2022-2023学年福建省福州市高二年级下册期末考试数学试题【含答案】

2022-2023学年福建省福州市高二下学期期末考试数学试题

一、单选题

1.若集合M={x|x>l},7V={xeZ|0<x<4},则(5M)cN=

A.{0}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{2,3,4}

【答案】B

【分析】先求出集合N,然后进行补集、交集的运算即可.

【详解】N={0,1,2,3,4},CRM={x|x<l)；

(「RM)nN={0,1}.

故选B.

【点睛】本题考查补集、交集的运算，描述法、列举法的定义，熟记交集，补集的定义是关键，是

基础题.

2.“lnx>lny”是“«>亦”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】根据对数与根式的定义域与单调性，结合充分与必要条件的定义判定即可.

【详解】lnx>Iny则>0,五>方则因为x>y>0是x>y20的充分不必要条件,

故"lnx>lny”是“的充分而不必要条件

故选：A

3.已知函数/(x)=xsinx+cosx,则/'g的值为(

)

A.后B.叵C.

66

【答案】D

【分析】根据求导法则求解即可.

【详解】由题意，z(x)=sinx+A-cosx-sinx=xcosx

故选：D

4.定义：对于/(x)定义域内的任意一个自变量的值4,都存在唯一一个巧使得而词=1成

立，则称函数/(X)为“正积函数”.下列函数是“正积函数”的是()

A./(x)=lnxB./(x)=e*C./(x)=esraxD./(x)=cosx

【答案】B

【分析】根据“正积函数”的定义一一判断即可.

【详解】对于A,/(x)=lnx,

由(xjf(x2)=JinX|InX]=1=>Inxjnx2=1，

当玉=1时，则不存在为满足情况，故A不是正积函数；

对于B,/(x)=e",

由"(占)/(%)=^/?^=l=e.e*2=1=%+%=0，

则任意一个自变量的值为，都存在唯一一个巧满足玉+々=°，

故B是正积函数；

对于C,〃x)=e'叫

由J〃xj/(X2)=介""*=1nesinX|esinX2=1nesin*sinX2=1,

得sinxt+sin9=0,

当玉=0时，则sinz=O,x2=kn,keZ,则々不唯一，故C不是正积函数；

对于D,/(x)=cosx,

由“(演)/(》2)=JcosX]cos/=1=>cosx,cos%=1,

当cos%e[0,l)时，则不存在々满足情况，故D不是正积函数.

故选:B.

、ev+1

5.函数f(x)=(,-(其中e为自然对数的底数)的图象大致为()

於T)

【答案】D

【解析】对比函数和选项图像的定义域、奇偶性，即可排除错误答案，即可得解.

【详解】由题意得函数“X)的定义域为(F,0)U(0,+OO),可排除B、C,

xxx

，/、e~+\l+ee+\r..

工函数〃x)为偶函数，可排除选项A.

故选：D.

【点睛】本题考查了函数图像的识别，属于基础题.

6.若函数/。)=；/_工2+以有极值，则实数”的取值范围是()

A.(-8,1]B.(-00,1)

C.(1,+<»)D.[1,+°0)

【答案】B

【分析】由题意，/'(力=0有两个实数根求解即可.

【详解】•••函数/(》)=$3--+如有极值点，

:./'(x)=x2-2x+a=0有两个不同实数根，

A=4—4<?>0,解得a

故选：B

7.设a=log?2,b=2^<c=sinl,则（）

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b

【答案】B

2

【分析】由对数函数的性可知log?2<再根据三角函数的性质可知sin,由此即可求

出结果.

222

【详解】因为8<9,所以2<3储即1%2<晦33、，

又sinle,所以k^Zvsinl；

\/

又25=等，所以logs2<2下<sinl，即a<b<c.

故选：B.

8.高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影.

设xeR,用符号卜]表示不大于x的最大整数，如则y=[x]叫做高斯函数.给定

函数/(x)=x-[x]，若关于x的方程/")=1。&，一£|(“>0,4")有5个解，则实数。的取值范围

为()

A.[5.5,6.5)B.(5.5,6.5]C.[6.5,7.5)D.(6.5,7.5]

【答案】D

【解析】证明函数〃x)是以1为周期的周期函数，并根据xe[0,l)时，/(x)的图象画出/(x),

xe[0,-Ko),将方程的解的个数转化为函数的交点个数，讨论。的取值，根据图像，列出相应不等

式即可得到实数。的取值范围.

