第一章 空间向量与立体几何（知识归纳+题型突破）（原卷版）

第一章空间向量与立体几何（知识归纳+题型突破）1.能够理解空间向量的概念,运算、背景和作用;2.能够依托空间向量建立空间图形及图形关系的想象力;3.能够掌握空间向量基本定理,体会其作用,并能简单应用;4.能够运用空间向量解决一些简单的实际问题，体会用向量解决一类问题的思路.一、空间向量的有关概念1、概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等．2、几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量

共面向量平行于同一个平面的向量二、空间向量的有关定理1、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使．（1）共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作：（2）拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中2、共面向量定理如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使（1）空间共面向量的表示如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使．或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．（2）拓展对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．3、空间向量基本定理如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得三、空间向量的数量积1、空间两个向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（2）范围：．特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作．(2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)．(3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的．（3）拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别）若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为，(1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<，(2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，.2、空间向量的数量积定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.3、向量的投影3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))．3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角．4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积.5、数量积的运算：（1），.（2）(交换律)．（3）(分配律).四、空间向量的坐标表示及其应用设，，空间向量的坐标运算法则如下表所示：数量积共线（平行）垂直（均非零向量）模，即夹角五、直线的方向向量和平面的法向量1、直线的方向向量如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即2、平面法向量的概念如图，若直线，取直线的方向向量，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合．3、平面的法向量的求法求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:设向量：设平面的法向量为选向量：选取两不共线向量列方程组：由列出方程组解方程组：解方程组赋非零值：取其中一个为非零值（常取)得结论：得到平面的一个法向量.六、空间位置关系的向量表示设分别是直线的方向向量，分别是平面的法向量．线线平行，使得注：此处不考虑线线重合的情况．但用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合线面平行注：证明线面平行时，必须说明直线不在平面内；面面平行，使得注:证明面面平行时，必须说明两个平面不重合．线线垂直线面垂直，使得面面垂直七、向量法求空间角1、异面直线所成角设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法：①②2、直线和平面所成角设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则①；②.3、平面与平面所成角（二面角）（1）如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小．（2）如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足：①；②若二面角为锐二面角（取正），则；若二面角为顿二面角（取负），则；（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）八、向量法求距离（1）点到直线的距离已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，点P到直线l的距离为.（2）两条平行直线之间的距离求两条平行直线l，m之间的距离，可在其中一条直线l上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于到直线的距离.（3）求点面距①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离.即：点A到平面α的距离，其中Q∈α，是平面的一个法向量.（4）线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解直线与平面之间的距离：=，其中，是平面的一个法向量.两平行平面之间的距离：=，其中，是平面的一个法向量.题型一空间关系的证明【例1】如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，为的中点．

(1)求证：平面；(2)求证：平面．反思总结证明平行、垂直关系的方法可以运用传统方法也可以运用空间向量。利用空间向量证明平行、垂直关系的方法:(1)证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量即可。(2)证明线面平行的方法:①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;②证明平面内存在一个向量与直线的方向向量是共线向量;③利用共面向量定理，即证明平面内存在两个不共线向量来线性表示直线的方向向量。(3)证明面面平行的方法:①证明两个平面的法向量平行;②转化为线面平行、线线平行的问题。(4)证明两条直线垂直,只需证明两直线的方向向量垂直。(5)证明线面垂直的方法:①证明直线的方向向量与平面的法向量平行;②转化为线线垂直问题。(6)证明面面垂直的方法:①证明两个平面的法向量互相垂直;②转化为线面垂直、线线垂直问题。巩固训练：1.如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形，线段AD的中点为O且底面，，，E是PD的中点．证明：平面.2.如图所示，正四棱的底面边长1，侧棱长4，中点为，中点为．求证：平面平面.

3.如图，在正方体中，，分别为，的中点.证明：

(1)平面平面；(2)平面.题型二利用空间向量求线面角【例2】如图，已知正三棱柱中，点分别为棱的中点.

(1)若过三点的平面，交棱于点，求的值；(2)若三棱柱所有棱长均为2，求与平面所成角的正弦值.

反思总结巩固训练1.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点是的中点.

