北师大版2023-2024学年九年级数学下册同步第三章圆单元测试卷(原卷版+解析)

第三章圆单元测试卷一．选择题（共10小题）1．（2022•平泉市二模）如图，在中，，，点在边上（不与，重合），点为的内心，则不可能是A． B． C． D．2．（2022•江岸区校级模拟）如图，是的外接圆，点是内心，连接并延长交于点，若，，，则的值是A． B． C． D．3．（2023秋•青山区期末）如图，已知是的内接三角形，的半径为，将劣弧沿折叠后刚好经过弦的中点．若，则弦的长为A． B． C．9 D．4．如图，在中，，，，以边的中点为圆心作半圆，使与半圆相切，点，分别是边和半圆上的动点，连接，则长的最大值与最小值的和是A．8 B．9 C．10 D．125．（2022•安徽模拟）如图，边长为的正方形的中心与半径为的的圆心重合，，分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为A． B． C． D．6．如图，是半的直径，点在半上，，．是上的一个动点，连接，过点作于，连接．在点移动的过程中，的最小值为A． B． C． D．7．如图，是等边三角形的内切圆，分别与、、切于点，，，，点是上一点，且过圆心，求阴影部分的面积A． B． C． D．8．如图，是半圆的直径，将半圆沿弦折叠，折叠后的圆弧与交于点，再将弧沿对折后交弦于，若恰好是的中点，则A． B． C． D．9．（2022•防城港模拟）如图，在矩形中，，，点在上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为A． B． C．4 D．10．（2022秋•和平区校级期末）已知是半径为2的圆形纸板，现要在其内部设计一个内接正三角形的图案，则内接三角形的边长为A． B． C． D．二．填空题（共6小题）11．（2023春•双流区期末）如图，正方形的边长为，点是边上的一动点，连接，将绕点顺时针方旋转后得到，连接．则点在整个运动过程中，线段所扫过的图形面积为．12．（2022•柘城县校级四模）如图，是的外接圆，是的直径，过点作的垂线，交于点，连接并延长交于点，连接交于点，，．则图中阴影部分的面积为．13．（2023•河北）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中：（1）度；（2）中间正六边形的中心到直线的距离为（结果保留根号）．14．（2022•邢台模拟）如图，内接于，过点作于点，交于点，延长交延长线于点，，连接、．与相交于点，，，将圆心绕着点旋转得到点，若点恰好落某一边上时，则的长度为．15．（2023•合肥模拟）如图，在矩形中，，，是矩形内部一动点，且满足，则线段的最小值是；当取最小值时，延长线交线段于，则的长为．16．如图，正六边形中，，分别是边和上的点，，，则线段长．三．解答题（共8小题）17．（2023•拱墅区校级模拟）如图，内接于，连接，，记，，．（1）证明：；（2）设与交于点，半径为2，①若，，求由线段，，弧围成的图形面积；②若，设，用含的代数式表示线段的长．18．（2023•广西模拟）如图，为的直径，点是弧的中点，点在圆上，点在的延长线上，且．（1）求证：是的切线；（2）连接，若，，求的长．19．（2023•铁东区一模）如图，在中，为直径，四边形为圆内接四边形，点为线段延长线上一点，连接，若．（1）求证：为切线；（2）若为中点，，，，求的半径长．20．（2023•禹会区二模）如图，内接于半圆，已知是半圆的直径．，平分，分别交半圆和于点，，过点作，垂足为点，交于点．（1）求证：；（2）连接交于点，若，求的长．21．（2023秋•哈尔滨期中）如图，内接于，．（1）求证：；（2）点在上，连接，点是上一点，连接，若，，求证：；（3）在（2）的条件下，延长交于点，连接，若，，求的长．22．（2023•怀远县校级模拟）是的外接圆的直径，是半径上一点，交于，交的延长线于，是的中点，连接；（1）求证：是的切线；（2）连交于，若为的中点，，求的长．23．（2023•市中区二模）如图，已知为的直径，过上点的切线交的延长线于点，于点．且交于点，连接，，．（1）求证：；（2）若，，求的长．24．（2023•泸州）如图，是的直径，，的弦于点，．过点作的切线交的延长线于点，连接．（1）求证：平分；（2）为上一点，连接交于点，若，求的长．

