2023年北京朝阳区高三年级上册学期期末数学试题及答案

北京市朝阳区2022-2023学年度第一学期期末质量检测

高三数学2023.I

(考试时间120分钟满分150分)

本试卷分为选择题40分和非选择题110分

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10题，每题4分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的

一项C

(1)已知全集U={x\x>0\，集合4={娼14<2},则C“4=

(A)(-oo,1]U[2,+<»)(B)(0,l]U[2,+oo)

(C)(F,1)U(2,+8)(D)(0,l)U(2,+oo)

(2)在复平面内，复数(1+i)(a-i)对应的点在第三象限，则实数的取值范围是

(A)(-oo,-l)(B)(-oo,1)

(C)(-l,+oo)(0)(1,+^)

比一+2%—3x0

(一''的零点的个数为

leA-2,生〉0

(A)0(B)l(C)2(D)3

(4)已知双曲线下-•=1(的一条渐近线的倾斜角为60。,则双曲线的离心率为

ab

⑻竽

(C)有(D)2

(5)在△4EC中，“sin2,4=sin28”是“△4EC为等腰三角形”的

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

(6)过直线)=丘-2上任意一点，总存在直线与圆/+尸=I相切，则k的最大值为

Fi

(A)百(B)E(C)1(D)y

高三数学试卷第I页(共6页)

(7)已知函数/(a;)=sin(3A；+3)(3>0,卬<万)，若g(x)♦/(*)=I,且函数g(x)的部分图象

如图所示，则中等于

(A)-y

(B)-^

(呜

(D)y

(8)2022年10月31日，长征五号B遥四运载火箭带着中华民族千百年来探索浩瀚宇宙的

梦想，将中国空间站梦天实验舱准确送入预定轨道.在不考虑空气阻力的条件下,若火箭

的最大速度r(单位:km/s)和燃料的质量M(单位：I)、火箭(除燃料外)的质量m

M

(电位:t)的关系满足方=2000111(1+—),M,

in

，""之间的关系如图所示，则下列结论正确

的品

(A)当M=3,皿=800时,r>7.9

(B)当M=2,m<600时,v<7.9

(C)当M>5,»i=800时,u〉11.2

(D)当M>3所>600时,u>11.2第(8)题

(9)已知4,8,C是单位圆上不同的•:点/8=4C,则懑•无的最小值为

(A)0(B)-"(C)--y(0)-1

(10)在数列IQ,J中，的=1,%+尸%列1(neN°)，若存在常数c,对任意的neNo,都有a„<e

成立,则正数人的最大值为

(A)](B)!(C)J(D)；

，n4

高三数学试卷第2页(共6页)

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5题，每题5分，共25分。

(11)在(2"+'尸的展开式中，常数项为.(用数字作答)

X

(12)已知等差数列的公差%=4,且加，的,%成等比数列，则%=;其前

n项和S,,的最大值为.

(13)若函数/(x)=cosx-sinx在区间［0,a］上单调递减,则实数a的最大值为.

(14)抛物线C：y=/的准线I的方程为.若点P是抛物线C卜.的动点,％与y轴交于

点4,则乙OAP(O是坐标原点)的最大值为.

(15)如图，在棱长为a的正方体ABCD-A/£4中,。,Q分别为4a,4国的中点，点T在

正方体的表面上运动，满足P73BQ.

高三数学试卷第3页(共6页)

三、解答题共6题，共85分c解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）

在△42(:中，csinB=/3bcosC.

(1)求乙C;

(U)若"+6-6,求C的最小值.

（17）（本小题13分）

跳长绳兄中国历史悠久的运动，某中学高三年级举行跳长绳比赛（该校高三年级共4个

班），规定每班22人参加，其中2人摇绳,20人跳绳，在2分钟内跳绳个数超过120个的班级

可获得优胜奖，跳绳个数最多的班级将获得冠军.为预测获得优胜奖的班级个数及冠军得

主,收集了高三年级各班训练时在2分怦内的跳绳个数,并整理得到如下数据（单位:个）：

高三⑴班：142,131,129,126,121,109,103,98,96,94；

高三⑵班：137,126,116,108；

高三（3）班：163,134,112,103；

高三（4）班：158,132,130,127,110,106.

假设用频率估计概率，且高三年级各班在2分钟内的跳绳个数相互独立.

（1）估计高三（I）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖的概率；

（II）用X表示此次跳长绳比赛中获得优胜奖的班级个数，估计X的数学期望EX；

（1U）在此次跳长绳比赛中,哪个班获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

高三数学试卷第4页（共6页）

(18)(本小题14分)

如图，在四棱铺P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面P4。_L平面ABC。,48=4,

。4=。。,£,/分别为8(；,。0的中点.

