人教版九年级数学上册同步压轴题专题05二次函数中的线段长度问题（原卷版+解析）

专题05二次函数中的线段长度问题类型一、单线段长度问题例1．综合与探究如图，二次函数与轴交于，两点，与轴交于点．点是射线上的动点，过点作，并且交轴于点．(1)请直接写出，，三点的坐标及直线的函数表达式；(2)当平分时，求出点的坐标；(3)当点在线段上运动时，直线与抛物线在第一象限内交于点，则线段是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点M是抛物线对称轴上的动点，求的最小值；(3)若点P是直线AC下方抛物线上的动点，过点P作于点Q，线段PQ是否存在最大值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练2】如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为，顶点C的坐标为．(1)求二次函数的解析式和直线的解析式；(2)点P是直线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段长度的最大值．类型二、双线段长度问题例1．已知抛物线(a，b，c为常数，)的顶点，抛物线与x交于点和B，与y轴交于点C．平面直角坐标系内有点和点．(1)求抛物线的解析式及点B坐标；(2)在抛物线的对称轴上找一点E，使的值最小，求点E的坐标；(3)若F为抛物线对称轴上的一个定点，①过点H作y轴的垂线l，若对于抛物线上任意一点都满足P到直线l的距离与它到定点F的距离相等，求点F的坐标；②在①的条件下，抛物线上是否存在一点P，使最小，若存在，求出点P的坐标及的最小值；若不存在，请说明理由．例2.如图，平面直角坐标系中，二次函数图像交x轴于点A、B，交y轴于点C，图像对称轴交x轴于点D．点P是线段OD上一动点，从O向D运动，H是射线BC上一点．(1)则点A的坐标为，点B的坐标为，线段BC的长为；(2)如图1，在P点运动过程中，若△OPC中有一个内角等于∠HCA，求OP的长；(3)如图2，点在二次函数图像上，在P点开始运动的同时，点Q在抛物线对称轴上从D点向上运动，Q点运动速度是P点运动速度的2倍，连接QM，则的最小值为．【变式训练1】已知抛物线(b，c为常数)的图象与x轴交于，B两点(点A在点B左侧)．与y轴相交于点C，顶点为D．(1)当b=2时，求抛物线的顶点坐标；(2)若点P是y轴上一点，连接BP，当PB=PC，OP=2时，求b的值；(3)若抛物线与x轴另一个交点B的坐标为，对称轴交x轴于点E，点Q是线段DE上一点，点N为线段AB上一点，且AN=2BN，连接NQ，求的最小值．【变式训练2】已知如图，二次函数的图象交x轴于A，C两点，交y轴于点，此抛物线的对称轴交x轴于点D，点P为y轴上的一个动点，连接．(1)求a的值；(2)求的最小值．【变式训练3】如图，已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴相交于点，抛物线的顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作轴于点H，与BC交于点M．①求线段PM长度的最大值．②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求的最小值．【变式训练4】已知抛物线过点，两点，与轴交于点，．(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；(2)过点作，垂足为，求证：四边形为正方形；(3)若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．类型三、周长问题例1．如图，已知抛物线y＝ax2+4x+c经过A(2，0)、B(0，﹣6)两点，其对称轴与x轴交于点C．(1)求该抛物线和直线BC的解析式；(2)设抛物线与直线BC相交于点D，求△ABD的面积；(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAB的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，经过点A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标；(3)在(2)问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P(m，3)在直线l上，动点Q(m，0)在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值．