河南省新乡市卫辉市普高联考2023-2024学年高三年级上册测评（二）数学试题

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普高联考2023—2024学年高三测评（二）

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.设集合4={y|y=2",xeR},B={My=&+l,xN0},则4B=（）

A.(l,+oo)B.[l,+oo)C.[0,4w)D.

2.命题“VXNA,%2N2”的否定是()

A.Vx>>/2,x2<2B.3x>V2,x2<2C.Bx>42,x2<2D.Vx<y/2,x2<2

3.已知角e的终边过点。,一2）,则tan2a=（）

114211

A.——B.一C.—D.

23112

4.里氏震级（Af）是表示地震规模大小的标度，它是由观测点处地震仪所记录到的地震波最大振幅（A）和观测

4

点所在地规模0地震所应有的振幅（4）的常用对数演算而来的，其计算公式为M=1g—.2023年8月6日

4）

2时33分，山东省德州市平原县发生5.5级地震，29分钟后又发生3.0级地震，用人与和A3.0分别表示震级为

5.5和3.0的地震波最大振幅，则&a（）（参考数据：师。3.16）

A.o

A.25B.31.6C.250D.316

5.是“函数/（力=电卜—以+£|在（1,”）上单调递增”的（

）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.若方程以2一1nx=。在（i,y）上有两个不同的根，则口的取值范围为（)

A.B.OC.(l,e)D.(f2)

7.三角函数的发展过程中，托勒密做出了杰出的贡献，托勒密的《天文学大成》中有一张弦表，被认为是最

早的正弦表.据书中记载，为了度量圆弧与弦长，托勒密采用了巴比伦人的60进位法，把圆周360等分，把

圆的半径60等分，即用半径的」■作为单位来度量弦长，其中圆心角a所对应的弦长表示为crda.建立了半

60

径与圆周的度量单位以后，托勒密先着手计算一些特殊角所对应的弦长，比如60°角所对的弦长正好是正六边

形外接圆的半径，则60°角所对应的弦长为60个单位，即crd600=60,由此可知，crd45°的值为()

A.6OJ2+V2B.6O/2-V2C.也-&D."+0

8.已知王为函数/(司=丁+3/+公+1的两个不同的极值点，若/(西)+/(%)〉/(与上］,则a

\J

的取值范围是()

A.(-oo,3)B.(0,3)C.(-oo,0)D.(-3,3)

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知函数/(x)=ACOS(S+°)N>0,附的部分图象如图所示，则()

71

B.(P=~

3

C.的图象关于尤=,对称

7T

D.将/(x)的图象向右平移五个单位长度得到的图象关于y轴对称

10.已知函数/(x)=21nx+—,则()

A./(x)的最小值为2-21n2B.“X)的最大值为2-21n2

C.曲线y=/(x)在(ej(e))处的切线过原点D.函数/(x)的导函数存在最大值1

11.记八45。的内角A,8,C的对边分别为a,dc,已知人钻。的周长为3,3=60。，则()

A.存在非等边△ABC满足2/?=a+c

B.存在/XABC满足/=ac

C.AABC内部可以放入的最大圆的半径为且

6

D.可以完全覆盖△ABC的最小圆的半径为3

3

J

12.已知/(x)是定义在R上的奇函数，/(I—2x)为偶函数，且当0<xKl时，/(X)=4-1,则()

A./(x)的周期为4B./(1)+/(2)+---+/(2023)=3

JTYj

C./(x)siny>0D.g(x)=〃x)+5X—1的所有零点之和为16

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.tan420°+tan510°=.

14.设0<a<工，且sin(a-工]=3,则sin(a+2]=___.

2I6；5I12；

15.已知函数/'(x)=sin(2x+")(—万<0<0),设方程/(x)=g最小的两个正根为西，x2(x,<x2)>若

工2=4百，则9=.

16.已知函数/(x)=eTa+e"i—hrv,若的图象与直线2:y=-x+2ea+l有且仅有一个交点，贝物

的取值集合为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

5'-।

17.(10分)已知函数g(x)=5*+1，

(1)设函数/(x)=g(x)-sinx,判断了(X)的奇偶性;

（2）求不等式g（2x—3）—g（x—2）＞0的解集.

18.（12分）已知函数/（力=25由（。彳+0）（。〉0,0＜尹＜'1'）相邻两条对称轴的距离为^,将/（x）的图象

向右平移二个单位长度，得到函数g（x）的图象，且g（x）的图象关于原点对称.

