数学必修5-学业水平考试复习(教师版)

第一章解三角形〔正弦定理余弦定理及其应用〕一,考试内容与要求〔1〕通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；〔2〕能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。二、根底知识回忆(1)内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.(2)正弦定理：(R为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：；；；②三角形两边一对角，求解三角形时，假设运用正弦定理，那么务必注意可能有两解.(3)余弦定理：等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状或求角.(4)面积公式：〔其中为三角形内切圆半径〕.特别提醒：〔1〕.求解三角形中的问题时，一定要注意这个隐含条件，；〔2〕.求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化.解斜三角形的常规思维方法是：=1\*GB3①两角和一边〔如A、B、C〕，由A+B+C=π求C，由正弦定理求a、b．=2\*GB3②两边和夹角〔如a、b、c〕，应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C=π，求另一角．=3\*GB3③两边和其中一边的对角〔如a、b、A〕，应用正弦定理求B，由A+B+C=π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．=4\*GB3④三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C=π，求角C．三、典例解析例1．设的内角A，B，C的对边分别为，且，，求：〔Ⅰ〕的值；〔Ⅱ〕的值.〖解析〗〔Ⅰ〕由余弦定理得＝故．〔Ⅱ〕＝由正弦定理和〔Ⅰ〕的结论得，故．例2．在ABC中，，，，求b及A；解：∵cos ∴例3．在中，，，，求的值和的面积。解：又,,。例4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，假设，且，那么△ABC的面积等于．2EQ\r(3)例5．在，〔1〕求；〔2〕假设点是的中点，求中线的长度。解：〔1〕由，，由正弦定理知，〔2〕，。由余弦定理知：例6．在锐角中，角所对的边分别为，：，〔1〕求的值；〔2〕假设，，求的值。解析：〔1〕因为A＋B＋C＝，〔A.B.C为锐角〕，所以cosA＝，那么：〔2〕，那么bc＝3。将＝2，cosA＝，c＝代入余弦定理：中，得解得b＝。例7．在中，分别是角的对边,且．(Ⅰ).求角的大小；〔Ⅱ〕.当时,求其面积的最大值,并判断此时的形状．〖解析〗(Ⅰ)由得：，，，∴，，∴．〔Ⅱ〕，∴，∴．故三角形的面积．当且仅当b=c时等号成立；又，故此时为等边三角形．例8．在△ABC中，假设2cosBsinA＝sinC，那么△ABC的形状一定是〔C〕A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形北2010AB••C例北2010AB••C解析：连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10COS120°=700.于是,BC=10。∵，∴sin∠ACB=，∵∠ACB<90°，∴∠ACB=41°。∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援。四.考点练习1．在△ABC中，，，那么：的值是〔B〕A、B、C、D、2.三角形的三边长分别为,和()，那么最大角为〔A〕

A.150° B.120° C.60° D.75°3．在△ABC中，，那么△ABC一定是〔D〕 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形4.中，A、B的对边分别是，且，那么满足条件的〔C〕A、有一个解B、有两个解C、无解D、不能确定5.在中，A＞B是成立的_____条件〔答：充要〕；6.在中，分别角所对的边，假设，那么＝____〔答：〕；7.在中，假设其面积，那么=____〔答：〕；8.在中，，这个三角形的面积为，那么外接圆的直径是_______〔答：〕；9.在△ABC中，是角A、B、C的对边，那么的最大值为 〔答：〕；10.在△ABC中：，那么角的取值范围是 ；第二章数列一、数列概念及等差数列一,考试内容与要求1．数列的概念和简单表示法；通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法〔列表、图像、通项公式〕，了解数列是一种特殊函数；2．通过实例，理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式；3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。体会等差数列与一次函数的关系。二、根底知识回忆1．数列的知识要点：〔1〕数列是特殊的函数，数列是定义在自然数集N〔或它的有限子集｛1，2，3，…，n，…｝〕上的函数f〔n〕，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值：f〔1〕，f〔2〕，f〔3〕，…，f〔n〕，…。数列的图象是由一群孤立的点构成的。〔2〕对于数列的通项公式要掌握：①数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些局部是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化局部与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式；③一个数列还可以用递推公式来表示；④在数列｛an｝中，前n项和Sn与通项公式an的关系，要认真掌握之。即an＝。特别要注意的是，假设a1适合由an＝Sn－Sn－1〔n≥2〕可得到的表达式，那么an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。2．