第九章中心对称图形-平行四边形拓展练习2023-2024学年苏科版数学八年级下册

9.1图形的旋转1.如图，点A坐标为(−2,1)，点B坐标为(0,4)，将线段AB绕点O按顺时针方向旋转得到对应线段A′B′，若点A′恰好落在x轴上，则点B′到x轴的距离为(

)

A.455B.8552.如图，在平面直角坐标系xOy中，A(−3,0)，点B为y轴正半轴上一点，将线段AB绕点B旋转90°至BC处，过点C作CD垂直x轴于点D，若四边形ABCD的面积为36，则线AC的解析式为______．3.如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，BE，点P为DC的中点，

(1)【观察猜想】图1中，线段AP与BE的数量关系是____，位置关系是____．(2)【探究证明】把△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置，(1)中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，否请说明理由；(3)【拓展延伸】把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出线段AP长度的最大值和最小值．9.2中心对称与中心对称图形1.对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P(2,3)经1次斜平移后的点的坐标为(3,5).已知点A的坐标为(2,0)，点Q是直线l上的一点，点A关于点Q的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C，若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为(8,6)，则△ABC的面积是(

)

A.12 B.14 C.16D.182.已知两个完全相同的直角三角形纸片△ABC、△DEF，如图放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G.∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，现将图中的△ABC绕点F按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△ABC恰有一边与DE平行的时间为______秒．3.定义：如果两个全等的三角形有一条公共边且位于公共边的异侧，我们称这两个三角形成轴全等，公共边所在直线称为全等轴．

(1)已知在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B、C的坐标分别为(4,7)、(0,4)、(4,2)，若△ACD与△ABC成轴全等，全等轴为直线AC，请直接写出D点坐标．

(2)如图，在平面直角坐标系中，△ABC两个顶点B、C坐标分别为(−14,0)、(503,0)，∠ABC=45°，AC与y轴交于点E，点E的坐标为(0,252)，点F是OC上一点，坐标为(10,0).如果M、N为△ABC的边上的两点，是否存在△OMN与△OFM以OM所在直线为全等轴的轴全等？若存在，请求出所有符合条件的点9.3.1平行四边形性质1.如图，在平行四边形ABCD中，EF//BC，GH//AB，EF、GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有(

)

A.3对 B.2对 C.1对 D.0对2.如图，▱ABCD的对角线AC,BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC=60∘，AD=2AB，连接OE，下列结论：①∠CAD=30∘；②OD=AB；③S平行四边形ABCD=AC⋅CD；④A.1个 B.2个 C.3个 D.4个.3.如图，□OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为

．

9.3.2平行四边形判定1.下而给出四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD为平行四边形的是(

)A.1：2：3：4 B.1：2：2：3 C.2：2：3：3 D.2：3：2：32.如图，四边形ABCD中，AD//BC，AD=12cm，BC=15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发_________秒后其中一个新四边形为平行四边形．

3.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(4,0)，点B(−3,2)，点C(0,2)，点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BC运动，点Q从点A出发，开始以每秒1个单位的速度向原点O运动，到达原点后立刻以原来3倍的速度沿射线OA运动，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，若以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，则t等于______．

A.1B.3C.9D.13

9.3.3平行四边形性质及判定1.如图，已知平行四边形OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为(

)

A.4B.5 C.6 D.72.如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边△ACD和△ABE，F为AB的中点，连接DF、EF，∠ACB=90°，∠ABC=30°，则以下4个结论：①AC⊥DF；②四边形BCDF为平行四边形；③DA+DF=BE；④S△ACD：S四边形BCDE=1：7，其中正确的是

．

3.定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A(a,b)，B(c,d)，若点T(x,y)满足x=a+c3，y=b+d3，那么称点T是点A，B的三分点．