(I)求证:〃平面PAR；

(II)再从条件①、条件②这两个条件中选择一

个作为已知，求二面角F-BE-A的余

弦值.

条件①:

_2

条件②：/,O=yEF.

注:如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

(19)(本小题15分)

22

已知椭圆。:、+==1(〃泌＞0)的右顶点4(2,0),。为椭圆C上的动点,口点尸不在*

ab

轴上,。是坐标原点，ZUOP面积的最大值为1.

(I)求椭圆C的方程及离心率；

(U)过点H(-1,0)的直线PH与椭圆。交于另一点。，直线AP,AQ分别与y轴相交于点E,

〃.当1”1=2n寸,求直线PH的方程.

高三数学试卷第5页(共6页)

(20)(本小题15分)

已知函数/(2=也(“>0).

ax

(I)求/(%)的的调区间;

(II)若，(％)WA;-■^对XE(0,+8)恒成立，求a的取值范围;

a

(111)若%2liir1+A：1ln%2=0(%jX%2),证明：XJ+X2>2.

(21)(本小题15分)

已知无穷数列|的各项均为正数，当〃W4时上W二当〃>4时,%=max!%+*,

n4

。2+。”2，%+”.-3,…，，其中niax{x)表小孙,x2,x,s个数中最

大的数.

(I)若数列|册［的前4项为1,2,2,4,写出外,%,%,%的值；

(II)证明:对任意的〃eN,，均有3w?；

(山)证明:存在正整数M当n>A时,%=%+%.「

高三数学试卷第6页(共6页)

北京市朝阳区2022^-2023学年度第一学期期末质量检测

高三数学参考答案2023.1

一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)

(I)B(2)A(3)C(4)D⑸D

(6)A(7)B(8)C(9)C(10)B

二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)

(13))

(II)24(12)5n10

4

(14)yL(15)②©④

44

三、解答题(共6小题，共85分)

(16)体/]\题13分)

解：(1)因为csinB>/3Z?cosC,

所以sinCsinb^sinBcosC.

又因为8.(0,7T),所以sinB.O.

所以tan。$.

又因为Ct(0,i),

所以cg.

(II)因为"h6.Cp

由余弦定理('2a2b22abcosC,得

c"(alab2abcos?63ab.

因为9,当且仅当"h3时等号成立.

2

所以,229,解得蜂3.

所以c的最小值为3.

高三数学参考答案第1页(共8页)

(17)(本/J题13分)

解：(I)设事件4为“高三(1)班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖”.

根据题中数据，高三(1)班共训练10次，跳绳个数超过120个的共5次.

所以P⑷估计为2.

(II)设事件4为“高三”)班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖”，k1,2,3,4.

根据题中数据.P(4)估计为乙P(4)估计为乙1.24)估计为土-

424263

根据题意，随机变量X的所有可能取值为0.1,2,3,4,且

P(X0)尸6耳不不＞(4年(A再4原A斤

P(X1)尸(Ad3，P(A441;。(44不4T(AA不

P(A)P(A)P(A)P(A)尸(A»(4刈4开㈠了

P(A)P(A)P(A)P(A)P(A研4M(A而A);

4

P(X3)P(A^A4TP(AA,A2A)4P(AA),?(AA不2)34

P(A)P(A)P(A)P(AJP(A甲(Ay(A»(A)4

P(A)P(A)P(A)P(A)尸(A/(A.(A.(A：;

P(X4)P(A444)4P(A*(A)F(A)F(A)4；

P(X2)1P(X0)P(X1)P(X3)P(X4).

所以，P(X0)估计为L；P(X1)估计为=；P(X3)估计为2_;

242424

P(x4)估计为-!-；P(X2)估计为-.

128

所以EX估计为0LIL251821813

2424一247

(HD在此次跳长绳比赛中，高三(3)班获得冠军的概率估计值最大.

高三数学参考答案第2页(共8页)

(18)(本/卜题14分)

解：(I)取肉的中点K,连接KF,K3.

因为K,尸分别是以，尸。的中点,

所以KF〃A。且K尸-AD.

2

又BE//AD且BE-AD,

2

所以KF//BE且KFBE.

故四边形SEEK为平行四边形.

所以EF//BK.

又因为EF-平面用8,BK平面以8,

所以E尸〃平面布8.

(II)取A。中点0,连接OP,OE.

在△左。中，因为外PD,所以P0,AD.

又因为平面PADf平面ABCD.

且平面出Dfl平面ABC。AD,

所以PO,平面A8C。.

故OP.OA.OP.OE.

又在正方形A8C。中，0E，0A,

所以。A,OE,OP两两垂直.

