北京市西城区高三数学二模试题

2020年北京市西城区高考数学二模试卷一、选择题（共10小题）.1.设全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，则集合（）∪B＝（）A.（﹣∞，2） B.[2，+∞）C.（1，2） D.（﹣∞，1）∪[2，+∞）【答案】D【解析】【分析】先求出，再求（）∪B得解【详解】U＝R，A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，∴＝{x|x≥2}，（）∪B＝（﹣∞，1）∪[2，+∞）.故选：D【点睛】本题主要考查集合的补集和并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.设复数z＝1+i，则2＝（）A.﹣2i B.2i C.2﹣2i D.2+2i【答案】A【解析】【分析】由z求得，再利用复数的乘方运算求解即可.【详解】∵z＝1+i，∴＝（1﹣i）2＝﹣2i.故选：A.【点睛】本题主要考查共轭复数的定义，考查了复数出乘方运算，属于基础题.3.焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（）A.x2＝4y B.y2＝4x C.x2＝8y D.y2＝8x【答案】D【解析】【分析】根据题意，设抛物线的标准方程为，结合抛物线的几何性质可得p的值，代入抛物线的标准方程即可得答案.【详解】根据题意，要求抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设其标准方程为，又由焦点到准线的距离为4，即p＝4，故要求抛物线的标准方程为y2＝8x，故选：D.【点睛】本题考查抛物线标准方程的求解，属于基础题4.在锐角中，若，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可用正弦定理先求出，再由三角函数中的平方关系及角的范围，求出，进而得到答案.【详解】在锐角中，若，，，由正弦定理，可得，由为锐角，可得．故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理及三角函数中平方关系的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.5.函数f(x)＝x是（）A.奇函数，且值域为（0，+∞）B.奇函数，且值域为RC.偶函数，且值域为（0，+∞）D.偶函数，且值域为R【答案】B【解析】【分析】由奇偶性定义，求出函数f(x)为奇函数，再求出函数的导数，分析其单调性可得在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f（1）＝f（﹣1）＝0；作出函数的草图，分析其值域，即可得答案.【详解】根据题意，函数f(x)＝x，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝（﹣x）﹣（）＝﹣（x）＝﹣f(x)，即函数f(x)为奇函数，其导数f′(x)＝1，在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f（1）＝f（﹣1）＝0；其图象大致如图：其值域为R；故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，值域的求解，属于基础题6.圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0截x轴所得弦的长度等于（）A2 B.2 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】首先令y＝0，整理得两根和与两根积，进一步求出弦长.【详解】令y＝0，可得x2+4x+1＝0，所以，，所以.故选：B【点睛】本题考查的是圆中弦长的求法，较简单.7.设为非零实数，且，则（）A. B.C. D.以上三个选项都不对【答案】C【解析】【分析】直接利用不等式的性质，结合特例，利用排除法，即可求解.【详解】设为非零实数，且，所以对于选项A：当时，，故错误.对于选项B：当时，无意义，故错误.对于选项C：由于，所以，故正确.对于选项D：由于C正确，所以选项D错误.故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，其中解答中不等式的基本性质，以及合理利用特例，结合排除法求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.8.设向量满足，，则的最小值为（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】两边平方，得出关于的二次函数，从而得出最小值.【详解】解：∴当时，取得最小值.故选：B.【点睛】本题考查向量的模的求解方法，利用二次函数求最值，考查运算能力，是中档题.9.设为等比数列，则“对于任意的”是“为递增数列”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】对于任意的，即.可得：，，任意的，解出即可判断出结论.【详解】解：对于任意的，即.∴，，任意的，∴，或.∴“为递增数列”，反之也成立.∴“对于任意的”是“为递增数列”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查等比数列的单调性，充分必要条件，是基础题.10.佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊，那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为（）A.平行 B.相交 C.异面且垂直 D.异面且不垂直【答案】B【解析】【分析】可将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，即可判断，的位置关系．【详解】将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，且两点重合，所以与相交，故选：B【点睛】本题考查平面展开图与其直观图的关系，考查空间想象能力，属于基础题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.