(1)证明：；(2)设的中点为，点在棱上（异于点，，且，求直线与平面所成角的正弦值.2.如图四棱锥，点在圆上，，顶点在底面的射影为圆心，点在线段上.

(1)若，当//平面时，求的值；(2)若与不平行，四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.3.如图，在四棱柱中，平面，，，，，为的中点.

(1)求四棱锥的体积；(2)设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度；题型三利用空间向量求二面角[例3]如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，为的中点.

(1)证明：.(2)求二面角的余弦值.反思总结利用向量法确定二面角平面角大小的常用方法.(1)找法向量法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，结合实际图形通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量法:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角等于二面角的平面角.确定二面角的平面角的大小,方法有:①根据几何图形直观判断二面角的平面角是锐角还是钝角;②依据“同进同出互补,一进一出相等”求解;③在二面角的一个半平面内取一点P,过点P做另一个半平面所在平面的垂线，若垂足在另一个半平面内,则所求二面角为锐二面角,若垂足在另一个半平面的反向延长面上，则所求二面角为钝二面角.巩固训练1．如图，在三棱锥中，为的中点.

(1)证明：平面；(2)点在棱上，若平面与平面的夹角为，求的值.2．如图，已知圆柱的上、下底面圆心分别为P，Q，是圆柱的轴截面，正方形ABCD内接于下底面圆Q，AB＝a，．

(1)当a为何值时，点Q在平面PBC内的射影恰好是的重心；(2)在（1）条件下，求平面与平面所成二面角的余弦值．3.如图①所示，在中，，，，D，E分别是线段，上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图②．

(1)若点N在线段上，且，求证：平面；(2)若M是的中点，求平面与平面夹角的余弦值．题型四应用空间向量求空间距离[例4]如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点．

(1)求直线BD与平面APM所成角的正弦值；(2)求D到平面APM的距离．反思总结巩固训练1.已知直线l的一个方向向量为，若点为直线l外一点，为直线l上一点，则点P到直线l的距离为.2．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，、、分别是、、的中点．求：(1)直线与平面的距离；(2)平面与平面的距离．3．如图，在三棱锥中，，平面平面.

(1)求异面直线与间的距离；(2)若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值.4.如图①菱形，．沿着将折起到，使得，如图②所示．(1)求异面直线与所成的角的余弦值；(2)求异面直线与之间的距离．题型五平行或垂直的探索性问题[例5]如图，在棱长为1的正方体中，点E为BC的中点．(1)在B1B上是否存在一点P，使平面？(2)在平面上是否存在一点N，使平面？反思总结涉及线段上的动点问题,先设出动点分线段的某个比值入,根据两个向量共线的充要条件得数乘关系,从而用入表示动点的坐标,再进行相关计算,这样可以减少未知量,简化过程。值得注意的是,应给出入的取值范围。另外,建系时最好用右手直角坐标系且使几何元素尽量分布在坐标轴的正方向上。巩固训练1.如图，直三棱柱中，，D是的中点．(1)求异面直线与所成角的大小；(2)求二面角的余弦值；(3)在上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．2.如图，在中，，为边上一动点，交于点，现将沿翻折至.(1)证明：平面平面；(2)若，且，线段上是否存在一点（不包括端点），使得锐二面角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由.题型六空间向量中的最值问题[例6]如图，平行六面体的所有棱长均为，底面为正方形，，点为的中点，点为的中点，动点在平面内．(1)若为中点，求证：；(2)若平面，求线段长度的最小值．反思总结对于面积、点面距离或体积的最值,一般有两个思考方向:一是从图中直接观察﹐先分清哪些量是定值,哪些量是变量,通过,点或线的变化情况寻找最值二是直接根据目标函数的关系﹐转化为函数的最值或值域问题来处理,如果是求空间角的三角函数的最值,可直接利用数量积及模的计算公式写出三角函数的表达式﹐再转化为二次函数来处理。对于距离、体积或空间角的逆向存在性问题,其求解思路是先假设条件存在,把假设当作新的已知条件进行推理,通过构造方程求解。若得到合理的数据﹐则假设成立﹔若出现矛盾,则假设不成立。对于翻折问题，关键是抓住翻折前后几何量的变与不变进行相关计算。巩固训