新疆乌鲁木齐某校2022-2023学年高一年级上册期末考试数学试题

高一数学期末考试

一、单选题

1.古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环.已知

某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为60cm,内弧线的长为20cm,连接外弧与内

弧的两端的线段均为16cm,则该扇形的中心角的弧度数为（）.

A.2.3B.2.5C.2.4D.2.6

2.已知角a的终边经过点P（sin60o,cosl20。），则sina=（）

D.巫

A.--B.--C.；

2222

、2兀

3.已知sin（兀一a）-cos（兀+a）=j,-co—s<ac=r<（7i,）则sina-

1414J14D.一四

A.—B.----C.----

9933

4.已知角a的终边过点（T,2）,贝lJsi+n（s3i7nt（-a2）-'c。o）s的C+值a为）（）

45口26「4蓬

AD.75

555

5.如图，为定圆。的直径，点P为半圆上的动点.过点尸作的垂线，垂足

为0,过。作OP的垂线，垂足为M.记弧ZP的长为x,线段。M的长为y,则函数

y=/（x）的大致图像是（）

<3^

BO(f4

y

AB■一人人

0]*C|f

y

cE

C|*O|*

6.函数y=」一的图象与函数y=2siiwc(-2V)Y4）的图象所有交点的横坐标之和等于

\-x

()

试卷第1页，共3页

A.8B.7C.6D.5

7.已知函数/（x）=tan1公-（0>0）的图像与直线y=1的相邻两个交点的距离为、,

则/（x）的图像的一个对称中心是（）

B.件。）

A-(川C.D.

P满足sina二咚,A3屈

8.已知锐角a、cosp=--,---则--a+夕等于（)

10

A,也4#3万

B.或丁

444

C.-D.2k兀+eZ)

4

二、多选题

9.若a是第二象限角，则()

A.乃一。是第一象限角B.?是第一或第三象限角

2

3

C.+a是第二象限角D.2a是第三或第四象限角

2

,sin«+cos(7TC

1A0.已rl知二-------=3,--<a<则（）

sma-cosa2

A.tana=2B.sina-cosa

5

3-l-2sin«cosa1

C.sin4a-cos4a=—D.-----------=\

5sina-cosa3

11.已知函数〃x)=VIsin(69X+?

（0>o）,则下列说法正确的是（）

A.若函数/（x）的最小正周期为式，则其图象关于直线x=对称

B.若函数/（X）的最小正周期为2兀，则其图象关于点对称

C.若函数/（x）在区间（0?）上单调递增，则0的最大值为2

D.若函数/（x）在［0,2可有且仅有4个零点，则。的取值范围是9

OO

12.如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点/Q,0）,以x轴非负半轴为始边作锐

角a,月，a-p,它们的终边分别与单位圆相交于点耳，4,P,则下列说法正确的

是（）

试卷第2页，共3页

B.扇形。4耳的面积为a-/

C.14^1=2sin

D.当。=方时，四边形044出的面积为:sin(尸+三

三、填空题

13.已知角a的终边经过点尸(—X,-6),且cosa=-2,则,+—.

13sinatana

14.若函数/(x)=sinx+3卜抽乂+6卜€[0,2句)恰有三个不同的零点，贝.

15.已知tana=J^,则cos4a-cos'a+sin。a=.

16.已知函数〃x)=4cosx(x€[0,/r])的图像与函数g(x)=15tanx的图像交于48两

点，则导OAB(0为坐标原点)的面积为.

四、解答题

17.用“五点法”作出函数y=l-sinx,xi[0,2%]的大致图象，并写出使得1242的x

的取值范围.

18.已知函数〃x)=Vicos(E-2x).

⑴求函数/(x)的单调区间；

-rr完

⑵求函数/(X)在区间一牙5上的最小值和最大值，并求此时X的值.

试卷第3页，共3页

参考答案

1.B

【分析】根据弧长之比得到半径之比，从而求出小扇形的半径，再根据弧长公式计算可得.

【详解】解：如图，依题意可得弧的长为60cm,弧的长为20cm,

因为/C=16cm,所以OC=8cm,

所以该扇形的中心角的弧度数a=T=2.5.

O

故选：B

2.A

【分析】根据三角函数值求得P乎,再根据正弦值的定义求解即可

3.C

【分析】先使用诱导公式化简已知条件，然后使用利用同角三角函数关系和sina+cosa与

sina-cosa的关系解决.

【详解】由已知，sin(兀一a)-cos(兀+a)=sina+cosa=—,

4

平方得：(sina+cos6r)2=sin2(7+2sin«cosa+cos2a=1+2sin«cos«=—,

9

・0・4।5

..2sinacosa=——1=——

99

i14

(sincr-cosfz)2=sin26Z-2sincrcosa+cos2a-l-2sin«cos«=——

71

*.*—<a<7U,sina>0,cosa<0,・'・sina-cosa>0,

2

..V14

・・sina-cosa=-----

3

答案第1页，共10页

故选：c.

4.D

【分析】先求得sina,cosa,然后利用诱导公式求得正确答案.