第三章圆单元测试卷一．选择题（共10小题）1．（2022•平泉市二模）如图，在中，，，点在边上（不与，重合），点为的内心，则不可能是A． B． C． D．【分析】根据三角形的内角和可得，由为的内心，可得，，所以，由点在线段上（不与、重合），可得，进而可得．【解答】解：在中，，，，为的内心，，，，点在线段上（不与、重合），，，，不可能是．故选：．2．（2022•江岸区校级模拟）如图，是的外接圆，点是内心，连接并延长交于点，若，，，则的值是A． B． C． D．【分析】作交延长线于点，连接，，可得，，由点是内心，可得，，从而得到，进而得到，再证得，即可求解．【解答】解：如图，作交延长线于点，连接，，，，点是内心，，，，，，，，，，，，，，，，，，．故选：．3．（2023秋•青山区期末）如图，已知是的内接三角形，的半径为，将劣弧沿折叠后刚好经过弦的中点．若，则弦的长为A． B． C．9 D．【分析】取折叠后的弧所在圆圆心为，则与设等圆，是公共的圆周角，所以可以证得，过作于，则为的中点，在中，利用勾股定理，可以求出和的长度，由于是中点，可以证明，然后根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图1，设折叠后的所在圆的圆心为，连接，，，连接，，同理，，，与是等圆，，设的半径为，过作于，，，，，，，，如图2，过作于，，可设，则，为的中点，，，，，，在中，，，，（负值舍去），．故选：．4．如图，在中，，，，以边的中点为圆心作半圆，使与半圆相切，点，分别是边和半圆上的动点，连接，则长的最大值与最小值的和是A．8 B．9 C．10 D．12【分析】如图，设与相切于点，连接，作垂足为交于，此时垂线段最短，最小值为，求出，如图当在边上时，与重合时，最大值，由此不难解决问题．【解答】解：如图，设与相切于点，连接，作垂足为交于，此时垂线段最短，最小值为，，，，，，，，，，，，最小值为，当、重合时，最小值为0，如图，当运动到边上时，与重合时，经过圆心，经过圆心的弦最长，最大值，长的最大值与最小值的和是9．故选：．5．（2022•安徽模拟）如图，边长为的正方形的中心与半径为的的圆心重合，，分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为A． B． C． D．【分析】延长，交于，，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．【解答】解：延长，交于，，连接，过点作于．在中，，，，，则图中阴影部分的面积，故选：．6．（2021秋•诸暨市期中）如图，是半的直径，点在半上，，．是上的一个动点，连接，过点作于，连接．在点移动的过程中，的最小值为A． B． C． D．【分析】如图，连接、．在点移动的过程中，点在以为直径的圆上运动，当、、共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可解决问题．【解答】解：如图，连接、．，，在点移动的过程中，点在以为直径的圆上运动，是直径，，在中，，，，，在中，，，当、、共线时，的值最小，最小值为，故选：．7．（2021•广东模拟）如图，是等边三角形的内切圆，分别与、、切于点，，，，点是上一点，且过圆心，求阴影部分的面积A． B． C． D．【分析】连接，，根据等边三角形的性质可得，利用扇形面积公式即可解决问题．【解答】解：如图，连接，，是等边三角形的内切圆，，，，，，，，阴影部分的面积．故选：．8．（2021•汉阳区校级模拟）如图，是半圆的直径，将半圆沿弦折叠，折叠后的圆弧与交于点，再将弧沿对折后交弦于，若恰好是的中点，则A． B． C． D．【分析】过点作的垂线，垂足为，延长交于，连接、、，过点作于点，由圆周角定理得出，得出，证出，延长，证出，推出，设，则，得出，由三角函数得出，因此，求出，由勾股定理和三角函数得出，即可得出结果．【解答】解：过点作的垂线，垂足为，延长交于，连接、、，过点作于点，如图所示：由等圆中圆周角相等所对的弧相等得：，，，是的中点，，是半圆的直径，，，，，设，则，，，，，，，，即，，，，；故选：．9．（2022•防城港模拟）如图，在矩形中，，，点在上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为A． B． C．4 D．【分析】如图，在的上方，作，使得，，连接，过点作于，于．证明点的运动轨迹是以为圆心，为半径的，推出当点落在线段上时，的值最小，想办法求出，，可得结论．