【详解】/(X+1)=%+1-[x+1]=X+1-[%]-1=X-[x]=/(x)

所以函数是以1为周期的周期函数，当xe[0,l)时，国=0,则〃x)=x

要使得/(x)=log.(x-g)(a>0，有5个解，即函数与函数/(*)的图象有5个交

点.

当0<a<l时，函数y=bg“(x-g)与函数/(x),xw[0,+8)的图象如下图所示

不满足题意

当。>1时，函数y=log〃(x-；)与函数/(X),X€[0,+8)的图象如下图所示

要使得函数产1。8“口-；）与函数/*）的图象有5个交点，则函数产1叫0-3）的图象低于点A,

不低于点B

bg$

,解得:6.5<Q«7.5

log/

故选：D

【点睛】本题主要考查了根据函数的零点个数求参数范围，属于难题.

二、多选题

9.a,b,ceR,下列命题正确的是（）

A.若a>b,则工B.若a>b,贝U2">2分

ab

C.若a>b,c>d,则D.若avb<0,贝

【答案】BD

【分析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法判断正确选项.

【详解】A选项，。=1,6=-1时，a>b,但工>1,A选项错误；

ab

B选项，由歹=2、随x的增大而增大可得，B选项正确；

C选项，a=2,b=l,c=-l,d=-2时，a>b,c>d,但ac=64,C选项错误；

D选项，若a<b<0,由不等式两边同时乘以负数则变号可得a?>ab，且〃b>62,即/>仍>/,

D选项正确.

故选：BD

10.下列说法正确的是（）

A.若函数“X）的定义域为[0,2],则函数〃2x）的定义域为[0,4]

B.函数y=，是减函数

X

Y1

C.函数〃"=露的图象关于点（-2,1）成中心对称

D.基函数〃x）=（，»-3m+3）xx在（0,+8）上为减函数，则机的值为1

【答案】CD

【分析】对于A,由复合函数的定义域的求法判断；对于B,根据塞函数的单调性进行判断；对于C,

通过平移函数y=-±的图象判断函数y的图象的对称中心；对于D,通过事函数的定义和单

调性得到关于m的关系式，进而求解m的值.

【详解】对于A,函数“X）的定义域为[0,2],由042x42得04x41,

则函数/（2x）的定义域为[0』，A错误；

对于B,函数y=g在区间（-砧0）和（0,+8）上分别是减函数，在整个定义域内不为减函数，B错误；

对于C,函数夕=-工的图象的对称中心为（0,0）,

X

将函数了=-工的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到函数），=--]+1=±±1的图

XXI，JCIZ

象，

v-_1_1

则函数V=J的图象的对称中心为（-2,1）,C正确；

对于D,因为函数/'（戈）=（"/-3加+3卜32为幕函数，

m2-3m+3=1

所以

3m-4<0

解得加=1,D正确.

故选：CD

3,

11.已知函数/（x）=,设西(z=1,2,3)为实数，Xj-x2-x3<0,且玉+々+匕=0,则()

1+3”

A.函数/'（x）的图象关于点对称

B.不等式的解集为k|x>l}

c./(XI)+/(X2)+/(X3)<1

D.

/(^)+/(X2)+/(X3)>-

【答案】ABD

【分析】对A,由/(-x)+/(x)=l可判断；对B,根据函数单调递增可求解；对CD,根据/(x)的

性质画出函数图象，表示出直线的方程，根据&C均在直线么。上方建立不等关系可得.

【详解】对A,•.•/(_x)+/(x)=37r+卷不=1,••・函数”X)的图象关于点(0,£|

对称，故A正确；

111

对B,•.•八#=二=1-一二在R上单调递增，且"0)=：,则化为小-1)>/(0),

1+31+322

则x-l>0,解得x>l,故不等式的解集为卜卜>1},故B正确；

对CD,•.•3，>0,则可得0<1-3铲<1,且〃x)关于点卜,；]对称，在R上单调递增，可得〃x)

B,C均在直线AD上方，其中直线的方程为y=/(%+不)一.1，

x2+x32

/,(%+毛)-3

则可得/卜2)>'3'葭+!，/(演)>

x2+%3

所以，/'「']〃马+不)1\1,

4W=Xzw+H>

/(%)+/⑸>…也I…

f(X2+毛)=/(一百)=1-/(X),

17

.•./(x2)+/(x3)>l-/(x,)+^,即〃为)+〃々)+〃匕)>5,故C错误，D正确.

故选：ABD.