【详解】由于角1的终边过点(T,2),

2

所以sina=cosa=,==—r=

府+外耻1)2+22V5

=sin(27T+兀-a)+sina+sin6兀-Ma

I2

4-1

=2sina-cosa=-j=~~^=

故选：D

5.A

【分析】设半径为r,计算得到=y=^sin—,找出对应图像得到答案.

r2r

YY

【详解】设半径为〃，则乙4。尸二士，PQ=OPsinZAOP=rsin-

rr

丫y*i*yv尸yY"

MQ=/.AOP\=rsin—cos—=—sin—,故^=—sin--,0<x<zrr

rr2r2r

故选：A

【点睛】本题考查了函数图像的识别，计算出函数表达式是解题的关键.

6.A

【分析】结合函数图象以及对称性求得正确答案.

【详解】令/(、)=占，川+x)=r^=-}/(>x)=r^r：，

所以/(l+x)=-/(I-x),所以/(X)关于(1,0)对称.

令g(x)=2sin",g(l)=2sinn=0,所以g(x)关于(1,0)对称.

画出函数丁=—匚的图象与函数N=2sin»(-24x44)的图象如下图所示，

1-X

Q

由图可知，两个函数图象有8个交点，且所有交点的横坐标之和等于:x2=8.

2

故选：A

答案第2页，共10页

【分析】根据给定信息，结合正切函数的性质求出3,再列出方程可求解.

【详解】由函数/(x"tan"-?)®〉。)的图像与直线y=1的相邻两个交点的距离为

则有“X)的周期7=工="解得。=2,

co2

于是得/(x)=tan(2x-(),

所以/(x)的图像的对称中心横坐标方程满足2x-^=y,(&eZ),

解得x=g+”,(丘Z)，可知俘,0〕为其一个对称中心.

84V8)

故选：C

8.C

【分析1先利用同角三角函数基本公式求cosa,sin£,然后利用和差公式得到cos(a+⑶的

值，最后根据a,尸为锐角求出a+/的值.

【详解】a,4为锐角，sina=正，cos4=,所以《门夕=10,cosa=Z2/E

5"10105

cos(a+/?)=cosacos夕-sinasinft=>

JT

所以a+4的值等于1

故选：C.

9.AB

【分析】由a与-a关于x轴对称，判断A选项；

由已知得1+2上万<。<乃+2左乃，keZ,再根据不等式的性质可判断B选项；

2

由;3乃+a是第一象限角判断C选项；

2

由不等式的性质可得"+4Avr<2a<2%+4左左，keZ,由此可判断D选项.

【详解】解：因为a与-a关于x轴对称，而a是第二象限角，所以是第三象限角，所

答案第3页，共10页

以万-a是第一象限角，故A选项正确;

■7TTTCfTt

因为a是第二象限角，所以一+2%〃<a<〃+所以一+左乃<—<一+%乃，keZ,

2422

故胃ct是第一或第三象限角，故B选项正确；

3

因为a是第二象限角，所以+a是第一象限角，故C选项错误；

因为a是第二象限角，所以三+2%万<。<万+24乃，〃eZ,所以1+4%%<2a<2乃+44万，

2

kwZ,所以2a的终边可能在y轴负半轴上，故D选项错误.

故选：AB.

10.ACD

［分析］根据sma+c°sa=3,化弦为切，求得tana=2,再根据-£<a<g,求得sina,

cosa,再根据sin"a-cos'a=(sin2a-cos2sin2a+cos2&"8sg化弦为切即可

\八sin2a+cos~a

求出答案，吧%g.=sin%+co：%2s,inacosa化弦为切可得出答案.

sin~tz-cosasin-a-cos-a

,、ae、Ane、，sina+cosa_tana+1、…八」,一生

【详斛】解：因为^---------=3,所以Ixl--------=3,解得tana=2,故A正确；

sina-cosatana-1

又因为-g<a<g,tana>09所以0<a<g,sina=,cosa=,

22255

所以sina-cosa=好，故B错误；

5

sin4a-cos4a=(sin2a-cos2a)^in2a+cos2a)

.22.21

sin~a-cos'a_tana-1

故C正确;

sin2a+cos2atan2a+15

l-2sinacosa_sin2cr+cos2cr-2sin«coscr

sin2a-cos2asin2a-cos2a

(sina-cosa)2sina-cosa14一丁丁乜

----------=一，故D正确.

(sina-cosa)(sina+cosa)sina+cosa3

故选：ACD.

11.ACD

【分析】对于A、B,根据周期求出①，再代入检验即可，对于C、D,由x的取值范围,

求出。X+E的取值范围，再根据所对应的条件得到不等式组，解得即可.

【详解】解：对于A选项：•••/(x)的最小正周期为兀，...0=2,

答案第4页，共10页

.•./仁卜0sin(2(+以=0si吟=0,故函数关于x噬对称，故A正确：

对于B选项：；/(x)的最小正周期为2兀，,。=1,

=+=应sing=&,故函数关于x=；对称，故B错误：

<44J24

对于C选项：；0<x<E，.•.：<ox+H0+E.又函数/(x)在(0,酊上单调递增，

84484V8J

717171

一。+—f-.