例如：A(−1,5)，B(7,7)，当点T(x,y)满足x=−1+73=2，y=5+73=4时，则点T(2,4)是点A，B的三分点．

(1)已知点C(−1,8)，D(1,2)，E(4,−2)，请说明其中一个点是另外两个点的三分点．

(2)如图，点A为(3,0)，点B(t,2t+3)是直线l上任意一点，点T(x,y)是点A，B的三分点．

①试确定y与x的关系式．

②若①中的函数图象交y轴于点M，直线l交y轴于点N，当以M，N，B，T为顶点的四边形是平行四边形时，求点B的坐标．

③

9.3.4平行四边形最值1.已知点D与点A(4,0)，B(0,3)，C(a,−a)是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为(

)A.7  22 B.10 C.82.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC>AB，点D在BC上，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是（）A.3B.4 C.5 D.63.如图，已知点A(0,8)，B(0,−2)，E(0,5)，F(−5,0)，C为直线EF上一动点，则▱ACBD的对角线CD的最小值是(

)A.22B.4C.54.如图，平行四边形ABCD，对角线BD平分∠ABC，BC=6，∠ABC=45°在对角线AC上有一动点P，边BC上有一动点Q，使PQ+PC最小，则这个最小值为(

)A. ​6 B.26 C.35.已知点D与点A(0,8)，B(0,−2)，C(x,y)是平行四边形的四个顶点，其中x，y满足x−y+6=0，则CD长的最小值为(

)A.165 B.32 C.26.在平行四边形ABCD中，BC=4，∠B=60°，过点A分别作BC，CD的垂线，垂足分别为M，N，连结MN，则MN的最小值为(

)A.3 B.3 C.237.一个大平行四边形按如图方式分割成九个小平行四边形，且只有标号为①和②的两个小平行四边形为菱形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小平行四边形中n个小平行四边形的周长，就一定能算出这个大平行四边形的周长，则n的最小值是

(

)A.2 B.3 C.4 D.58.如图，▱ABCD的顶点A，D分别在直角∠MON的两边OM，ON上运动(不与点O重合)，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点P，连接OP，若OP=5，则▱ABCD的周长最小值是(

)A.20B.25C.10D.159.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的最小值为(

)A.6 B.8 C.22 10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=1，AC=2，D为BC边上任意一点，连结DA，以DA，DC为邻边作▱ADCE，连结DE，当线段DE长度取得最小值时，▱ADCE的面积为(

)A.45 B.1 C.85 D.2

9.4.11.如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为(

)

A.55B.105 C.103 2.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=53，点P在线段BC上运动(含B、C两点)，连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为(

)A.52 B.52 C.53.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则当OC为最大值时，点C的坐标是

．

4(1)如图1，将矩形ABCD折叠，使AB落在对角线AC上，折痕为AE，点B落在B1处，若∠DAC=66°，则∠BAE=______°；

(2)小丽手中有一张矩形纸片，AB=9，AD=4.她准备按如下两种方式进行折叠：

①如图2，点F在这张矩形纸片的边CD上，将纸片折叠，使点D落在边AB上的点D1处，折痕为FG，若DF=5，求AG的长；

②如图3，点H在这张矩形纸片的边AB上，将纸片折叠，使HA落在射线HC上，折痕为HK，点A，D分别落在A1，D2处，若DK=73，求A19.4.2矩形判断1.如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点。则下列说法：

①若AC=BD，则四边形EFGH为矩形；

②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等。其中正确的个数是

(

)A.

1 B.

2C.

3 D.

42.如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB=2，则AP+BP+CP的最小值为(

)A.2+5C.4 D.3如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=6，点M，N分别在AD，BC上，且3AM=AD. 3BN= BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′ E，当点C′恰好落在直线MN上时，CE的长为_________．

4如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，∠C=30∘，AC=12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒(0<t<6)过点D作DF⊥BC于点(1)试用含t的式子表示AE、AD、DF的长;(2)如图 ①，连接EF，求证四边形AEFD是平行四边形;(3)如图 ②，连接DE，当t为何值时，四边形EBFD是矩形?并说明理由．9.4.3矩形判定与性质最值1.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=3，BC=4，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的长的最小值是(

)A.2.5 B.2.4 C.2.2 D.22.如图，在△ABC中，AB=2，∠ABC=60°，∠ACB=45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为(