12.已知函数/(x)是定义域为R且周期为4的奇函数，当xe[0,2]时•，〃"=-/+2》,

g(x)=/(x)+/(x+l),则下列结论正确的是()

■髀“9+"4)=0

B.当xe[l,2],g(x)的图象是一条抛物线

C.函数g(x)的图象关于x=g对称

「33-

D.函数g(x)的值域为-了5

【答案】ACD

【分析】易知/(0)=0,然后利用对称性与周期性求解可判断A；再根据区间与解析式可得g(x)在

xe[-2,2]的图像，结合周期性从而判断BCD.

【详解】对A,当xe[0,2]时，/(x)=-f+2x,对称轴为“1,又由于〃x)是奇函数，故当xe[-2,0]

时，〃x)=-/(-x)=-[-(-W+2(T]=»+2x,结合周期为4可得/(x)的图象:

故“X)的对称轴为x=1+2后,壮Z,故/(4)=〃0)=0,

故A正确;

对BCD,当xe[-2,0]时，-xe[0,2],/'(x)=-/(-x)=-[-(-x)?+2[x)]=x、2x,

当xe[2,4]时，x-4e[-2,0],f(x)=/(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8,

则当x+le[-l,0],

g(x)=f(x)+/(x+l)=x2+2x+(x+l)-+2(x+l)=2x2+6x+3；

当xe[-l,0],x+1e[0,1],

g(x)=/(x)+/(x+l)=x2+2x+[-(x+l)-+2(x+l)]=2x+l；

当xe[0,l],x+le[l,2],

g(x)=/'(x)+/(x+1)=-x2+2x+[-(x+l)~+2(x+l)]=-2x?+2x+\•

当xe[l,2],x+le[2,3],

g(x)=/(x)+/(x+l)=-x2+2x+(x+l)2-6(x+l)+8=-2x+3；

因为_V=/(x)是周期为4的函数，故N=/(x+l)也是周期为4的函数，因此g(x)也是周期为4的函

数，函数g(x)图像如图所示：

当xe[l,2],g(x)的图象是一条线段，故B错误;

函数图像对称轴为x=g+2上，

keZ,易知，左=1时，故C正确;

由图可得，在x=；处有最大值g(x)33

在X=处有最小值g(x)1nM

33

所以函数g(x)的值域为，故D正确.

故选：ACD

三、填空题

13.曲线V=ln2x在点处的切线方程是.

【答案】y=2x-l

【分析】根据导数的几何意义求解即可.

【详解】由题意，y=ln2x的导函数故曲线y=ln2x在点处的切线斜率为4=2,则

切线方程”21一5=2X-1.

故答案为：y=2x-\

19

14.已知。+b+c=l,其中b,c>0,则一+；---的最小值为________.

ab+c

【答案】16

【分析】根据给定条件，利用“1”的妙用求解作答.

1919b+c9a

【详解】因为Q+b+c=l,。,仇。〉0,则一+—=[tz+(6+c)](-+--)=10+——+--

ab+cab+cab+c

>10+2./-=16,当且仅当上上=兰-,即a=J,b+c=3时取等号，

Vab+cab+c44

1Q

所以上+合一的最小值为16.

ab+c

故答案为：16

15.已知函数/(x)=kg|旨-*+2)在区间[1]上是增函数则实数a的取值范围是_______.

21_2_

【答案】[2,3)

【分析】根据题意，利用换元法，令f=x2-ax+2>0,则y=在上是增函数，结合对数

函数和二次函数以及复合函数单调性之间的关系，可知在pl上t=ox+2是减函数且，>0恒

成立，最后根据二次函数的性质进行转化求解即可.

【详解】:•函数〃x）=bgl（x~x+2）在区间口1］上是增函数，

21_2_

令，=/_以+2>0,则y=1°g「在1,i上是增函数，

而对数函数夕=|°g|x在定义域内为减函数，

2

则由复合函数单调性满足“同增异减”，

可知在上』上f=Y-奴+2是减函数且经0恒成立，对称轴x=£

L2J2

->1（a>2

则〈2，即〈.解得：24。<3,

r八<3

l12-a+2>01

所以实数。的取值范围是［2,3）.

故答案为：［2,3）.

16.若直线y=b分别与曲线y=e*+2,y=lnx-2交于A,B两点,则线段NB长度的最小值

为.

【答案】,+%+4,其中lnXo+x0+2=O.

xo

【分析】设/（西力），B（x2,b）,则|/8|=e"2-in/）+2,再通过导函数分析其单调性即可求解最小值.

h2

【详解】设”（占,6）,B（x2,t>）,则6=e*+2=、々-2,故6>0,再<々，x,^lnb-2,x2=e'.