等差数列的知识要点：〔1〕等差数列定义an＋1－an＝d〔常数〕〔nN〕，这是证明一个数列是等差数列的依据，要防止仅由前假设干项，如a3－a2＝a2－a1＝d〔常数〕就说｛an｝是等差数列这样的错误，判断一个数列是否是等差数列。还可由an＋an＋2＝2an＋1即an＋2－an＋1＝an＋1－an来判断。〔2〕等差数列的通项为an＝a1＋〔n－1〕d．可整理成an＝an＋〔a1－d〕，当d≠0时，an是关于n的一次式，它的图象是一条直线上，那么n为自然数的点的集合。〔3〕对于A是a、b的等差中项，可以表示成2A＝a＋b。〔4〕等差数列的前n项和公式Sn＝·n－na1＋d，可以整理成Sn＝n2＋。当d≠0时是n的一个常数项为0的二次式。〔5〕等差数列的判定方法：①定义法：对于数列，假设(常数)，那么数列是等差数列；②等差中项：对于数列，假设，那么数列是等差数列。3．等差数列的性质：〔1〕在等差数列中，从第2项起，每一项为哪一项它相邻二项的等差中项；〔2〕在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是，如：，，，，……；，，，，……；〔3〕在等差数列中，对任意，，，；〔4〕.在等差数列中，假设，，，且，那么；5．〔1〕，时，有最大值；，时，有最小值；〔2〕最值的求法：①假设，可用二次函数最值的求法〔〕；②假设，那么最值时的值〔〕可如下确定或。三、典例解析例1．根据数列前4项，写出它的通项公式：〔1〕1，3，5，7……；〔2〕，，，；〔3〕，，，。解析：〔1〕=2；〔2〕=；〔3〕=。例2．数列中，：，〔1〕写出，，；〔2〕是否是数列中的项？假设是，是第几项？解析：〔1〕∵，∴，，；〔2〕令，解方程得，∵，∴，即为该数列的第15项。例3．数列适合：，，写出前五项并写出其通项公式；解：，，，，，……，；例4．设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，那么{an}是〔B〕A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列例5．设是公差为正数的等差数列，假设，，那么〔B〕A．B． C．D．例6．数列为等差数列，且〔Ⅰ〕求数列的通项公式；〔Ⅱ〕证明解析：〔I〕解：设等差数列的公差为d。由即d=1。所以即〔II〕证明因为，所以例7．〔1〕假设一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，那么这个数列有〔A〕A.13项 B.12项 C.11项 D.10〔2〕设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，假设＝，那么＝〔A〕A． B．C． D．例8.设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛｝的前n项和，求。解析：数列｛｝是等差数列，其首项为－2，公差为，∴Tn＝n2－n．四.考点练习1.，那么在数列的最大项为__〔答：〕；2.数列中，，且是递增数列，那么实数的取值范围为〔〕；3.等差数列中，，，那么通项〔答：〕；4.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，那么公差的取值范围______5.等差数列中，，那么＝____〔答：27〕；6.在等差数列中，S11＝22，那么＝______〔答：2〕；7.假设是等差数列，首项，，那么使前n项和成立的最大正整数n是〔答：4006〕．8.等差数列中，，，那么的值为〔B〕A．15 B．23 C．25 D．379.等差数列的公差为，且，假设，那么为〔B〕A．B.C．D.10.设是等差数列的前项和，假设，那么等于〔A〕A.1B．-1C．2D．11.是等差数列，，那么该数列前10项和=_____10012.假设等差数列的前5项和，且，那么(B).A．12B．1313.为等差数列，假设，，且它的前n项和有最大值，那么当取得最小正值时，n＝(B). A．11 B．19 C．17 D．2114.在等差数列中。假设，为的前n项和。那么=〔B〕A.54B.27C.32D.4015.等差数列的前n项和当首项和公差d变化时，假设是一个定值，那么以下各数中为定值的是〔B〕A、B、 C、 D、16.在等差数列中，假设++++=120，那么2-的值为〔C〕A.20B.22C.24D.2817.假设数列的前项和，那么〔A〕A.7B.8 C.9 D.18.是正项的等差数列，如果满足：，那么数列的前9项的和为〔B〕A．8B．36C．56D．6419.等差数列中，是其前项和，，，那么的值为.20.数列{an}的前n项和为Sn，且满足〔n≥2〕，，〔1〕求证：成等差数列；〔2〕求的表达式。解：〔1〕当n≥2时，an=Sn－Sn－1，又an+2SnSn－1=0，∴Sn－Sn－1+SnSn－1=0假设Sn=0，那么a1=S1=0与a1=矛盾，∴Sn≠0，∴，又∴成等差数列。〔2〕由〔1〕知：，当n≥2时，，∴二、等比数列及数列求和一.考试内容与要求1．通过实例，理解等比数列的概念；2．探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式；3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。4．探索并掌握一些根本的数列求前n项和的方法；5．能在具体的问题情境中，发现数列的数列的通项和递推关系，并能用有关等差、等比数列知识解决相应的实际问题。二、根底知识回忆1．等比数列的知识要点〔可类比等差数列学习〕〔1〕掌握等比数列定义＝q〔常数〕〔nN〕，同样是证明一个数列是等比数列的依据，也可由an·an＋2＝来判断；〔2〕等比数列的通项公式为an＝a1·qn－1；〔3〕对于G是a、b的等差中项，那么G2＝ab，G＝±；〔4〕特别要注意等比数列前n项和公式应分为q＝1与q≠1两类，当q＝1时，Sn＝na1，当q≠1时，Sn＝，Sn＝。2．等比数列的判定方法①定义法：对于数列，假设，那么数列是等比数列；②等比中项：对于数列，假设，那么数列是等比数列。3．等比数列的性质①等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，那么有；②对于等比数列，假设，那么，也就是：，如下图：。③假设数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列。