)

A.6 B.22 C.23 3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，M为BC上的一动点，ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，N为EF的中点，则MN的最小值为(

)A.4.8 B.2.4 C.2.5 D.2.64.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点(不与点A，B重合)，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F.若AO=10，BO=5，则EF的最小值为(

)22 B.23 C.5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，AC=6，P为边AB上一动点(P不与B，A重合)，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，M为EF中点，则CM的取值范围是(

)A.125≤CM<4B.3≤CM<245C.6.如图，正方形ABCD的边长为22，P为对角线BD上动点，过P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，连接EF，则EF的最小值为(

)A.2B.4C.2D.7.如图，正方形ABCD的边长为4，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连接EF，给出四种情况：

①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；②若G为BD上任意一点，则AG=EF；

③点G在运动过程中，GE+GF的值为定值4；④点G在运动过程中，线段EF的最小值为22．

正确的有(

)A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.①③④8.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是(

)A.一直增大 B.不变 C.先减小后增大 D.先增大后减小9.如图,点P为正方形ABCD对角线BD上一动点,AB=2,则AP+BP+CP的最小值为

(

)

A.2+5 B.2+6 9.4.4菱形性质1.如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为(

)A.74 B.95 C.1910 2.如图，菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为(

)A.33 B.27 C.3.如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A′B′D′，分别连接A′C，A′D，B′C，则A′C+B′C的最小值为______．4.如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为(−3,4)，点C在x轴正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．

(1)求直线AC的函数解析式及MH的长；(2)连接BM，动点P从点A出发，沿折线A→B→C方向以每秒1个单位的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S(S≠0)，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；(3)在(2)的情况下，当点P在线段AB上运动时，是否存在以BM为腰的等腰三角形？如存在，直接写出t的值；如不存在，说明理由．5.如图，直线l1:y=−12x+b分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线l2

(1)点A坐标为( _____，____)，B为(____，____);

(2)在线段BC上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线l2于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，四边形OBEF是平行四边形

(3)若点P为x轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得P、Q、A、B四个点能构成一个菱形.若存在，求出所有符合条件的Q点坐标;若不存在，请说明理由．6.如图，四边形OABC是菱形，点C在x轴上，AB交y轴于点H，AC交y轴于点M.点P从点A出发，以2单位长/秒的速度沿折线A−B−C运动，到达点C终止．已知点A(−3,4)，设点P的运动时间为t(秒)，△PMB的面积为S(平方单位)．

(1)求点C和点B的坐标；

(2)求点M的坐标；

(3)求S与t的函数关系式；

(4)求S的最大值．

9.4.5菱形判定1.如图，已知直线l//AB，l与AB之间的距离为2.C、D是直线l上两个动点(点C在D点的左侧)，且AB=CD=5.连接AC、BC、BD，将△ABC沿BC折叠得到△A′BC.下列说法：①四边形ABCD的面积始终为10；②当A′与D重合时，四边形ABDC是菱形；③当A′与D不重合时，连接A′、D，则∠CA′D+∠BCA′=180°；④若以A′、C、B、D为顶点的四边形为矩形，则此矩形相邻两边之和为35或其中正确的是(

)A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④2.在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是

．3.如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q.若AD=8cm，AB=6cm，P从点A出发，以1cm/s的速度向D运动(不与D重合).设点P运动时间为t(s)，则当t=

时，四边形PBQD是菱形．4.如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为(3,4)，一次函数y=−23x+b的图象与边OC、AB分别交于点D、E，且OD=BE.点M是线段DE上的一个动点．

(1)求b的值；

(2)连结OM，若三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，求点M的坐标；

(3)设点N是平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，直接写出点N实践操作

在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF(点E、F是折痕与矩形的边的交点)，再将纸片还原．

初步思考

(1)若点P落在矩形ABCD的边AB上(如图①)