【解答】解：如图，在的上方，作，使得，，连接，过点作于，于．，点的运动轨迹是以为圆心，为半径的，当点落在线段上时，的值最小，四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，四边形是矩形，，，，，，的最小值，故选：．10．（2022秋•和平区校级期末）已知是半径为2的圆形纸板，现要在其内部设计一个内接正三角形的图案，则内接三角形的边长为A． B． C． D．【分析】根据题意画出图形，欲求的边长，把中边当弦，作的垂线，在中，求的长；根据垂径定理知：，从而求正三角形的边长即可．【解答】解：如图所示：是等边三角形，的半径为2，在中，，，，，，即它的内接正三角形的边长为，故选：．二．填空题（共6小题）11．（2023春•双流区期末）如图，正方形的边长为，点是边上的一动点，连接，将绕点顺时针方旋转后得到，连接．则点在整个运动过程中，线段所扫过的图形面积为．【分析】根据题意画出点在上移动的过程，线段所扫过的面积就是的面积，根据正方形的性质，等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，得出线段所扫过的图形面积，再根据等边三角形，等腰直角三角形面积的计算方法进行计算即可．【解答】解：如图，当点在点时，相应的点落在点，当点移动到点时，相应的点，扫过的面积就是的面积，由题意可知，、都是等边三角形，，，四边形是正方形，是等边三角形，，，，，，，，，，，，，，即是等腰直角三角形，线段所扫过的图形面积，故答案为：．12．（2022•柘城县校级四模）如图，是的外接圆，是的直径，过点作的垂线，交于点，连接并延长交于点，连接交于点，，．则图中阴影部分的面积为．【分析】在中求出的长度，从而求出的长度，再根据直径所对的圆周角是直角可得，进而可得，过点作，垂足为，根据已知易证，从而证明，进而可得，然后求出，在中求出，最后求出的面积，进行计算即可解答．【解答】解：，，，，，，是的直径，，，过点作，垂足为，，，，，，，，，，，，，的面积，图中阴影部分的面积为．故答案为：．13．（2023•河北）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中：（1）度；（2）中间正六边形的中心到直线的距离为（结果保留根号）．【分析】（1）作图后，结合正多边形的外角的求法即可得到结论；（2）把问题转化为图形问题，首先作出图形，标出相应的字母，把正六边形的中心到直线的距离转化为求，再根据正六边形的性质以及三角函数的定义，分别求出，即可．【解答】解：（1）作图如图所示，多边形是正六边形，，直线，，；故答案为：；（2）取中间正六边形的中心为，作图如图所示，由题意得，，，，四边形为矩形，，，，，，在中，，，由图1知，，，，，，，．中间正六边形的中心到直线的距离为，故答案为：．14．（2022•邢台模拟）如图，内接于，过点作于点，交于点，延长交延长线于点，，连接、．与相交于点，，，将圆心绕着点旋转得到点，若点恰好落某一边上时，则的长度为．【分析】延长交于，连接，，根据全等三角形的性质得到，推出垂直平分，根据平行线分线段成比例得到，根据勾股定理得到，过作于交于，根据菱形的性质得到，再根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：延长交于，连接，，，，，，，，在与中，，，，垂直平分，，，，令，则，，，，当在上时，，，过作于交于，则四边形是菱形，，，，．故答案为：或．15．（2023•合肥模拟）如图，在矩形中，，，是矩形内部一动点，且满足，则线段的最小值是；当取最小值时，延长线交线段于，则的长为．【分析】通过辅助圆找到点的位置，即可解决问题．【解答】解：（1）四边形矩形，，，，，，以为直径作，经过点，连接，交于，此时长最小．，，，（2）作交于，，，，，，．故答案为：2；3．16．如图，正六边形中，，分别是边和上的点，，，则线段长．【分析】作，交于点，交于点，可得四边形是平行四边形，根据六边形是正六边形，可得是等边三角形，然后证明，对应边成比例即可解决问题．【解答】解：如图，作，交于点，交于点，四边形是平行四边形，，六边形是正六边形，，，，，是等边三角形，，，，，，，，，，，，，．故答案为：．三．解答题（共8小题）17．（2023•拱墅区校级模拟）如图，内接于，连接，，记，，．