4．数列求和的常用方法〔1〕公式法：适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列；〔2〕拆项法：适用于其中{}是各项不为0的等差数列，c为常数；局部无理数列、含阶乘的数列等；〔3〕错位相减法：适用于其中{}是等差数列，是各项不为0的等比数列。〔4〕倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法.〔5〕分组求和法〔6〕累加〔乘〕法等。2．常用结论〔1〕1+2+3+...+n=〔2〕1+3+5+...+(2n-1)=〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕三、典例解析例1．以下命题中正确的选项是(D)A.公差为0的等差数列是等比数列；B.公比为的等比数列一定是递减数列；C.三数成等比数列的充要条件是；D.三数成等差数列的充要条件是.例2．一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列。解：所求的等比数列为2，6,18或，－，。例3．设，那么等于〔D〕 A． B．C． D．例4.设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，假设S3＋S6＝2S9，求数列的公比q；〔〕。例5．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，那么a3＋a4＋a5＝〔C〕〔A〕33〔B〕72〔C〕84〔D〕189例6．设首项为正数的等比数列，它的前n项和为80，前2n项和为6560，且前n项中数值最大的项为54，求此数列的首项和公比q。解：此数列的首为2，公比为3。例7.设等比数列{an}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lgan}的前多少项和最大？(lg2=03,lg3=0.4)解{lgan}的前5项和最大，例8．求〔〕例9．设为非零常数，求数列，2a2，3a3，…，，…的前n项和。解析：假设a=1，那么Sn=1+2+3+…+n=；假设a≠1，时，Sn-aSn=a〔1+a+…+an-1-nan〕，Sn=。例10．，数列是首项为，公比也为的等比数列，令，求数列的前项和。解析：，①-②得：，例11．求数列1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，…前n项和。解析：此题实质是求一个奇数列的和。在该数列的前n项中共有个奇数，故。例12．求数列1，3＋，32＋，……，3n＋的各项的和。解：和为(1＋3＋……＋3n)＋(＋……＋)==(3n＋1－3-n)。四.考点练习1.在等比数列{}中，首项a1<0，那么{an}是递增数列的充要条件是公比q满足〔C〕A．q>1B．q<1C．0<q<1D．q<02.等比数列中，，那么的前4项和为〔B〕A．81B．1203.正项等比数列｛｝与等差数列｛｝满足，且，那么，的大小关系为〔B〕A.= B.＜ C.＞D.不确定4．在等比数列{an}中，假设a3，a9是方程3x2-11x+9=0的两根，那么的值是〔C〕A．3B．3C．D．以上答案都不对．5.在等比数列中，公比为2，且，那么〔D〕A.B.C.D.6.数列的前项和是，如果，那么这个数列一定是〔A〕 A．等比数列 B．等差数列 C．必须除去第一项后是等比数列D．除去第一项后是等差数列7.Sn是等比数列的前项和，，，那么等于〔A〕 A． B．－ C． D．－8.等差数列的公差，它的第1、5、17项顺次成等比数列，那么这个等比数列的公比是〔B〕A．4 B．3 C．2 D．EQ\f(1,2)9.设｛an｝是公比为正数的等比数列，假设,那么数列前7项的和为〔C〕A.63 B.64 C.127 D.12810.等比数列的前n项和为，假设，那么此数列的首项为〔D〕A．6 B． C． D．11.在数列中，〔为非零常数〕，且前项和为，那么等于〔C〕A．0 B．1 C． D．212.设等比数列{an}中，前n项和为Sn，S3=8，S6＝7，那么等于〔A〕A．EQ\f(1,8) B．－EQ\f(1,8) C．EQ\f(57,8) D．EQ\f(55,8)13．数列的前n项之和为．14．在1,2之间依次插入个正数a1，a2，a3，…，an，使这n+2个数成等比数列，那么a1a2a3…an=．15.数列是非零等差数列，又成等比数列，那么的值是。1或EQ\f(13,16)16.在公差不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，那么等于.17.设是一个公差为的等差数列，它的前10项和且，，成等比数列。〔1〕.证明；〔2〕.求公差的值和数列的通项公式.解：，第三章不等式〔不等关系、根本不等式,一元二次不等式与简单的线性规划问题〕一,考试内容与要求①了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式〔组〕的实际背景．②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．④会解一元二次不等式，会用根本不等式解决简单的最大〔小〕值问题．二、根底知识回忆及典例解析1、不等式的性质：〔1〕同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：假设，那么〔假设，那么〕，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；〔2〕左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：假设，那么〔假设，那么〕；〔3〕左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：假设，那么或；〔4〕假设，，那么；假设，，那么。特别提醒：如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。例1.对于实数中，给出以下命题：①；②；③；④；⑤；⑥。其中正确的命题是______〔答：②③⑥〕；例2.，，那么的取值范围是______〔〕；例3.，且那么的取值范围是______〔答：〕2.