6

（1）求“X）；

7TTT

（2）设函数/2（x）=〃x）+g（x）,当xe-y,y时，方程/?（X）=4有且仅有两个实数根%々，求实数.

的取值范围.

71

19.（12分）记ZkABC的内角A,8,C的对边分别为a,A,c,已知C=一.

3

（1）若C=7\/5,0=2,求COSB；

（2）若2c2-2b2=1lab,求tanB.

20.（12分）2023年7月31日，海河流域发生流域性较大洪水，河北省涿州市辖区内有六条河流经过，一时

洪流交汇，数日内，涿州市成为洪水重灾区.截至8月1日10时，涿州受灾人数133913人，受灾村居146

个，面积225.38平方千米.灾情无情人有情，来自全国各地的单位和个人纷纷向涿州捐献必要的生活物资.某

企业生产一种必要的生活物资，且单笔订单最少预定生产10吨物资，已知生产一批物资所需要的固定成本为

5千元，每生产x吨物资另需流动成本千元，当生产量小于20吨时，〃x）=—f+49x—205,当生产

量不小于20吨时，/（x）=—301nx+24x+5.该企业为了提高企业的诚信度，赢得良好的社会效益，自愿将

自身利润降到最低（仅够企业生产物资期间的开销），将每吨物资的售价降为25千元，已知生产的物资能全部

售出.

（1）写出总利润g（x）（千元）关于生产量x（吨）的函数解析式（注：总利润=总收入一流动成本一固定成

本）；

（2）当生产量为多少时，总利润最小?此时总利润是多少？（参考数据：ln20标3.0）

21.（12分）在八45。中，角A,8,C所对的边分别为a,0,c,己知！+'=，。〉0）.

hca

（1）若。=，=2,且八48。外接圆的半径为1,求的面积S：

（2）若cosAN」，求才的值.

2

22.(12分)设函数/(力二次1一勿11(1+力，曲线y=/(x)在x=0处的切线方程为丁=一二

(1)求。的值；

(2)设函数g(x)=ku—,—xQj).

(i)证明：g(x)只有一个极值点;

(ii)证明：Vm,n>O,/(m)—g(n)>l—ln2.

普高联考2023—2024学年高三测评(二)

数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

11所以A=(0,+oo),B=[l,+oo),故AB=[l,+oo).故选B.

2.C【解析】因为存在量词命题的否定为全称量词命题，全称量词命题的否定是存在量词命题，所以

士N2”的否定是“IrN血,/<2"，故选C.

3.B【解析】由题意知，tana=—=-2,则tan2a=2lang=2x(―,故选R

1l-tan2a1-(-2)23

4.D【解析】由题意得，5.5=lg&,3.0=lg4,从而&=1。55,4犯=1()3.0,因此

44)44

&=q=10"=102x715^316,故选D.

A.oio30

5.A【解析】二次函数y=f—依+g的图象的对称轴为x=B，由"力在(1,+8)上单调递增可知

八1

7s1,3(1

<2即aW—.故是“函数〃x)=lgV—仪+在区间(I,一)上单调递增”的充分

1-«+->0,2I2)

I2

不必要条件.

6.A【解析】由题意可知当x>l时，。=芈有两根和工2•设g(x)="，则g'(x)="一，当》6(1,血)

时，g'(x)>O,g(x)单调递增，当XE(x/^,+8)时，g'(x)vO,g(x)单调递减，当冗=孤时，g(x)取得极

大值，也是最大值，为g(&)=，,g(x)的大致图象如图所示，当X«l,yo)时，g(x)>O,g⑴=0，当

X—>+30时，g(x)-»o,所以故选A.

I

7.B【解析】45。角所对应的弦长为正八边形的边长，设正八边形的外接圆半径为H,由余弦定理，

crd245°^R2+R2-2R-7?COS45°=(2-V2)/?2,所以crd45°=—正R=6O>/2-0.故选B.

