2021届人教版九年级下《第二十八章锐角三角函数》检测卷含答案

2021届人教版九年级下《第二十八章锐角三角函数》检测卷含答案时刻：120分钟满分：120分题号一二三总分得分一、选择题(每小题3分，共30分)1．cos60°的值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(3,2)2．如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么那个斜坡与水平地面夹角的正切值等于()A.eq\f(5,13)B.eq\f(12,13)C.eq\f(5,12)D.eq\f(13,12)第2题图第5题图3．在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，则coseq\f(A,2)的值是()A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(3,4)D.eq\f(5,4)4．已知α为锐角，且2sin(α－10°)＝eq\r(3)，则α等于()A．50°B．60°C．70°D．80°5．△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC于D，下列选项中错误的是()A．sinα＝cosαB．tanC＝2C．sinβ＝cosβD．tanα＝16．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为()A．26米B．28米C．30米D．46米第6题图第7题图第8题图7．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则那个电视塔的高度AB为()A．50eq\r(3)米B．51米C．(50eq\r(3)＋1)米D．101米如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sinE的值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),3)9．如图，在距离铁轨200米的B处，观看由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是()A．20(eq\r(3)＋1)米/秒B．20(eq\r(3)－1)米/秒C．200米/秒D．300米/秒第9题图第10题图10．如图，在Rt△AOB中，两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A′O′B.若反比例函数y＝eq\f(k,x)的图象恰好通过斜边A′B的中点C，S△ABO＝4，tan∠BAO＝2，则k的值为()A．3B．4C．6D．8二、填空题(每小题3分，共24分)11．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则tanB＝________．12．在△ABC中，AC∶BC∶AB＝3∶4∶5，则sinA＋sinB＝________．13．在△ABC中，∠A、∠B差不多上锐角，若sinA＝eq\f(\r(3),2)，cosB＝eq\f(1,2)，则∠C＝________.14．菱形的两条对角线长分别为16和12，较长的对角线与菱形的一边的夹角为θ，则cosθ＝________．15．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上的一点(不与A、B重合)，则cosC的值为________．第15题图第16题图第17题图第18题图16．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，现在航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米(精确到1米，参考数据：eq\r(3)≈1.73)．17．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD.已知迎水坡面AB＝12米，背水坡面CD＝12eq\r(3)米，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE＝eq\f(3,13)eq\r(3)，则CE的长为________米．18．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝eq\f(1,3)，tan∠BA3C＝eq\f(1,7)，运算tan∠BA4C＝________，…按此规律，写出tan∠BAnC＝________(用含n的代数式表示)．三、解答题(共66分)19．(8分)运算：(1)3tan30°＋cos245°－2sin60°；(2)tan260°－2sin45°＋cos60°.20．(8分)依照下列条件解直角三角形：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8eq\r(3)，∠A＝60°；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3eq\r(6)，b＝9eq\r(2).21.(8分)如图，游客在点A处坐缆车动身，沿A—B—D的路线可至山顶D处，假设AB和BD差不多上直线段，且AB＝BD＝600m，α＝75°，β＝45°，求DE的长(参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，eq\r(2)≈1.41)．22．(10分)已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinB－\f(\r(3),2)))＝0.(1)试判定△ABC的形状；(2)求(1＋sinA)2－2eq\r(cosB)－(3＋tanC)0的值．23．(10分)小明在某次作业中得到如下结果：sin27°＋sin283°≈0.122＋0.992＝0.9945，sin222°＋sin268°≈0.372＋0.932＝1.0018，sin229°＋sin261°≈0.482＋0.872＝0.9873，sin237°＋sin253°≈0.602＋0.802＝1.0000，sin245°＋sin245°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＝1.据此，小明猜想：关于任意锐角α，均有sin2α＋sin2(90°－α)＝1.