不等式大小比拟的常用方法：〔1〕作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；〔2〕作商〔常用于分数指数幂的代数式〕；〔3〕分析法；〔4〕平方法；〔5〕分子〔或分母〕有理化；〔6〕利用函数的单调性；〔7〕寻找中间量〔一般先把要比拟的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比拟它们的大小〕或放缩法；(8)图象法：例4.设，，，试比拟的大小.〔答：〕；例5.比拟1+与的大小.〔答：当或时，1+＞；当时，1+＜；当时，1+＝〕特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。3.利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。常用的方法为：拆、凑、平方。例6.以下命题中正确的选项是〔C〕A、的最小值是2B、的最小值是2C、的最大值是D、的最小值是例7.假设，那么的最小值是______〔答：〕；例8正数满足，那么的最小值为______〔答：〕；4.常用不等式有：〔1〕.〔2〕.a、b、cR，〔当且仅当时，取等号〕；〔3〕.假设，那么〔糖水的浓度问题〕。例9.如果正数、满足，那么的取值范围是_________5．一元一次不等式的解法Ⅰ、：⑴.假设，那么；⑵.假设，那么；Ⅱ、：⑴假设，那么；⑵假设，那么；5．一元二次不等式的解法=1\*GB3①化为标准式〔二次系数为零〕，判断判别式的正负〔优先考虑因式分解〕，时求根，比拟根的大小，写出结论那么〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕假设二次函数系数含参数且未指明不为零时，需验证假设解集为R呢？例10：关于的不等式对恒成立，那么的取值范围为。6．确定二元一次不等式表示的区域的步骤：①在平面直线坐标系中作出直线.②在直线的一侧任取一点，特殊地，当C≠0时，常把原点作为特殊点.③将代入Ax+By+C求值假设，那么包含此点P的半平面为不等式所表示的平面区域，不包含此点P的半平面为不等式所表示的平面区域.也可采用：把二元一次不等式改写成或的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域。提醒：〔1〕画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时，区域包括边界线，因此，将边界直线画成实线；无等号时区域不包括边界线，用虚线表示不包含直线.〔2〕表示直线的上方，表示直线的下方.〔3〕设点，，假设与同号，那么P，Q在直线的同侧，异号那么在直线的异侧。7．简单的线性规划：〔1〕线性规划问题中的有关概念：①满足关于的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。②关于变量的解析式叫目标函数，关于变量一次式的目标函数叫线性目标函数；③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；④满足线性约束条件的解〔〕叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解；〔2〕求解线性规划问题的步骤是什么？①根据实际问题的约束条件列出不等式；②作出可行域，写出目标函数；③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。例11.线性目标函数在线性约束条件下，取最小值的最优解是____〔答：〔－1，1〕〕；例12.不等式：表示的平面区域的面积是_________〔答：8〕；〔3〕在求解线性规划问题时要注意：①将目标函数改成斜截式方程；②寻找最优解时注意作图标准。8．简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：〔1〕分解成假设干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；〔2〕将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；〔3〕根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。例13.解不等式。〔答：9．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。例14.解不等式〔答：〕；10．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为根底，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但假设按未知数讨论，最后应求并集.提醒：解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论，如果遇到下述情况那么一般需要讨论：①不等式两端乘除一个含参数的式子时，那么需讨论这个式子的正、负、零性.②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，那么需对它们的底数进行讨论.③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况〔有时要分析△〕，比拟两个根的大小,设根为〔或更多〕但含参数，要分、、讨论。例15.假设，那么的取值范围是__________〔答：或〕；例16.解不等式：〔答：时，；时，或；时，〕提醒：〔1〕解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；〔2〕不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。例17.关于的不等式的解集为，那么111.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？〔常应用函数方程思想和“别离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法〕〔1).恒成立问题假设不等式在区间上恒成立,那么等价于在区间上假设不等式在区间上恒成立,那么等价于在区间上例18.设实数满足，当时，的取值范围是___