第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末题型归纳总结（原卷版）

第二章一元二次函数、方程和不等式章末题型归纳总结模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：不等式的性质及应用经典题型二：利用基本不等式求最值经典题型三：含参数与不含参数一元二次不等式的解法经典题型四：不等式在实际问题中的应用经典题型五：恒成立与有解问题模块三：数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想

模块一：本章知识思维导图

模块二：典型例题经典题型一：不等式的性质及应用例1．（2023·全国·高一专题练习）已知，则必有（

）A． B．且C． D．且例2．（2023·全国·高一专题练习）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则．例3．（2023·全国·高一专题练习）下列说法中，错误的是（

）A．若，则一定有 B．若，则C．若，则 D．若，则例4．（2023·山东济南·高一校考期中）如果，，那么下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．例5．（2023·江苏·高一专题练习）已知，则以下不等式不正确的是（

）A． B．C． D．例6．（2023·山东潍坊·高一统考阶段练习）下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则例7．（2023·广东深圳·高一统考期末）设a，bR，，则（

）A． B． C． D．例8．（2023·高一课时练习）已知互不相等的正数a、b、c满足，则下列不等式中可能成立的是（

）．A． B． C． D．例9．（2023·安徽合肥·高一校考阶段练习）已知实数x，y满足，，则（

）A．1≤x≤3 B．2≤y≤1 C．2≤4x+y≤15 D．xy例10．（2023·北京·高一校考期中）若，则下列不等式：①；②；③；④中，正确的不等式有（

）A．①② B．③④ C．①④ D．①③④经典题型二：利用基本不等式求最值例11．（2023·江苏盐城·高一统考期中）已知正实数、满足，则的最小值为（）A． B． C． D．例12．（2023·云南·高一校考阶段练习）已知，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．例13．（2023·甘肃武威·高一校考期中）已知的最小值为（

）A．12 B．13 C．25 D．26例14．（2023·全国·高一专题练习）已知正数a，b满足，则的最小值为（

）A． B．C． D．例15．（2023·江苏·高一专题练习）已知，，，则的最小值为（

）A．8 B．16 C．24 D．32例16．（2023·全国·高一专题练习）已知正数a，b满足，则最小值为（

）A．25 B． C．26 D．19例17．（2023·全国·高一专题练习）若正数满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．例18．（2023·全国·高一专题练习）若，，且，则的最小值为（

）A．4 B． C． D．例19．（2023·宁夏吴忠·高一统考期中）若且，则的最小值是（

）A．3 B．5 C．7 D．9例20．（2023·河北保定·高一定州市第二中学校考阶段练习）若正数满足，则的最小值为（

）A．8 B． C．16 D．48例21．（2023·江苏·高一专题练习）已知，，且，则的最小值为（

）．A．4 B．6 C．8 D．12例22．（2023·福建泉州·高一福建省泉州市培元中学校考期中）设正实数x，y满足，则（

）A．的最大值是 B．的最小值是8C．的最小值为 D．的最小值为2例23．（2023·辽宁大连·高一校联考阶段练习）下列说法错误的是（

）A．的最小值是2 B．的最小值是C．的最小值是2 D．的最大值是例24．（2023·全国·高一校联考阶段练习）已知正数x，y满足，则下列选项不正确的是（

）A．xy的最大值是 B．的最小值是C．的最小值是4 D．的最大值是例25．（2023·北京·高一校考阶段练习）设正实数、满足，则下列说法不正确的是（

）A．的最小值为 B．的最大值为C．的最小值为 D．的最小值为例26．（2023·广东惠州·高一校考阶段练习）若，下列结论错误的是（

）A．的最大值为1 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最大值为2例27．（2023·高一课时练习）若不等式对任意正数a，b恒成立，则实数x的最大值为（

）A． B．3 C． D．1例28．（2023·全国·高一专题练习）已知，则函数的最大值是（）A． B． C． D．经典题型三：含参数与不含参数一元二次不等式的解法例29．（2023·全国·高一专题练习）求下列不等式的解集：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).例30．（2023·江苏无锡·高一江苏省南菁高级中学校考开学考试）解下列不等式：(1)(2)(3)(4)例31．（2023·高一单元测试）解下列不等式：(1)；(2).例32．（2023·全国·高一专题练习）解关于的不等式.例33．（2023·全国·高一专题练习）已知关于的不等式对于恒成立．(1)求的取值范围；(2)在（1）的条件下，解关于的不等式．例34．（2023·辽宁沈阳·高一统考期末）（1）解关于x的方程：；（2）求关于x的不等式的解集．例35．（2023·全国·高一专题练习）解下列关于的不等式．例36．（2023·全国·高一专题练习）解下列关于的不等式．例37．（2023·广东惠州·高一校考阶段练习）若不等式的解集是，求不等式的解集.经典题型四：不等式在实际问题中的应用例38．（2023·高一课时练习）某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东的方向，与A市相距400km，该热带风暴中心B以40km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？例39．（2023·全国·高一假期作业）学校要在一块长为40米，宽为30米的矩形地面上进行绿化，四周种植花卉(花卉带的宽度相等)，中间设草坪(如图)．要求草坪的面积不少于总面积的一半，求花卉带宽度的取值范围．