（1）证明：；（2）设与交于点，半径为2，①若，，求由线段，，弧围成的图形面积；②若，设，用含的代数式表示线段的长．【分析】（1）连接，利用圆周角定理可得，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得出结论；（2）①利用（1）的结论与已知条件可得，则为等腰直角三角形，利用直角三角形的边角关系定理可得，过点作于点，利用等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系定理可求线段的长，利用的面积减去扇形的面积即可求得结论；②延长，交圆于点，连接，利用圆周角定理可得，利于等腰三角形的性质可得，进而得到；过点作于点，利用等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系定理可求，则，利用平行线的性质可得，由相似三角形对应边成比例得出比例式，设，则，代入比例式，解方程即可得出结论．【解答】（1）证明：连接，如图，，，．，．，．；（2）解：①，，．．，，．，．．，．．．．，．，．过点作于点，如图，则．，．．．，．②，，．延长，交圆于点，连接，如图，，．，．．过点作于点，则，．，，，．设，则，，．．．解得：．．18．（2023•广西模拟）如图，为的直径，点是弧的中点，点在圆上，点在的延长线上，且．（1）求证：是的切线；（2）连接，若，，求的长．【分析】（1）连接，，可证明，，根据，进而证明，进一步得出结论；（2）连接，作于，设，，，，在中列出，从而，进而，进一步得出结果．【解答】（1）证明：如图1，连接，，点是弧的中点，，，，，，，，，，，，，点在上，是的切线；（2）解：如图2，连接，作于，，，设，，，，在中，，，，，，在中，，，，．19．（2023•铁东区一模）如图，在中，为直径，四边形为圆内接四边形，点为线段延长线上一点，连接，若．（1）求证：为切线；（2）若为中点，，，，求的半径长．【分析】（1）连接，根据圆内接四边形的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，推出，根据切线的判定定理得到结论；（2）连接，设，．推出，求得．根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，根据相似三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连接，四边形为圆内接四边形，，．，，，，，，为半径，为切线；（2）解：连接，设，．为中点，，，，，．，，，为直径，，，，，，，，，，，，，．，在中，，．即的半径长为．20．（2023•禹会区二模）如图，内接于半圆，已知是半圆的直径．，平分，分别交半圆和于点，，过点作，垂足为点，交于点．（1）求证：；（2）连接交于点，若，求的长．【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于得到，再根据垂直定义得到及角平分线即可得到即可解答；（2）根据直角三角形的性质及等边对等角即可得到，再利用垂直平分线的定义及等边三角形的判定即可得到是等边三角形，最后利用弧长公式即可解答．【解答】（1）证明：是半圆的直径，，，平分，，，，，，，，；（2）解：连接，，，，，，，，，点是的中点，垂直平分，，，是等边三角形，，，平分，，，，，的长：，21．（2023秋•哈尔滨期中）如图，内接于，．（1）求证：；（2）点在上，连接，点是上一点，连接，若，，求证：；（3）在（2）的条件下，延长交于点，连接，若，，求的长．【分析】（1）连接，，根据等腰三角形的性质可得，，，从而可得，进而可得，再根据等量代换可得，然后利用等式的性质可得，从而利用等角对等边可得，即可解答；（2）利用（1）的结论和三角形内角和定理可得，从而利用角的和差关系以及等量代换可得，然后利用三角形内角和定理可得，即可解答；（3）连接，延长交于点，交于点，利用（1）的结论可得是的垂直平分线，从而可得，，进而可得，再利用对顶角相等可得，从而可得和都是等腰直角三角形，进而可得，然后设，则，则，再证明，从而利用相似三角形的性质可得，进而在中，利用勾股定理可得，最后根据直径所对的圆周角是直角可得，再证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．【解答】（1）证明：连接，，，，，，，，，，，，，，；（2）证明：，，，，，