考研数学北京航天航空大学线性代数-5-(1-2)

第五章矩阵的相似标准形引言对n阶方阵A及可逆矩阵P,由于矩阵乘法不满足交换律,一般情形下P

1AP不一定等于A.但对P

1AP与A而言,在许多地方性质相同.行列式相等:|P

1AP|=|P

1||A||P|=|A|.因此P

1AP与A或者都可逆,或都不可逆.称P

1AP与A相似,当然会有很多矩阵与A相似,最简单的是什么矩阵？(相似标准形问题)§5.1相似矩阵定义设A、B为两个n阶矩阵，如果存在一个满秩阵P，使得那么称A与B相似，记为A∽B.相似变换：对A作运算P

1AP(P满秩)相似关系的等价性矩阵之间的相似关系是一种等价关系.(1)自反性A∽A;E

1AE=A.(2)对称性A∽B

B∽A;P

1AP=B

A=PBP

1.(3)传递性A∽B且B∽C

A∽C.P

1AP=B且Q

1BQ=C(PQ)

1A(PQ)=C.相似矩阵具有相同的秩(矩阵乘以可逆阵后秩不变)；相似矩阵具有相同的行列式；相似矩阵可逆时,其逆矩阵也相似.假设P1AP=B,那么B1=P1A1P.其他性质例假设A∽B，证明(1)kA∽kB,其中k为任意常数.(2)Am∽Bm,其中m为正整数.(3)g(A)∽g(B),其中g(x)为任意一个多项式.证明由定义,假设A∽B，那么存在可逆矩阵P,使P

1AP=B.(1)P

1kAP=kP

1AP=kB.(2)P

1APP

1AP…P

1AP=Bm

P

1AmP=Bm.g(x)=amxm+am

1xm

1+…+a1x+a0.(3)g(A)=amAm+am

1Am

1+…+a1A+a0E.由(2),Am∽Bm且P

1AmP=Bm，于是P

1g(A)P=amBm+am

1Bm

1+…+a1B+a0E=g(B).所以g(A)∽g(B).问题：与矩阵A相似的矩阵中最简单的矩阵是什么？对单位矩阵E与任何可逆矩阵P,都有P

1EP=E,P

1kEP=kE.单位矩阵只能同单位矩阵相似,数量矩阵也只相似于数量矩阵.比这两类矩阵简单的矩阵是对角矩阵,A能否相似于一个对角矩阵呢？假设n阶方阵A相似于对角矩阵,那么存在满秩矩阵P,使得假设上式成立,λi满足什么条件呢？假设记P=(P1,P2,…,Pn)(列向量),代入得即假设能用相似变换将A化为对角矩阵,那么满秩矩阵P的每个列向量必满足且p1,p2,…,pn线性无关.§5.2特征值与特征向量定义设A是n阶方阵,假设有数和n维非零列向量x,使Ax=x成立.那么称为矩阵A的特征值.非零列向量x称为A的属于(或对应于)特征值的特征向量.问题：对任何方阵A,是否有特征值呢?A有特征值时，如何求出它的全部特征值和全部特征向量呢?一矩阵A=(aij)n

n的特征值和特征向量假设Ax=λx,那么

x

Ax=(

E

A)x=0.(1)由x是非零向量,说明齐次线性方程组(

E

A)x=0有非零解,(1)有非零解

即特征值满足|λE

A|=0.定义设A为n阶矩阵,

E

A称为A的特征矩阵，|

E

A|称为A的特征多项式,|

E

A|=0称为A的特征方程,|

E

A|=0的根即为A的特征值(特征根).特征多项式的特征没有写出的各项的最高次数为

n-2:假设某项含有aij,那么不会含有(aii)与(ajj).因此可得当

=0时定义

tr(A)=a11+a22+…+ann称为A的迹.计算n阶矩阵A的特征值与特征向量的步骤:1.解特征方程|

E

A|=0,求出n个特征值(r重根算r个);2.对每一

i,求(

iE

A)x=0的非零解xi是属于

i的特征向量.例1求三阶方阵的特征值和特征向量.解：特征方程所以A的特征值为

1=2,

2=

3=1.对

1=2,解齐次方程组(2E

A)x=0,即一般解为取根底解系得A的属于λ1=2的全部特征向量为k(0,0,1)

(k

0).对

2=

3=1,解齐次线性方程组(E

A)x=0,即由得一般解为取根底解系因此A的属于

2=

3=1的全部特征向量是k(1,2,

1)

,(k

0).例2求矩阵的特征值和特征向量.解：特征方程

B的特征值为

1=

2=

1,

3=5.对二重特征值

=

1，解方程组(

E

B)x=0,即即一般解为根底解系为因此属于

=

1的全部特征向量为k1,k2不同时为零.对

3=5,解方程组(5E

B)x=0,即由得一般解取根底解系为因此B的属于

=5的全部特征向量为k

0为常数.上面两个例子中,特征方程的单根的线性无关的特征向量为1个,二重根可以是一个也可以是两个.都不超过特征根的重数.例3假设A2=A,称A为幂等矩阵,证明幂等矩阵的特征值只可能是0和1.证明设0是A的特征值,x是A的属于0的特征向量,那么由于即而x

0,得注意：0和1不一定同时是幂等矩阵的特征值,比方E是幂等矩阵,但其特征值只有1.二有关特征值的几个定理定理2.1相似的矩阵具有相同的特征多项式,也有相同的特征值.证明:设A∽B,那么存在可逆矩阵P,使得B=P-1AP.因此注意其逆命题不一定成立(有相同特征多项式的矩阵不一定相似)例如任一矩阵与其转置矩阵有相同的特征多项式,因此也有相同的特征值.(

E

A)

=

E

A

|

E

A|=|(

E

A)

|=|

E

A

|.定理2.2假设A是分块矩阵,即其中Ai(i=1,2,…,s)是方阵,那么A的特征多项式是A1,A2,…,As的特征多项式的乘积.因此A1,A2,…,As的所有特征值就是A的全部特征值.证明将E分块为其中Ei与Ai同阶.(i=1,2,…,s).那么两端取行列式,由Laplace定理有定理2.3设n阶矩阵A的特征值为1,2,…,n(k重根算k个),那么证明令

=0,得而从定理可以看出,假设A的特征值有一个为零,那么|A|=0.反之亦成立.推论矩阵A可逆

A的特征值全不为零.定理2.4假设n阶可逆方阵A的特征值为1,2,…,n，那么A1的特征值为证明:由定理2.3,有意义.设xi是A的属于i的特征向量,那么左乘A

1,有即由定义说明,是A

1的特征值,而有n个(k重算k个),这样是A

1的全部特征值.例4证明假设