在（1+5x）6的展开式中，含x的项系数为_____.【答案】30.【解析】【分析】先写出二项式的展开式的通项，要求含x的项系数，只要使得展开式中x的指数是1，求得r，代入数值即可求出含x项的系数.【详解】展开式的通项公式为：，令x的指数为1，即r＝1；∴含x的项系数为：；故答案为：30.【点睛】本题考查二项式中具体项的系数求解问题，属于基础题12.在等差数列{an}中，若a1+a2＝16，a5＝1，则a1＝_____；使得数列{an}前n项的和Sn取到最大值的n＝_____.【答案】(1).9(2).5.【解析】【分析】设等差数列{an}的公差为d，由a1+a2＝16，a5＝1，可得2a1+d＝16，a1+4d＝1，解得：a1，d，可得an，令an≥0，解得n即可得出【详解】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1+a2＝16，a5＝1，∴2a1+d＝16，a1+4d＝1解得：a1＝9，d＝﹣2.∴an＝9﹣2（n﹣1）＝11﹣2n.令an＝11﹣2n≥0，解得n5.∴使得数列{an}前n项的和Sn取到最大值的n＝5.故答案为：9；5.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列前n项的和的最值，考查学生的计算能力，是中档题.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_____.【答案】4+4.【解析】【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的表面积.【详解】根据几何体的三视图转换为直观图为，该几何体为底面为边长为2，高为2正四棱锥体.如图所示：所以4+4.故答案为：4+4.【点睛】本题考查了利用三视图求几何体的表面积，考查了空间想象能力和空间感，属于基础题.14.能说明“若，则方程表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组的值是_____.【答案】（答案不唯一）.【解析】【分析】由题意可得满足或者即可，取满足上述条件的的值即可（答案不唯一）.【详解】若方程1表示的曲线为椭圆或双曲线是错误的，则，或者，则可取（答案不唯一）.故答案为：（答案不唯一）.【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程，属于基础题.15.已知函数f(x)的定义域为R，满足f（x+2）＝2f(x)，且当x∈（0，2]时，f(x)＝2x﹣3.①f（1）；②当a∈（，]时，方程f(x)＝a在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根；③函数f(x)有无穷多个零点，且存在一个零点b∈Z.其中，所有正确结论的序号是_____.【答案】①②.【解析】【分析】由题意可得函数f(x)的大致图象，根据图像逐个判断，即可判断出所给命题的真假.【详解】如图：对①，因为函数f(x)的定义域为R，满足f（x+2）＝2f(x)，x∈（0，2]时，f(x)＝2x﹣3所以f（1）f（1+2）f（1）•（21﹣3），所以①正确；对②，f(x)的大致图象如图所示可得当a∈（，]时，方程f(x)＝a在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根，所以②正确对③，因为x∈（0，2]时，f(x)＝2x﹣3＝0，x＝log23，又因为f（x+2）＝2f(x)所以函数f(x)由无数个零点，但没有整数零点，所以③不正确；故答案为：①②.【点睛】本题考查了类周期函数的图像与性质，考查了数形结合思想和函数方程思想，属于中当题.三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥BC，D是A1C1的中点，且AC＝BC＝AA1（1）求证：BC1∥平面AB1D；（2）求直线BC与平面AB1D所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接A1B，设A1B∩AB1＝E，连接DE，可得BC1∥DE，再由直线与平面平行的判定得到BC1∥平面AB1D；（2）由CC1⊥底面ABC，AC⊥BC，得CA，CB，CC1两两互相垂直，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AB1D的一个法向量与的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线BC与平面AB1D所成角的正弦值.【详解】（1）证明：连接A1B，设A1B∩AB1＝E，连接DE，由ABC﹣A1B1C1为三棱柱，得A1E＝又∵D是A1C1的中点，∴BC1∥∵BC1⊄平面AB1D，DE⊂平面AB1D，∴BC1∥平面AB1D；（2）解：∵CC1⊥底面ABC，AC⊥BC，∴CA，CB，CC1两两互相垂直，故分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），B（0，2，0），A（2，0，0），B1（0，2，2），D（1，0，2），∴，，.设平面AB1D的法向量为，由，取y＝1，得；设直线BC与平面AB1D所成角为θ.则sinθ＝|cos|.∴直线BC与平面AB1D所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明和求线面角的大小，考查了通过线线平行证明线面平行的方法，同时考查了空间直角坐标系，利用向量求线面角，是立体几何中较为常规的一类题型，有一定的计算量，属于中档题.17.已知函数同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为；②最大值为2；③；④（1）给出函数的解析式，并说明理由；（2）求函数的单调递增区间【答案】（1），理由见解析；（2），.【解析】【分析】（1）根据题意，先判断不能满足条件③，再由条件①求出，由条件②，得，由条件④求出，即可得出函数解析式；（2）根据正弦函数的单调区间，列出不等式，即可求出结果.