①当点P与点A重合时，∠DEF=______°；当点E与点A重合时，∠DEF=______°；

②当点E在AB上，点F在DC上时(如图②)，

求证：四边形DEPF为菱形，并直接写出当AP=3.5时的菱形EPFD的边长．

深入探究

(2)若点P落在矩形ABCD的内部(如图③)，且点E、F分别在AD、DC边上，请直接写出AP的最小值______．

拓展延伸

(3)若点F与点C重合，点E在AD上，线段BA与线段FP交于点M(如图④).在各种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段AM与线段DE的长度相等？若存在，请直接写出线段AE的长度；若不存在，请说明理由．

9.4.6菱形性质及判定1.如图，在▱ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF.其中正确的有A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.如图，先有一张矩形纸片ABCD，AB=4，BC=8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM.下列结论：

①CQ=CD；②四边形CMPN是菱形；

③P，A重合时，MN=25；

④△PQM的面积S的取值范围是3≤S≤5．

其中正确的是

(把正确结论的序号都填上)．3.如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．

(1)求证：四边形BPEQ是菱形；

(2)若AB=6，F为AB的中点，OF+OB=9，求PQ的长．4.如图1，点A，B的坐标分别为(6,0)，(0,8)，动点P从点A开始沿线段AO向点O以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点O开始沿线段OB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD/​/BO交AB于点D，连接PQ，点P，Q分别从点A，O同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t≥0)．(1)用含t的代数式分别表示QB和PD的长．(2)是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．(3)如图2，在整个运动过程中，求线段PQ中点M所经过的路径长(直接写出结果)．9.4.7菱形判断及性质最值1.如图，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是(

)A.15B.16C.19D.202.如图，将两张长为5，宽为1的矩形纸条交叉，让两个矩形对角线交点重合，且使重叠部分成为一个菱形．当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，把一个矩形绕两个矩形重合的对角线交点旋转一定角度，在旋转过程中，得出所有重叠部分为菱形的四边形中，周长的最大值是(

)A.8 B.10 C.10.4 D.123.如图，将两张长为10，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么，菱形周长的最大值为(

)A.265 B.845 C.10454.在平面直角坐标系中，点A(0,3)、D(6,0)，一次函数y=−12x−3的图像分别交x轴、y轴于点B、C，点E、F、P分别在边AB、AD、BD上运动，则EP+PF的最小值是A.955 B.1255 C.5.如图所示，已知Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，D，E，F分别是三边AB，BC，CA上的点，则DE+EF+FD的最小值为(

)A.125 B.245 C.5 6.如图，△ABC中，AC=BC=3，AB=2，将它沿AB翻折得到△ABD，点P、E、F分别为线段AB，AD，DB上的动点，则PE+PF的最小值是A.103 B.223 7.如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，BC=8，∠ABC=45​∘，在对角线BD上有一动点P，边BC上有一动点Q，使PQ+PC的值最小，则这个最小值为

(

)A.4 B.42 C.48.如图，▱ABCD的面积为12，AC=BD=6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是(

)A.1 B.32 C.32 9.4.8菱形最值1.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点A(5,0)，OB=45，P是对角线OB上的一个动点，D(0,1)，当CP+DP的值最小时，点P的坐标为

(

)A.(0,0) B.1,12 C.652.如图，已知AB=8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP=60°.M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为(

)A.4B.23C.43.如图，已知菱形ABCD的面积为20，边长为5，点P、Q分别是边BC、CD上的动点，且PC=CQ，连接PD、AQ，则PD+AQ的最小值为(

)A.45B.89C.104.在菱形ABCD中，∠C=∠EDF=60°，AB=1，现将∠EDF绕点D任意旋转，分别交边AB、BC于点E、F(不与菱形的顶点重合)，连接EF，则△BEF的周长最小值是(

)A.1+3 B.1+32 5.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60​∘，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将ΔAMN沿MN所在的直线翻折得到ΔA′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是(

)A.7 B.7−1 C.9.4.9正方形的性质1.如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是(

)A.0 B.4 C.6 D.82.如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为

．3.正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，4.如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为(−4,4).点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D.BD与y轴交于点E，连接PE.设点P运动的时间为t(s)．