【变式训练2】如图1，在平面直角坐标中，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C，连接BC，直线交y轴于点M.P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线BC、BM于点E、F．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P落在抛物线的对称轴上时，求△PBC的面积；(3)①若点N为y轴上一动点，当四边形BENF为矩形时，求点N的坐标；②在①的条件下，第四象限内有一点Q，满足，当△QNB的周长最小时，求点Q的坐标．专题05二次函数中的线段长度问题类型一、单线段长度问题例1．综合与探究如图，二次函数与轴交于，两点，与轴交于点．点是射线上的动点，过点作，并且交轴于点．(1)请直接写出，，三点的坐标及直线的函数表达式；(2)当平分时，求出点的坐标；(3)当点在线段上运动时，直线与抛物线在第一象限内交于点，则线段是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，，，；(2)，(3)存在，【解析】(1)解：二次函数与轴交于，两点，与轴交于点．令，则，即．令，则，解得，即，，，，．设直线的表达式为，则解得直线的表达式是：．(2)∵，∴．又∵．∴．∴．由勾股定理，得．分两种情况．如答图1，当点在线段上时．过点作轴，垂足为．，则．∴．∴．解得，．∴．∴点．如答图2，当点在线段的延长线上时．过点作轴，垂足为．，则．∴．∴．解得，．∴．∴点．(3)如答图3.过点作轴，并且交直线于点,过点作，并且交轴于点．则，．∴．∵，，∴．∴．设点，．∴．∴．∴．∵，∴有最大值．的最大值为．【变式训练1】如图，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点M是抛物线对称轴上的动点，求的最小值；(3)若点P是直线AC下方抛物线上的动点，过点P作于点Q，线段PQ是否存在最大值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)线段PQ存在最大值，此时点P坐标为【解析】(1)解：把点A和点B坐标代入抛物线解析式得解得所以抛物线的解析式为．(2)解：如下图所示，连接MA，设直线AC与二次函数的对称轴交于N．∵、，∴点A和点B关于二次函数的对称轴对称，OA=2．∴MA=MB．∴MB+MC=MA+MC．∴当点M与点N重合时MA+MC取得最小值，即MB+MC取得最小值为AC．∵抛物线与y轴交于点C，∴．∴OC=2．∴．∴MB+MC的最小值为．(3)解：如下图所示，过点P作PD⊥x轴于D，交直线AC于E，设，其中，设直线AC解析式为y=kx+d．∵OA=2，OC=2，∴OA=OC．∴．∵PD⊥x轴，∴∠ADE=90°．∴∠DEA=180°-∠ADE-∠OAC=45°．∴∠QEP=∠DEA=45°．∵PQ⊥AC，∴∠PQE=90°，．∴∠QPE=180°-∠PQE-∠QEP=45°．∴∠QPE=∠QEP．∴QE=PQ．∴．∴．∴当EP取得最大值时，PQ取得最大值．把点A和点C坐标代入直线AC解析式得解得∴直线AC解析式为．∴．．∴当时，EP取得最大值．∴．∴线段PQ存在最大值，此时点P坐标为．【变式训练2】如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为，顶点C的坐标为．(1)求二次函数的解析式和直线的解析式；(2)点P是直线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段长度的最大值．【答案】(1)，；(2)线段长度有最大值为【解析】(1)设二次函数的解析式为：，将B的坐标代入得：∴二次函数的解析式为：即：，∵点D是二次函数与y轴的交点，∴D点坐标为：设直线的解析式为：将B的坐标代入得：∴直线的解析式为：；(2)解：设P点的横坐标为，则，∴，∵，∴当时，线段长度有最大值为．类型二、双线段长度问题例1．已知抛物线(a，b，c为常数，)的顶点，抛物线与x交于点和B，与y轴交于点C．平面直角坐标系内有点和点．(1)求抛物线的解析式及点B坐标；(2)在抛物线的对称轴上找一点E，使的值最小，求点E的坐标；(3)若F为抛物线对称轴上的一个定点，①过点H作y轴的垂线l，若对于抛物线上任意一点都满足P到直线l的距离与它到定点F的距离相等，求点F的坐标；②在①的条件下，抛物线上是否存在一点P，使最小，若存在，求出点P的坐标及的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-x2+2x+3；B(3，0)；(2)E(1，)；(3)①；②P(2，3)，最小值为【解析】(1)解：∵抛物线顶点D(1，4)，与x轴交于点A(-1，0)，∴设抛物线解析式为y=a(x-1)2+4，把A(-1，0)代入，解得a=-1，∴y=-(x-1)2+4，∴抛物线的解析式y=-x2+2x+3，令y=0，可得-(x-1)2+4=0，解得x1=-1，x2=3，∴B(3，0)；(2)如图①，连接BH交对称轴于点E，连接AE，此时AE+HE的值最小，设直线BH解析式为y=kx+b，把B(3，0)，H(0，)代入，解得k=，b=，∴直线BH解析式为，把x=1代入解得y=，∴E(1，)；(3)①如图②，设对称轴上点F(1，t)，过点P作PN⊥l，过点F作FM⊥PN，，，，，，，，∵抛物线上任意一点P(m，n)，，，，，整理可得：，∵任意一点P(m，n)，与n无关.