二随堂练习）已知等差数列的通项公式为．(1)求首项和公差；(2)画出数列的图象；(3)判断数列的增减性．变式2．（2023·高二课时练习）已知等差数列的首项，公差．(1)此等差数列中从第几项开始出现负数？(2)当n为何值时，最小？变式3．（2023·安徽安庆·统考三模）已知数列中，，数列满足.(1)求证:数列是等差数列，写出的通项公式；(2)求数列的通项公式及数列中的最大项与最小项.变式4．（2023·高二课时练习）首项为a1，公差为d的整数等差数列{an}满足下列两个条件：①a3＋a5＋a7＝93；②满足an>100的n的最小值是15.试求公差d和首项a1的值．【方法技巧与总结】等差数列的性质若数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，它的性质有：(1)an＝am＋(n－m)d，(n，m∈N＋)；(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则an＋am＝ap＋aq；特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N＋)，则an＋am＝2ap；(3)d＝an−a1n−1＝am−akm−k(4)若{an}为有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项的和；(5)若{an}的公差为d，则数列{λan＋b}(λ，b为常数)是公差为λd的等差数列；(6)数列{an}，{bn}的公差都是d，则数列{λ1an＋λ2bn}(λ1，λ2为常数)是公差为(λ1＋λ2)d的等差数列；(7)下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，(k，m∈N＋)，且{an}的公差为d，组成公差为md的等差数列．题型六：等差数列的公共项问题例12．（2023下·广西钦州·高二校考阶段练习）在和两数之间插入个数，使它们与，组成等差数列，则该数列的公差为（

）A． B． C． D．变式1．（2023上·江苏·高二专题练习）已知等差数列和等差数列…各有100项，问它们有多少个相同的项？记这些共同的项从小到大依次构成数列，问数列是否为等差数列？变式2．（2023上·高二课时练习）已知等差数列的首项为，公差为d，若以第2项为首项，每隔两项取出一项组成一个新的数列，那么这个数列是等差数列吗？若是，求其公差，其中为数列的第几项？【方法技巧与总结】两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数题型七：等差数列的证明例13．（2023上·山西运城·高二校考开学考试）已知数列中，，.(1)证明:数列是等差数列.(2)求数列的通项公式.变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，证明：数列是等差数列；变式2．（2024·江苏·高二假期作业）已知数列的首项，且满足，设，证明：是等差数列；变式3．（2023上·重庆·高二重庆市育才中学校联考阶段练习）已知是等差数列，若，．(1)求的通项公式；(2)证明是等差数列．变式4．（2023下·四川成都·高一阶段练习）已知数列，满足，，记.(1)试证明数列为等差数列；(2)求数列的通项公式．【方法技巧与总结】等差数列的判定与证明方法方法解读适合题型定义法对于数列，若(常数)⇔{an}是等差数列解答题中的证明问题等差中项法对于数列{an},2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)（）成立⇔{an}是等差数列通项公式法(为常数,)⇔{an}是等差数列选择、填空题中的判断问题前n项和公式法Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，Sn为数列{an}的前n项和)⇔{an}是等差数列是等差数列⇔是等差数列.提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件.题型八：等差数列的实际应用例14．（2023·高二课时练习）一种变速自行车后齿轮组由5个齿轮组成，它们的齿数成等差数列，其中最小和最大的齿轮的齿数分别为12和28，求中间三个齿轮的齿数．变式1．（2023·全国·高二随堂练习）某城市的绿化建设有如下统计数据：年份2023202320232023绿化覆盖率/%17.017.818.619.4如果以后的几年继续依此速度发展绿化，那么至少到哪一年该城市的绿化覆盖率可超过？【方法技巧与总结】解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列．合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．一、单选题1．（2023下·江西·高二江西师大附中校考阶段练习）方程的两根的等差中项为（

）A．4 B． C．2 D．2．（2024上·广东深圳·高二校考期末）已知数列中，，若，则（

）A． B． C． D．3．（2024·河南·模拟预测）数列中，，，则（

）A．230 B．210 C．190 D．1704．（2024上·内蒙古赤峰·高二统考期末）在等差数列中，已知，，则等于（

）A．42 B．43 C．44 D．455．（2024上·重庆九龙坡·高二统考期末）已知数列满足，，记，则（

）A． B． C． D．6．（2024上·甘肃·高三统考阶段练习）在等差数列中，是方程的两根，若，则的值为（

）A． B． C．2 D．67．（2023上·河北保定·高二河北定兴第三中学校联考期中）已知数列为等差数列，，，则（

）A． B． C． D．8．（2024上·湖南·高二校联考期末）在数列中，已知，，若，则（

）A．2 B．3 C．4 D．59．（2023上·北京海淀·高三校考阶段练习）已知数列满足，其中为常数，则“”是“是等差数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．（2024·全国·模拟预测）若数列满足对任意的均有，则（

）A． B．C． D．二、多选题11．（2023下·高二课时练习）若一个等差数列的首项，末项，且公差为整数，则项数n的取值可以是（

）A．6 B．7C．8 D．912．（2023·全国·高三专题练习）若，，（，，均不为0）是等差数列，则下列说法正确的是（

）A．，，一定成等差数列B．，，可能成等差数列C．，，一定成等差数列D．