(1)当α＝30°时，验证sin2α＋sin2(90°－α)＝1是否成立；(2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．24．(10分)如图，某数学爱好小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB＝14米．求居民楼的高度(精确到0.1米，参考数据：eq\r(3)≈1.73)．25．(12分)如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100(eq\r(3)＋1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．(1)分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD(假如运算结果有根号，请保留根号)；(2)已知距观测点D处100海里范畴内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC航行去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险(参考数据：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)?参考答案与解析1．A2.C3.B4.C5.C6.D7.C8.A9.A10．C解析：设点C的坐标为(x，y)，作CD⊥BO′交边BO′于点D.∵tan∠BAO＝2，∴eq\f(BO,AO)＝2.∵S△ABO＝eq\f(1,2)·AO·BO＝4，∴AO＝2，BO＝4.∵△ABO≌△A′BO′，∴A′O′＝AO＝2，BO′＝BO＝4.∵点C为斜边A′B的中点，CD⊥BO′，∴CD＝eq\f(1,2)A′O′＝1，BD＝eq\f(1,2)BO′＝2，∴y＝BO－CD＝4－1＝3，x＝BD＝2，∴k＝xy＝2×3＝6.11.eq\f(12,5)12.eq\f(7,5)13.60°14.eq\f(4,5)15.eq\f(4,5)16.20817.818.eq\f(1,13)eq\f(1,n2－n＋1)解析：如图，作CH⊥BA4于H，由勾股定理得BA4＝eq\r(42＋12)＝eq\r(17)，A4C＝eq\r(10).∵S△BA4C＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1,2)×eq\r(17)×CH＝eq\f(1,2)，解得CH＝eq\f(\r(17),17)，则A4H＝eq\r(A4C2－CH2)＝eq\f(13\r(17),17)，∴tan∠BA4C＝eq\f(CH,A4H)＝eq\f(1,13).∵1＝12－1＋1，3＝22－2＋1，7＝32－3＋1，13＝42－4＋1，∴tan∠BAnC＝eq\f(1,n2－n＋1)，故答案为eq\f(1,13)，eq\f(1,n2－n＋1).19．解：(1)原式＝3×eq\f(\r(3),3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)－2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)＋eq\f(1,2)－eq\r(3)＝eq\f(1,2).(4分)(2)原式＝(eq\r(3))2－2×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,2)＝3－eq\r(2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(7,2)－eq\r(2).(8分)20．解：(1)∠B＝30°，a＝12，b＝4eq\r(3).(4分)(2)∠A＝30°，∠B＝60°，c＝6eq\r(6).(8分)21．解：在Rt△ABC中，∵AB＝600m，∠ABC＝75°，∴BC＝AB·cos75°≈600×0.26＝156(m)．(3分)在Rt△BDF中，∵∠DBF＝45°，∴DF＝BD·sin45°＝600×eq\f(\r(2),2)≈300×1.41＝423(m)．(6分)∵四边形BCEF是矩形，∴EF＝BC＝156(m)，∴DE＝DF＋EF＝423＋156＝579(m)．(7分)答：DE的长为579m.(8分)22．解：(1)∵(1－tanA)2＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinB－\f(\r(3),2)))＝0，∴tanA＝1，sinB＝eq\f(\r(3),2)，(2分)∴∠A＝45°，∠B＝60°，∴∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC是锐角三角形．(5分)(2)∵∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，∴原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)－2eq\r(\f(1,2))－1＝eq\f(1,2).(10分)23．解：(1)当α＝30°时，sin2α＋sin2(90°－α)＝sin230°＋sin260°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)＋eq\f(3,4)＝1.(5分)(2)小明的猜想成立，(6分)证明如下：如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，则∠B＝90°－α，∴sin2α＋sin2(90°－α)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BC,AB)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,AB)))eq\s\up12(2)＝eq\f(BC2＋AC2,AB2)＝eq\f(AB2,AB2)＝1.(10分)24．解：设每层楼高为x米，由题意得MC′＝MC－CC′＝2.5－1.5＝1(米)，∴DC′＝(5x＋1)米，EC′＝(4x＋1)米．(3分)在Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°，∴C′A′＝eq\f(DC′,tan60°)＝eq\f(\r(3),3)(5x＋1)米．(4分)在Rt△EC′B′中，∠EB′C′＝30°，∴C′B′＝eq\f(EC′,tan30°)＝eq\r(3)(4x＋1)米．(6分)∵A′B′＝C′B′－C′A′＝AB，∴eq\r(3)