故阕=w-3=eh+2-lnb+2,

设/（x）=e**2-lnx+2,（x>0）,

则/"（x）=e-2」■在区间上为增函数，且当x.o-时，/（x）-7,且广⑴=e3-l>0,

X

故在区间（0,1）上存在％使得/'（x0）=0,即e**2=,，故Xo+2=ln'=-lnx。

则当xw（O,x。）时，/r（x）<0,/（X）单调递减；当X€（Xo，+CO）时，"（x）>0,/（X）单调递增.

故/（力=6"2-如3+2,0>0）有最小值/（%）=铲"-111%+2=-！-+%+4,其中lnXo+Xo+2=O

工0

故答案为：，+%+4,其中lnx°+Xo+2=O.

xo

四、解答题

17.已知函数/(x)=x2+lnx-ax,aeR.

⑴当a=3时，求/(x)的极小值；

(2)若/(x)在区间口,2]上单调递增，求实数。的取值范围.

【答案】(1)-2

(2)(—,3]

【分析】(1)先求函数/(x)的定义域和导函数，根据导数与极值点的关系求极值点，再求极小值即

可；

(2)由条件可知/'(x)±0在[1,2]上恒成立，再分离变量构造函数求最值即可求解.

【详解】(1)函数/(x)的定义域为(0,+8),

当a=3时，/(x)=f+lnx-3x

求导得/<x)=2x+”,

整理得：/(x)=(2i1(x-i).

令/'(x)=0可得，x=；或x=l

当g<x<l时，r(x)<0,函数/")单调递减；

当0<x<；或x>l时，/心)>0,函数/(x)单调递增；

所以当x=l时，函数〃x)取极小值，极小值为/⑴=『+Inl-3=-2.

(2)/'(x)=x2+lnx-ax,贝!!/'(x)=2x+』_q.

X

由已知xw[l,2]时，r(x"0恒成立，

所以2x+」-a20恒成立，

X

即a42x+L恒成立，则.

Xx/min

设g(x)=2x+：,xe[l,2],则g，(x)=2-(>0,

故g(x)=2x+—在区间[1,2]上单调递增，则gmin(x)=g⑴=3,

X

故实数。的取值范围为(f,3].

18.已知函数/(x)=k)g3(三:}g(x)=2r+a-2-1.

(1)若/")是奇函数，求不等式〃x)21的解集；

(2)若关于x的方程g(x)=2在区间[-1,1]上有实数解，求实数。的取值范围.

【答案】⑴(1,2]

⑵[0』

【分析】(1)根据奇函数满足/(x)+/(-x)=0恒成立求解可得/(x),再根据对数函数的单调性求

解不等式即可；

(2)将题意转化为°=2向-22,在区间[-1』上有实数解，再换元根据二次函数的单调性求解范围即

可.

【详解】(1)/(x)是奇函数则/(x)+〃-x)=log3(蔓力+唾3(章£|=0,即

(X+ZM>I(x-m\,,,x2-m2,,

--H--=1,故「——=1恒成"，故加=±1.

2

\x-lx+lJx-\

当机=1时，〃x)=log3(含)，定义域为言>0,即x>l或x<-l,满足题意；

当皿=-1时，/(x)=k)g(U)=0,(x*),不满足题意，故加=1.

则〃x)21即log/二R1,则二23,即3-二40,^^<0,解得l<x«2.

\x-\Jx-lx-1x-1

即不等式“X)21的解集为(1,2]：

(2)由题意2、+a-2-、=2在区间卜1』上有实数解，即a.2-*=2_2'，a=-2?，在区间卜1』上

有实数解.

设f=2",xe[-1,1],贝!Jfe-,2,a=2z—Z2=—(z-l)'+l,则当f=1时”取最大值1；当f=2时”取

最小值0,

故ae[0,l].

19.已知函数/(x)=-x2+bx+c,关于X的不等式/(X)>0的解集为{X[1<X<2}.

⑴求不等式2cx2+bx+1>0的解集；

⑵令g(x)=/(x)+s，已知g(x”O的解集为。，且1,3],求实数机的取值范围.

【答案】(1)(-牙1)

⑵卜2五-3,0]

【分析】(1)根据二次不等式的解集可得出6,c的值，代入不等式即可得出结果.