如图建立空间直角坐标0盯z,

设P(0,0,2z)(/0),

则50,0,0),B(2,4,0),0(2,0,0),E(0,4,0)F(1,0,0

所以丽(2,0,0),EF(1,4,/),。口2,02).

设平面8£尸的法向量为〃(x“ozj,则

.LX八

，〃七3=0,o0，令)则

Ir<rr八即»,Cb11.于是

nhr0,x()4yotz00.x0,2。4n(0,/,4)

0

又因为平面ABE的一个法向量为机(0。1),

高三数学参考答案第3页(共8页)

m4

所以8smji

J,?］6

选择条件①.PDEF.

则石尸。尸0,即22/0.

又10,所以，1.

此时cos胆,〃,

由题知二面角FBE4为锐角,所以其余弦值为噜.

7

选择条件②：PDjEF.

则⑵尸201尸（4尸产,得广।.

4yfi7

此时COS〃八〃-----

17

由题知二面角FBEA为锐角,所以其余弦值为胄

（⑼体小题15分）

解：（I）因为△AOP面积的最大值为Lz弧所以L",1.

22

2

又因为a2,c标b2所以》］。3«

x2

所以椭圆C的方程为了y2T,离心率为-y-

（II）①当直线P”的斜率不存在时,直线PH的方程为*1.显然△APQS^AEF.

因为IPQI*,所以Im|PCI竽.2.不合题意

②当直线P”的斜率存在时，设直线P〃的方程为yk（x1）.

由.vk（x1）.得（］4k2）/8/x（软24）o

x24）24

显然\0.

高三数学参考答案第4页（共8页）

我24依4

设Q(x,y),且X1J-2,则玉x-

222fTF1314A2

直线口的方程为＞/2-(x2).

2)；

令x0,得点E的纵坐标",则E©丹•

XI2

直线AQ的方程为，2).

同理可得F(0.2心,

42

所以IEF1I上二巨马2102、“72)

(苍2)(勺2)

2:成》(?|2)k(xJ)(x2)

(玉2)(322)

6网」…3J-

所以3|&|13x2|\XJ^22(XjX)24|

即3Kll内X』4"2冲1z2(xF)4-|

可得34黑小湿I*?.黑

化简得3回霁上冷■解得*与-

所以直线PH的方程为x3?10或“6/-10.

(20)(本小题15分)

解.(I)/")的定义域为(0,,).

1Inx

由"x)以得f(x)

令r(x)0得xe.

因为〃0,所以当X，(0,e)时.广⑶.，0；当M(e,,)时，f-(x)0

所以/")的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为6・).

高三数学参考答案第5页(共8页)

">.u.UMBS心，in.vaxX-ZUHA"

2(（0,）上恒成立.

设g(x)inVax2x,

1_,2ax2x1

贝niIlJg(x)x-lax1-------------------

XX

令8.(*)0,得为lJjTo(舍)松LJJL0.

4。4。

当人飞(0,照)时，gJ).，0,所以在上单调递增；

g(x)(0,x)

2

当.J：(X2,r)时，g'(x)・。g(x)(X2,*)

，所以在上单调递减.

故g(x)maxg(x)ln.r2at2?X2.

又由川(&)。得J—

axr

….x.1.r,1

所以g(%2)lnx2--5--.

2X2InX22

依题意需g(X)g\W0,即InE%10.

II

设h(t)Inf-----h(t)(0,x)

2,则易知在为增函数.

又力。)0,

所以对任意的y91],有风）wo;对任意的人（1,「）h（t）0

r——,有

所以5照＞,即oIJ8"W1,解得a/.

4a

所以。的取值范围为[I，,）

InxiInxz0

(III)由X21nRA)InX20（X）»2）得x♦l,x01

x|X2且

“】nxw

由（H）知.当。1时，—X1,当且仅当X1

时取等号.

InxInx2、x2i

所以不■为1'

X2

InxjInxz

两式相加得——------<x.2，即XX2.0

x\X2一

故国X22

高三数学参考答案第6页（共8页）

⑵)(本/J'题15分)

解：(1)条5,a6,tz7,a8

678

(II)对任意"4,存在八{1,2.…:"-1},使得巴巴"

ni

若i.4或〃i4.

则4或•又可以写成数列中某两项的和，如《―。好

依此类推，存在力/，…，心0，2,3,4},使得〃aa

।h

其中/J2…+J*="♦

所以存在化，。2，〃3，/小N,使得q,p.iipqzp%3Pa=4

且Pi2P23P34P4n.

设%r,则当〃W4时，an^nt.

4

当"4时，anp(ixpq2pa3ypa^pt,p2tp34P

(Pi2P2