8.A【解析】/'(%)=3/+6X+Q,令/'(%)=3%2+6%+々=0,因为公/为/(x)的两个不同的极值点，

所以△=6?-3x44=36-12。>0,芯+x2=-2,x[x2=三,

所以/(芯)+/(/)=X+3片+CLX[+]+X：+3-^2+CIX2+1

=(玉+/)(石一X|^24~%2)+3(尤:+X&)+Q(玉+/)+2

=一2(%；一%w+%；)+3(52+%；)—2々+2=(芯+%2『-2々+2=6—2。，

又/(土产)=/(-1)=3-。，所以6—2a>3—a,解得a<3,故选A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

题号9101112

答案ACADBCDAC

T1177\冗ITTT

9.AC【解析】—=二一一=°=土，所以0=2,T=〃，故A正确;

212122。

/(x)的最大值为2,所以A=2,因为/(0)=2cos°=l，所以cos0=g，又|同<]，所以尹=?或尹=一。

7T

因为/(x)在x=0处的切线斜率大于0,所以夕=一1,故B错误;

I7T\TTTTTT

由A,B选项可知，/（x）=2coslx一一，当*=生时，2工一2=0,所以/（x）的图象关于尤=—对称，

V3J636

故C正确；

77

将f（x\的图象向右平移匕-个单位长度得到的图象对应的函数为

g（x）=2cos2卜一看）一?=2cos（2x—1）=2sin2x,图象关于原点对称，故D错误.

10.AD【解析】=令尸(x)=0,解得x=L当0<x<』时，/(x)<0,当x>」时,

xx222

r（x）>o,

所以/（X）在（o,g）上单调递减，在上单调递增，

所以/（x）min=/（g）=2—21n2,无最大值,故A正确,B错误;

已知“e)4+2,/'(e)=2一二,

eee

故C错误;

因为/'(x)=------------1j+1W1,故D正确，故选AD.

XkJ

11.BCD【解析】依题意a+Z?+c=3,由余弦定理，b2=a1+c2-2accosB=a2+c2-ac.

对于选项A,因为给=a+c,所以如生=/+。2—ac,即（a-c）2=0,则a=b=c,故A错误；

4

对于选项B,因为"=ac,所以ac=/+c2-ac,即（a—c）2=0,则a=/?=c,此时八43。为等边三角

形，故B正确；

对于选项C,由/?2="+，-QC=（3-。一。）2可得，〃c=2（a+c）-3N4jH—3,当且仅当a=c时等号

成立，解得ac<l或酝29（舍去），所以ZVIBC的面积S='acsinBW虫,△ABC的内切圆半径

24

--------<—,所以△ABC内部可以放入的最大圆的半径为彳，C正确；

a+b+c66

(a+c^

对于选项D,设“BC外接圆的半径为及，因为2(a+c)—3=acW——，所以g+cp—8(a+c)+

、2，

12>0,解得a+c<2或a+c26(舍去).由〃=(3—。一。/可得人21,因为2R=」一,所以

sin60°

/?>—,所以可以完全覆盖AABC的最小圆的半径为且，D正确.

33

12.AC【解析】因为“1—2x)为偶函数，所以"1—2x)=/(l+2x),则=〃1+尤)，所以曲线

y=/(X)关于直线X=1对称，又“X)为奇函数，所以〃力+/(_a=0，

所以〃x)+〃x+2)=0,则〃x)=〃x+4),

所以/(x)是周期为4的周期函数，A正确；

了(1)=3,〃2)=〃0)=0,〃3)=_/(1)=-3,〃4)=〃0)=0,

故/⑴+〃2)+…+”2023)=〃1)+/(2)+/(3)=0,B错误;

由题意可知当0Kx<2时，/(力20,如彳20,且/(力与>=5皿妥的周期相同，/(力与丁=4115-

均为奇函数，

故"X)与sin芋■7TY同正同负，所以/(x)sin7学TX20,故C正确；

g(x)的零点可看作y=/(x)与y=-；x+l的图象交点的横坐标，

作出y=/(x)与y=-gx+1的图象，如图所示，由图可知，共有7个交点，且前3个交点与后3个交点关

于第4个交点(2,0)对称，

所以所有零点之和为3x4+2=14,D错误.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

2回

13.-y-【解析】tan4200+tan5100=tan(60°x+2xl800)+tan(-300+3xl800)=

…30。考

tan60°+tan(-30°)=tan60°

7五371_4

14.----【解析】因为sma---又0<a<—t所以cos!a--

10I6)52-5

71、71=，也+且力逑

sina-\---=sinOL------H-------

In)6J4522510

-rr1

15.一一【解析】令〃x)=sin(2x+e)=—,且当x>0时,2x+(p>(p,

182

LLttC"C5",.71(D5"(D又々=44所以患《

所以2%+°=%,2工2+9=不，解得％=上一55%2=五一5

兀

解得夕=——.