例40．（2023·江苏镇江·高一江苏省扬中高级中学校联考期中）某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．(1)据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使下月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？(2)为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价元，并投入万元作为调整营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润．（提示：月总利润月销售总收入月总成本)例41．（2023·全国·高一专题练习）设某企业每月生产电机台，根据企业月度报表知，每月总产值(万元)与总支出(万元)近似地满足下列关系:，，当时，称不亏损企业；当时，称亏损企业，且为亏损额.(1)企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机?(2)当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少?例42．（2023·广东深圳·高一校考阶段练习）为加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面积为32平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室后背靠墙，无需建造费用，某公司给出的报价为：应急室正面和侧面报价均为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，设应急室的左右两侧的长度均为米，公司整体报价为元.(1)试求关于的函数解析式；(2)公司应如何设计应急室正面和两侧的长度，可以使学校的建造费用最低，并求出此最低费用.例43．（2023·上海宝山·高一校考期中）某新建居民小区欲建一面积为700平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽3米，短边外人行道宽4米.怎样设计绿地的长与宽，才能使人行道的占地面积最小？（结果精确到0.1米）例44．（2023·陕西渭南·高一渭南市瑞泉中学校考阶段练习）某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为和，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司本月在这两地一共销售10辆车，求该公司本月获得的最大利润.例45．（2023·江苏南京·高一江苏省南京市第十二中学校考期中）某单位要建造一间地面面积为的背靠墙的长方体形小房，房屋正面留有一扇宽为的小门，房屋的墙和门的高度都是，房屋正面的单位面积造价为1200元，房屋侧面的单位面积造价为800元，屋顶的造价为5800元.若不计房屋背面的费用和门的费用，问：怎样设计房屋能使总造价（单位：元）最低？最低总造价是多少？例46．（2023·湖北省直辖县级单位·高一校考期中）如图，长方形ABCD表示一张6×12（单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分），中间为薄板，木板上一瑕疵（记为点P）到外边框AB，AD的距离分别为1分米、2分米.现欲经过点P锯掉一块三角形废料MAN，其中M，N分别在AB，AD上.设AM，AN的长分别为m分米，n分米.(1)求的值；(2)为使剩余木板MBCDN的面积最大，试确定m，n的值.经典题型五：恒成立与有解问题例47．（2023·海南·高一校考期中）已知，，且，若恒成立，求实数的取值范围.例48．（2023·高一课时练习）已知.(1)如果对一切，恒成立，求实数的取值范围；(2)是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.例49．（2023·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）设．(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；(2)解关于的不等式．例50．（2023·江苏·高一专题练习）已知x＞0，y＞0，且x+y＝2．(1)求的最小值；(2)若4x+1﹣mxy≥0恒成立，求实数m的最大值．例51．（2023·湖南长沙·高一校联考开学考试）（1）若不等式的解集为，求不等式的解集；（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若方程在有解，求实数的取值范围.例52．（2023·高一单元测试）已知，，.(1)求的最小值并说明取得最小值时，满足的条件；(2)，恒成立，求的取值范围.例53．（2023·重庆铜梁·高一校考期中）若正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围.例54．（2023·广东江门·高一校考阶段练习）若关于的不等式有解，则实数的取值范围是例55．（2023·全国·高一专题练习）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是．例56．（2023·重庆江北·高一重庆十八中校考阶段练习）当时，若关于的不等式有解，则实数的取值范围是.例57．（2023·全国·高一专题练习）当时，不等式有解，则实数的取值范围是.模块三：数学思想方法① 分类讨论思想例58．（2023·江苏南通·高一海门市第一中学校联考期中）关于的不等式任意两个解得差不超过14，则的最大值与最小值的差是（

）A．3 B．4 C．5 D．6例59．（2023·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练习）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件例60．（2023·甘肃武威·高三武威第六中学校考阶段练习）对于任意实数，不等式恒成立，则实数取值范围是（

）A． B． C． D．例61．（2023·高一课时练习）若关于的不等式的解中，恰有3个整数，则实数应满足（

）A． B．或C． D．或②转化与化归思想例62．（2023·浙江·高二校联考开学考试）已知，，则的最小值为（

）A． B． C． D．例63．（2023·全国·高一专题练习）如果，