(2)分二次函数的判别式与0的大小关系讨论，再结合二次函数图象性质可得区间端点与对称轴的位

置关系列式求解即可.

【详解】(1)•••/(')=-/+云+。>0的解集为{x[l<x<2},贝IJ1和2是-x2+bx+c=0的两个根，

[—l+6+c=0[/)=3

所以代入i.八，解得<c，由2cx?+瓜+1>0,则-4/+3x+l>0,

[-4+2b+c=0[c=-2

,即2c/+瓜+1>0的解集为(-：』)

44

(2)由8G)=-》2+3乂-2+机*=一/+(机+3)》一2,又g(x)20的解集为。，且D=[l,3].

①当g(x)判别式A<0时，。=0满足条件，此时(加+3)2-8<0,解得一2•及-3<加<2忘-3；

g(l)40

g(3)<0

②当g(x)判别式A20时，w>272-3^/M<-272-3.由抛物线图象性质可得,

2x(-1)

—l+/w+3-2<0

-9+35+3)-240,解得心…,则2必3—40.

即・

1<^<3

2

综上有-20-3<m4O.

故实数机的取值范围为(-2后-3,0]

20.设。为实数，函数/(x-a)=x|x-a|,xeR.

(1)求〃x)的解析式；

⑵当04x41时，求〃x)的最大值g(a).

【答案】(l)/(x)=(x+“)|x|

a+\a>—\

(2)g(a)=y

O,tz<-l

【分析】(1)利用换元法求解即可；

(2)由(1)可得/(x)=x(x+a),(04x41),再分别讨论二次函数对称轴与区间中线的大小关系求

解最大值即可.

【详解】(1)令,则x=，+a,故/(t)="+a)M,即/(x)=(x+a)|x|

(2)由⑴可得/(x)=(x+a)|x|,®/(x)=x(x+a),(O<x<l),易得抛物线开口向上,对称轴为

x=-p区间［0,1］的中线为x=；.

故当《I,即”2T时，g(a)=/(l)="+l；

当-£>；,即0<一1时，g(a)=〃0)=0.

故&'/(\力［(Q。,+”1,Q_之=一1

21.漳州市某研学基地，因地制宜划出一片区域，打造成“生态水果特色区经调研发现：某水果树

2(X2+17),0<X<2

的单株产量〃(单位：千克)与施用肥料x(单位：千克)满足如下关系：％(x)=&，

50-----,2<x45

.x-1

且单株施用肥料及其它成本总投入为20X+10元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路

畅通供不应求.记该水果树的单株利润为/(X)(单位：元).

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

20x2-20x+330,0<x<2

【答案】(1)…80”°,；(2)3千克，最大利润是390元.

490------20Xy2<xW5

x-1

【解析】(1)根据题意可以直接得到利润表达式；

(2)根据定义域求每段函数的利润最大值比较后可得答案.

【详解】(1)由已知/(幻=10少(x)—(20x+10),

20(X2+17)-(20X+10),0<X<2

.,"(x)=[80

500---(20x+10),2<x<5

Ix-\

20X2-20X+330,0<X<2

f(x)=­on

490------20x,2<x<5

x—\

j+325,

(2)由(1)得当0W2时，/(X)=20X2-20X+330=20

.•.当04xV2时，/(x)4/(2)=370；

QQ「80

当2<x<5时，f(x)=490------20x=490--^-+20(x-1)+20

x—\\_x—\_

80

=470------+20(1)

_x-1_

<470--20(X-1)=390,

Qn

当且仅当当=2()(苫-1)时，即x=3时等号成立，

x—1

：370<390,.•.当x=3时，/(x)m"=390,

即当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是390元.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须

把构成积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就

不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

22.已知函数/(x)=alnx,g(x)=x2-(2-a)x+b.

⑴讨论函数6(x)=/(x)-g(x)的单调性：

(2)当。=1时，若存在直线/与/(x),g(x)的图象都相切，求6的取值范围及相应/的条数.

【答案】(1)答案见解析；

(2)be[0,R),当6=0时，有一条切线；当be(0,+co)时，有两条切线.

【分析】(I)求出函数〃(x)及其导数，再分类讨论求解函数”(x)单调区间作答.

(2)设出两个切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，并建立等量关系，再构造函数，利用

导数探讨零点个数作答.

【详解】(1)依题意，a(x)=alnx-依+(2-a)x-b的定义域为(0,+8),

求导得h'(x)=--2x+(2-a)=(2x+”)(x-l)

当时，由〃'(x)>0得0