(1)∠PBD的度数为______，点D的坐标为________(用t表示)；

(2)当t为何值时，△PBE为等腰三角形？

(3)探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．5.如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF/​/AB交PQ于F，连接BF．

(1)求证：四边形BFEP为菱形；

(2)当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；

①当点Q与点C重合时(如图2)，求菱形BFEP的边长；

②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．

9.4.10正方形判断1.给出下列判断：①.四个角相等的四边形是正方形.②对角线相等的四边形是矩形.③对角形互相垂直且相等的四边形是正方形.④有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形.其中不正确的有(

)A.4个 B.3个 C.2个 D.1个2.如图，点E，F，G，H分别在矩形ABCD(AB>AD)的四条边上，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH.下列关于四边形EFGH的说法正确的是(

)①存在无数个四边形EFGH是平行四边形；②存在无数个四边形EFGH是菱形；③存在无数个四边形EFGH是矩形；④存在无数个四边形EFGH是正方形A.① B.①② C.①②③ D.①②③④3.如图，△ABC中，O为AC上的任意一点(不与A、C重合)，过点O作直线l/​/BC，直线l与∠BCA的平分线相交于点E，与∠DCA的平分线相交于点F．

(1)OE=OF吗？为什么？

(2)点O在何处时，四边形AECF为矩形？为什么？

(3)△ABC满足什么条件时，(2)中的四边形AECF是正方形？4.如图，四边形ABCD中，AD // BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=CD=6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动.当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.过点N作NP⊥AD于点P，连结AC交NP于点Q，连结MQ，设运动时间为t秒(0<t<4)．(1)求点B到线段AC的距离；(2)当NP经过线段AC中点时，求t的值并直接写出此时线段MQ、NQ的关系；(3)连结AN、CP，在点M、N运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形ANCP的面积与四边形ABNP的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(4)将△AQM沿AD翻折，得到△AKM.在点M、N运动过程中，①是否存在某时刻t，使四边形AQMK为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②是否存在某时刻t，使四边形AQMK为正方形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．5.【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．【问题探究】(1)如图①，已知矩形ABCD是“等邻边四边形”，则矩形ABCD____(填“一定”或“不一定”)是正方形；(2)如图②，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=4，动点M、N分别在AD、CD上(不含端点)，若∠MBN=60°，试判断四边形BMDN是否为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”，请证明；如果不是，请说明理由；此时，四边形BMDN的周长的最小值为____；【尝试应用】(3)现有一个平行四边形材料ABCD，如图③，在▱ABCD中，AB=17，BC=6，▱ABCD的面积为24，点E在BC上，且BE=4，在▱ABCD边AD上有一点P，使四边形ABEP为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形ABEP的面积可能为的值____．9.4.11正方形的判断与性质1.如图四边形ABCD中，AD//BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，E为CD上一点，且∠BAE=45°.若CD=4，则△ABE的面积为(

)A.127B.247C.4872.如图，动点M从(0,3)出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向下移动，同时动点N从(4,0)出发，沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右移动，当点M移动到O点时，点M、N同时停止移动.点P在第一象限内，在M、N移动过程中，始终有PM⊥PN，且PM=PN.则在整个移动过程中，点P移动的路径长为(

)A.322 B.3233.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=6，点D、E分别在边AB、AC上，AD=2，AE=22，点F从点D出发沿DB向点B运动，运动到点B结束，以EF为斜边作等腰直角三角形EFP(点E、F、P按顺时针排列)，在点F运动过程中点P经过的路径长是____________．4.综合与实践问题情境：

如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′(点A的对应点为点C).延长AE交CE′于点F，连接DE．

猜想证明：

(1)试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由；

(2)如图②，若DA=DE，请猜想线段CF与FE′的数量关系并加以证明；

解决问题：

(3)如图①，若AB=15，CF=3，请直接写出DE的长．9.4.12正方形最值1.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为

.

2.如图，正方形ABCD的边长为2，点E，点F分别是边BC，边CD上的动点，且BE=CF，AE与BF相交于点P.若点M为边BC的中点，点N为边CD上任意一点，则MN+PN的最小值等于______．3.如图，已知