16.{1}【解析】依题意可知方程ei+"+e"+J-2版=1DJC-X+1有且仅有一正根，易知lnr—x+l<0,

当且仅当x=1时等号成立，又因为e"-"+-2ea>2ylex-'+a-ea+,-r-2ea=2(e"—ea),当且仅当x=1

时等号成立，所以2(e“-ea)=0,解得a=l.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

<A-_1C-X_11_CX

17.(1)/(x)=■^^J^sirLr,/(x)的定义域为R,/(-x)=^77^J^sin(-x)=^7^J^(-sirLr)=/(x),所以

/(x)是偶函数.

y-i5"+1—2,2

(2)g(x)=-------=1------

5X+15A+15V+1

可知g(x)在R上单调递增，

不等式g(2x_3)_g(x_2)>0可转化为g(2x-3)>g(x-2),

所以2%—3>%—2,解得l>1,

所以不等式的解集为

rj-<G

18.(1)依题意，一=一二，解得69=2,

222。

・，.g(x)=2sin2(1一小+夕=2sin(2x—g+“,

g(X)的图象关于原点对称，・•・一g+夕=%肛左£Z,

八乃乃

0<0<一,"=_

23

九)=2sin2x+—.

3

(36\

(2)由(1)可知，/i(x)=/(x)+g(x)=2sin(2x+y+2sin2x=2二sinZx+X^-cosZx

22

7

sin2x+—cos2x=2V3sin[2x+V).

2

715万

令£=2xH---,■XG-----,—,fG

633'29~6~

f=B当x时,〃(x)取得最大值2百，

k3J6

/?(x)=a有且仅有两个实数根，

19.(1)由正弦定理可得“_=」一，即二一=*,可得sin8=',

sinBsinCsinByj37

T

因为c>),所以5〈工，所以coSB=J1-siYj?=迪,

27

(2)方法一k因为C=—,所以由余弦定理c'2=/+8~—2〃/?cosC,可得c?=〃~+/?~—

3

13,

a=—b,

c~=ci~+b~—ciby—T/口2

联立4可得4

2c2-2/=11她773,

c=----b,

2

所以cos3=〃+c——L=所以tan3=

lac712

方法二由余弦定理可得。2->2=2accosB-a2,又2c?-2方=llab,

所以AaccosB-2a2=1lab,

因为awO,所以4ccos5-2a=l仍，

由正弦定理可得4sinCcosB—2sinA=1IsinB,

又sinA=sin[乃一(3+C)]=sin(3+C)=sin(3+。],

所以2\/§cos8-2sinB+—|=1IsinB,即V3cosB-sinB=1IsinB,

I3j

显然cosBw0,所以J5-tanB=1ItanB,故tan8=，^.

12

20.(1)当x£[10,20)时，g(x)=25x—(-Y+49X—205^—5=x^—24x4-200,

当x£[20,+oo)时，g(x)=25x—301nx+24x+5)—5=301nx+%—10,

.Jx2-24x+200,xe[10,20),

“又"A301ax+x-10,xG[20,4-oo).

(2)当％E[10,20)时，g(x)=x2-24x+200=(x-12)2+56,

所以当x«10,20)时，g(x)n,n=g(12)=56.

/、30

当x£[20,+oo)时，g(x)=301nx+x—10,所以g'(x)=-----Fl>0,

x

所以当xe[20,4w)时，g(x)单调递增,

故go.=g(20)=301n20+20—10=301n20+10«l00.0.

因为56<100.0,

所以当生产量为12吨时，总利润最小，此时总利润为56千元.

21.(1)因为。=/=2,所以'=Bph+c=hc,

hc

又"5。外接圆的半径为1,由正弦定理可知，—=——=2,所以siM=l,

sinAsinA

jr

所以A=7,所以〃+c2=S+c)2-26c=(bc)2—2bc=q2=4,

解得匕。=逐+1或bc=—J?+l(舍去),

所以s与等

(2)方法一由题意可知，cosA的最小值为1,因为，+■!■=’,所以〃=/组

2bcah+c

("c)2一畿尹2乩

b2+c2-a2

由余弦定理可知,cosA=

2bc2hc2bc

(b+c)2rbc

所以cosA=

2bc—-