，，，；②：如图③，∵抛物线上任意一点P(m，n)满足PF=PN，∴FP+GP=PN+GP.根据垂线段最短可知，当G，P，N共线时，FP+GP的值最小，最小值为：，∵G(2，0)，∴把x=2代入y=-x2+2x+3.解得y=3.∴当P(2，3)此时FP+GP的值最小，最小值为例2.如图，平面直角坐标系中，二次函数图像交x轴于点A、B，交y轴于点C，图像对称轴交x轴于点D．点P是线段OD上一动点，从O向D运动，H是射线BC上一点．(1)则点A的坐标为，点B的坐标为，线段BC的长为；(2)如图1，在P点运动过程中，若△OPC中有一个内角等于∠HCA，求OP的长；(3)如图2，点在二次函数图像上，在P点开始运动的同时，点Q在抛物线对称轴上从D点向上运动，Q点运动速度是P点运动速度的2倍，连接QM，则的最小值为．【答案】(1)(－10，0)；(2，0)；；(2)或3；(3)【解析】(1)二次函数中，令y=0，得：，解得：，∴A(－10，0)，B(2，0)，二次函数中，令x=0，得：y=2，∴C(0，2)，∴，故答案为：(－10，0)；(2，0)；；(2)如图，连接AE，设直线BC的函数关系式为y＝kx＋b．∵函数图像经过B(2，0)，C(0，2)则，解得．∴y与x的函数关系式为；∵抛物线的对称轴为x＝－4∴D(4，0)．延长BC交对称轴为E，∴E(－4，6)，∴DE＝DB＝6．又∵DE⊥DB，∴∠DEB＝∠DBE＝45°．∵A(－10，0)，AD＝DE＝DB＝6，∴△AEB为等腰直角三角形，．∴，．若∠CPO＝∠HCA，则△CPO∽△ACE，∵在△ACE中，AE：CE＝3：2，∴CO：OP＝3：2∵CO＝2，∴；若∠PCO＝∠HCA，则△CPO∽△CAE，∵在△ACE中，AE：CE＝3：2，∴OP：CO＝3：2∵CO＝2，∴OP＝3；综上所述，OP长为或3．(3)由题意可知：∵，∠COP＝∠QDO＝90°，∴Rt△COP∽Rt△QDO．∴∴OQ＝2CP．作点M关于直线x＝－4的对称点M’，则MQ＝M’Q．∵M(－3，)∴M’(－5，)，过点M’作MN⊥x轴于点N，在Rt△M’NO中，．所以QM＋2CP的最小值为．故答案为：【变式训练1】已知抛物线(b，c为常数)的图象与x轴交于，B两点(点A在点B左侧)．与y轴相交于点C，顶点为D．(1)当b=2时，求抛物线的顶点坐标；(2)若点P是y轴上一点，连接BP，当PB=PC，OP=2时，求b的值；(3)若抛物线与x轴另一个交点B的坐标为，对称轴交x轴于点E，点Q是线段DE上一点，点N为线段AB上一点，且AN=2BN，连接NQ，求的最小值．【答案】(1)；(2)；(3)【解析】(1)∵抛物线经过点，∴，解得，当时，，∴，∴抛物线的顶点坐标为；(2)由(1)知，抛物线的解析式为，∵抛物线的对称轴为直线x=b，∴点B的坐标为．∵点P在y轴上，OP=2，∴点P的坐标为或．∵点在y轴负半轴上，∴或．在Rt△POB中，由勾股定理得．∵PB=PC，即，∴或．解得或或．∵在y轴负半轴上，∴，解得，∴；(3)如图，连接AD，过点Q作QF⊥AD于点F，抛物线与x轴交于，∴抛物线的解析式为，∴顶点，，∴，，∴，∴，∴，∵AN=2BN，∴，AN=2，过点N作NG⊥AD于点G，连DN，则QF+NQ的最小值为NG，由面积相等知：，∴，∴，∴的最小值为．【变式训练2】已知如图，二次函数的图象交x轴于A，C两点，交y轴于点，此抛物线的对称轴交x轴于点D，点P为y轴上的一个动点，连接．(1)求a的值；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)【解析】(1)解：把点代入得：，解得：；(2)解：连接AB，过点D作DH⊥AB于点H，交y轴于点P，由(1)得：二次函数的解析式为，令y=0，则，解得：，∴点A(-3，0)，C(5，0)，∴抛物线的对称轴为直线，∴点D(1，0)，∴AD=4，∵点，∴，∴，∴AB=2OA，∵∠AOB=90°，∴∠OBA=30°，∴，∴的最小值为PD+PH=DH的长，∵DH⊥AB，∠OAB=60°，∴∠ADH=30°，∴，∴，∴的最小值为．【变式训练3】如图，已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴相交于点，抛物线的顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作轴于点H，与BC交于点M．