【详解】（1）若函数满足条件③，则.这与，矛盾，故不能满足条件③，所以函数只能满足条件①，②，④.由条件①，得，又因为，所以.由条件②，得.由条件④，得，又因为，所以.所以.（2）由，，得，所以函数的单调递增区间为，.【点睛】本题主要考查由三角函数的性质求函数解析式，以及求正弦型函数的单调区间，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.18.随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔.其中，小型视频会议软件格外受人青睐.根据调查统计，小型视频会议软件量前6名的依次为A，B，C，D，E，F.在实际中，存在很多软件后但并未使用的情况.为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6款软件的量W（单位：人次）与使用量U（单位：人次），数据用柱状图表示如图：定义软件的使用率t，当t≥0.9时，称该款软件为“有效软件”.调查公司以调查得到的使用率t作为实际中该款软件的使用率.（1）在这6款软件中任取1款，求该款软件是“有效软件”的概率；（2）从这6款软件中随机抽取4款，记其中“有效软件”的数量为X，求X的分布列与数学期望；（3）将（1）中概率值记为x%.对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软件中大约有x%的软件为“有效软件”？说明理由.【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为；（3）不能；答案见解析.【解析】【分析】（1）计算各软件的使用率，得出有效软件的个数，从而可得出所求概率；（2）根据超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列和数学期望；（3）根据样本是否具有普遍性进行判断.【详解】解：（1）tA0.9，tB0.9，tC0.9，tD0.9，tE0.9，tF0.9.∴6款软件中有4款有效软件，∴这6款软件中任取1款，该款软件是“有效软件”的概率为.（2）X的可能取值有2，3，4，且P（X＝2），P（X＝3），P（X＝4），∴X的分布列为：X234PE（X）＝234.（3）不能认为这些软件中大约有x%的软件为“有效软件”.理由：用样本估计总体时应保证总体中的每个个体被等可能抽取，此次调查是对有视频会议需求的人群进行抽样调查，且只选取量排名前6名的软件，不是对所有软件进行的随机抽取6件的样本.【点睛】本题考查随机事件的概率，超几何分布，考查数学建模能力与数学应用能力，是中档题.19.设函数，其中，曲线在点处的切线经过点.（1）求的值；（2）求函数的极值；（3）证明:.【答案】（1）；（2）极小值，没有极大值；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，代入已知点的坐标可求；（2）先对函数求导，结合导数与极值的关系即可求解；（3）由于等价于，结合（2）可得，故只要证明即可，（需验证等号不同时成立）结合导数可证.【详解】解：（1），则，故在处的切线方程，把点代入切线方程可得，，（2）由（1）可得，易得，当时，，函数单调递减，当时,，函数单调递增，故当时，函数取得极小值，没有极大值，证明：（3）等价于，由（2）可得（当且仅当时等号成立）①，所以，故只要证明即可，（需验证等号不同时成立）设，则，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，当且仅当时等号成立，②因为①②等号不同时成立，所以当时，.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及导数与极值的关系，还考查了利用导数证明不等式，体现了转化思想的应用．20.已知椭圆经过点，离心率为，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）设、分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一点（不在坐标轴上），直线交轴于点，为直线上一点，且，求证：、、三点共线.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）将点的坐标代入椭圆的方程，可求得的值，再由椭圆的离心率可求得、的值，由此可得出椭圆的方程；（2）设点，可得出，求出直线的方程，可求得点的坐标，由，可求得点的横坐标，代入直线的方程可求得点的坐标，验证，即可证得结论成立.【详解】（1）将点的坐标代入椭圆的坐标可得，由题意可得，解得，因此，椭圆的标准方程为；（2）椭圆的左、右顶点分别为、，设点，则，则，直线斜率为，则直线的方程为，令，可得，即点，设点，由，可得，直线的斜率为，则直线的方程为，将代入直线的方程得，所以点的坐标为，直线的斜率为直线的斜率为，又、有公共点，因此，、、三点共线.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了椭圆中三点共线的证明，考查计算能力，属于难题.21.如图，表1是一个由40×20个非负实数组成的40行20列的数表，其中am，n（m＝1，2，…，40；n＝1，2，…，20）表示位于第m行第n列的数.将表1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所在的列的位置），得到表2（即bi，j≥bi+1，j，其中i＝1，2，…，39；j＝1，2，…，20）.表1a1，1a1，2…a1，20a2，1a2，2…a2，20…………a40，1a40，2…a40，20表2b1，1b1，2…b1，20b2，1b2，2…b2，20…………b40，1b40，2…b40，20（1）判断是否存在表1，使得表2中的bi，j（i＝1，2，…，40；j＝1，2，…，20）等于100﹣i﹣j？等于i+2﹣j呢？（结论不需要证明）（2）如果b40，20＝1，且对于任意的i＝1，2，…，39；j＝1，2，…，20，都有bi，j﹣bi+1，j≥1成立，对于任意的m＝1，2，…，40；n＝1，2，…，19，都有