・・・,842,?.0<^<2,故C正确；

6»0

对于D选项：•.•》«0,2句，.♦.0x+：e：,2兀。+：,又〃x)在[0,2可有且仅有4个零点,

TT1519

则4兀W2兀。+-<5兀，：.—<(o<—故D正确，

488f

故选：ACD.

12.ACD

【分析】由题意圆的半径尸=1在平面直角坐标系中写出4,耳4P的坐标用两点间的距

离公式计算即可得A选项；选项B,利用扇形的面积公式计算即可；选项C,利用两点间的

距离公式写出14Pl化简即可；选项D,5,历=义4。4+，的%分别表示出来化简即可

【详解】由题意圆的半径〃=1

选项A：由题意得4(cos4,sin/),6(cosa,sina),

/1(1,0),P(cos(a-/7),sin(a-y?))

所以14制=^(cos/7-cosa)2+(sin/?-sina)2

=j2-2cos尸cosa-2sin/?sina

=yj2-2cos(a-

\AP\=J[cos(a-/?)_]『+[sin(a一夕

=y^cos^a-/?)]-2cos(a-4—l+[sinQ-夕j|~

=^2-2cos(a-y0)

所以|46卜MH，故A正确;

选项B：因为=1一尸，

答案第5页，共10页

所以扇形的面积S=5(a—/)x/=a(a—m，

故B错误；

选项C,14Pl=J[cos(a-/7)-cos可+[sin(a一份-sin闻

=+1-2cos(a-)cos£-2sin(a-)sin/

=,2-2cos](『一夕)一夕]

=j2-2cos(a-26)

=j-2cos2备小

2-2l-2sin2(y-/?

=2sin(1-/?=2si

故C正确;

选项D:^OAAXPX=S“04+SA604

=yxlxlxsiny04-yxlxlxsin(6Z-y?)

二；sin,+gsin(a_0

因为a=],

所以SaM=-sin>0+-sinl-兀-/7

43

1.介11.n兀兀71.

=—sinp+—Isin—cosp-cos^-sinp

33

=-sin^+—cosy9

44

I1gsin夕+等cos〃

2

1兀

—1si.n/A7+—

2I3

故D正确

故选：ACD.

答案第6页，共10页

【分析】由题意结合三角函数的定义求出P(-x,-6)点坐标，再求出sina,tana即可求解

【详解】因为角a的终边经过点尸(-X,-6),且cosa=-V，

-x5

所以“HEF，

解得X=|■或X=_■1,

22

因为点P的纵坐标为-6,且cosa=-2<0,

13

所以角a的终边落在第三象限，

所以x=g,即尸

.12y12

所CC1以,1sina=---,tana=—=一，

13x5

111352

sinatana12123

2

故答案为：-§

14.-2

【分析】将问题转化为y=«^y=sinx+3卜inx|在xe[0,2句上有3个不同的交点，画出

由题意得，〃x)=sinx+3卜inx|+6=0在xe[0,2句上有3个不同的实数根，即y=-b和

y=sinx+3卜inx|在xe[0,2句上有3个不同的交点,

4sinx.xe[0,^-1、

令g(x)=sinx+3卜inx|,则g(x)=，…r1]，画出函数gzx)的图象，结合图象可

-2sinx,xe[^,2^-J

答案第7页，共10页

知-6=2,即b=-2.

故答案为：-2.

,4

15.一

9

【解析】将cos4a-cos%+sin2a化简为sin%(l-sin2a)=sin4a,然后将式子写成

sin4a

------二再转化为含tana的式子，可求出答案.

(sina+cos-aI

【详解】cos4a-cos2a+sin2a=cos2a^os2a-\卜sin?。

=-cos2tzsin2(z+sin2a

=sin2cz(l-sin2a)=sin4a

_sin4a_tan4a4_4

(sin2a+cos2a)2(l+tan26Z(2+1}9

4

故答案为：—.

【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的给值求值问题，解答本题的关键是先将所求化简为

.si(n4atan4a

qin4q，再变形为厂二------f，从而转化为^----F，属于中档题•

ex(sma+cosa)(1+tanaJ

16---71

2

【分析】联立4cosx=15tanx,解得sinx=(,该方程在[0,句上有两个不同的解，根据解

的特征可得A,5点关于点(],())对称且A,8的纵坐标的绝对值为2小，从而可求AO48

的面积.

【详解】令4cosx=15tanx,化简得4cos?x=15sinx即dsir?x+15sinx-4=0.

解得sinx=；,因为xw[O,/r],

I乃

所以sinx=z在[0,1]上有两个不同的解，设为占户2且0＜玉＜乃.

I.；VTsVTs口冗

政cos再=—^―,cosx2=———H.X]+X2=—.

故4卜,后)，Z?(X2,-V15),所以A,8点关于点(^,0)对称，

所以6必8的面积为2,2厉=15三.

222

答案第8页，共10页

故答案