①求线段PM长度的最大值．②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求的最小值．【答案】(1)y＝x2－2x－3；(2)①；②【解析】(1)解：把，点代入抛物线中得：，解得：，抛物线的解析式为：；(2)解：①如图，令，即，解得或，，，设的解析式为：，则，解得：，的解析式为：，设，则，，当时，有最大值为；②当有最大值，，在轴的负半轴上取一点，使，过作于，当、、三点共线时，最小，即的值最小，中，，，，，中，，，，的最小值是．【变式训练4】已知抛物线过点，两点，与轴交于点，．(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；(2)过点作，垂足为，求证：四边形为正方形；(3)若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，；(2)见解析；(3)存在，【解析】(1)∵抛物线过点，两点，∴设抛物线解析式为，∵，∴，∵这个抛物线与轴交于点，∴，∴，∴抛物线的解析式为：．∵，∴这个抛物线的顶点；(2)连接，，由(1)得：，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴四边形为菱形，∵，∴四边形为正方形；(3)存在，理由：如图，点作与轴夹角为的直线，交轴于点，过点作，垂足为，交于点，则，的最小值，∵，，∴．∵，∴．∵，∴．∴∴的最小值为．类型三、周长问题例1．如图，已知抛物线y＝ax2+4x+c经过A(2，0)、B(0，﹣6)两点，其对称轴与x轴交于点C．(1)求该抛物线和直线BC的解析式；(2)设抛物线与直线BC相交于点D，求△ABD的面积；(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAB的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y＝﹣x2+4x﹣6，y＝x﹣6；(2)；(3)存在，点Q的坐标为(4，﹣2)【解析】(1)解：将A(2，0)、B(0，﹣6)代入抛物线解析式得：，解得：，故抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣6，其对称轴为：x＝4，故点C的坐标为(4，0)，设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B、点C的坐标代入可得：，解得：，故直线BC的解析式为y＝x﹣6；(2)解：联立直线BC与抛物线的解析式：，解得：或，故点D的坐标为(5，)，则S△ABD＝S△ACD+S△ABC＝AC×D纵+AC×|B纵|＝．(3)解：存在点Q，使得△QAB的周长最小；点A关于抛物线对称轴的对称点为A'，连接A'B，则A'B与对称轴的交点即是点Q的位置：A'坐标为(6，0)，B(0，﹣6)，设直线A'B的解析式为：y＝mx+n，代入两点坐标可得：，解得：，即直线A'B的解析式为y＝x﹣6，故点Q的坐标为(4，﹣2)．即存在点Q的坐标(4，﹣2)时，使得△QAB的周长最小．【变式训练1】如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，经过点A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标；(3)在(2)问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P(m，3)在直线l上，动点Q(m，0)在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值．【答案】(1)y=-x2+2x+3，顶点M坐标为(1，4)；(2)点N坐标为(4，-5)；(3)当m=时，PM+PQ+QN有最小值，最小值为3+3．【解析】(1)解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)，∴，解得：，∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，则抛物线的顶点M坐标为(1，4)；(2)解：∵N是抛物线上第四象限的点，∴设N(t，-t2+2t+3)(t＞3)，又点C(0，3)，设直线NC的解析式为y=k1x+b1，则，解得：，∴直线NC的解析式为y=(-t+2)x+3，设直线CN与x轴交于点D，当y=0时，x=，∴D(，0)，BD=3-，∵S△NBC=S△ABC，∴S△CDB+S△BDN=AB•OC，即BD•|yC-yN|=[3-(-1)]×3，即×(3-)[3-(-t2+2t+3)]=6，整理，得：t2-3t-