5.4统计与概率的应用

5.4统计与概率的应用TOC\o"13"\h\z\u题型1临界点问题 1题型2估计数目的量 3题型3由统计图解决实际问题 7知识点一.概率的应用概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已经渗透到人们的日常生活中，成为一个常用的词汇，任何事件的概率是0～1之间的一个数，它度量该事件发生的可能性．小概率事件（概率接近0）很少发生，而大概率事件（概率接近1）则经常发生.知识点二.解答概率应用题的步骤概率在实际生活中有着广泛的应用，要善于将实际问题转化为概率模型去解决，求复杂事件的概率一般可分三步进行∶列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们.（2）理清各事件之间的关系，列出关系式.（3）根据事件之间的关系，准确地运用概率公式求解，若直接计算符合条件的事件个数较繁琐，可间接地计算对立事件的个数，求得对立事件的概率，然后求出符合条件的事件的概率.知识点三.极大似然法在一次试验中概率大的事件比概率小的事件发生的可能性更大，并以此作为做出决策的理论依据．因此我们在分析、解决有关实际问题时，要善于灵活地运用极大似然法这一思想方法来科学地做出决策.题型1临界点问题【方法总结】取得临界点的步骤将所有数据按照从小到大的顺序排列；（2）计算第p百分位数；（3）得出结论．若需将数据进行梯队分类，需计算多个百分位数．【例题1】（2022·全国·高一课时练习）某地区想实行阶梯电价，经调查发现，该地区居民用电量信息如下.分位数50%分位数70%分位数80%分位数90%分位数用电量/(160176215230如果要求约70%的居民用电量在第一阶梯内，约20%的居民用电量在第二阶梯内，该怎样确定阶梯电价的临界点？【答案】见解析.【解析】根据表格提供的数据，确定阶梯电价的临界点.【详解】由于70%分位数为176，90%分位数为230，所以用电量在[0,176]内为第一阶梯；用电量在(176,230]内为第二阶梯；用电量在(230,+∞【点睛】本小题主要考查图表数据分析与处理，属于基础题.【变式1】（2020·云南·昆明一中）“规矩方圆”法则：正方形内切圆内外面积之比约为79：21，称为中国人法则，可以用如图加以诠释．“不管三七二十一”是中国人法则主要方面，占79%，“三七二十一”是中国人法则的必要补充，占21%．只有凡事不仅管“三七二十一”，特殊情况下不管“三七二十一”，才是真正意义的中国人．中国人的法则可以通过三七理论推断出来，三七理论具有数学基础和哲学基础．下列对三七理论理解不正确的一项是（

）A．三七理论的数学模型建立在“三七”概念：3×7=21、3+7=10、3×B．三七理论的哲学基础是马克思主义辩证法，包括事物矛盾双方的对立统一C．三七理论说明，矛盾双方力量变化发展的临界点是双方力量成分占统一体总成分的十分之三或十分之七D．三七理论只具有统计学上的意义【答案】C【分析】根据题设的描述，判断三七理论：数学表达、基本事件、事件间的关系，以及事件的概率，即可判断各项的正误.【详解】由题意，中国人法则包含“三七二十一”：3×7、“不管三七二十一”：故选：C题型2估计数目的量【方法总结】实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等.【例题2】（2023上·北京房山·高一统考期末）一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色的围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色的围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目约为（

）A．200颗 B．300颗 C．400颗 D．500颗【答案】B【分析】设出白色围棋子的数目，利用频率列方程，进而即得.【详解】设白色围棋子的数目为n，则由已知可得520解得n=300，即白色围棋子的数目大约有300颗.故选：B.【变式21】1．（2022·全国·高一专题练习）从2016年1月1日起，“全面二孩”政策在全国范围内实施，许多年轻夫妇都积极地响应国家号召，在六年内生育了二胎，因此在有两个孩子的每户家庭中，若按孩子的性别来进行分类，共会出现三类家庭，分别为：“两个男孩型”家庭，“一男一女孩型”家庭，“两个女孩型”家庭．M市消费者协会为了解有两个孩子家庭的某些日常生活消费指数，从该市有两个孩子（假设每胎只生一个小孩，科学研究证明每胎生男生女机会均等）的家庭中随机地抽取600户进行调查统计，则估计其中是“一男一女孩型”家庭的户数为（

）A．150 B．200 C．300 D．400【答案】C【分析】根据题意把二胎的所有种类数枚举出来，找出其中“一男一女孩型”所占比例，即可求出抽取的600户中有多少这种类型家庭.【详解】因每胎生男女概率相等，则所有的两孩种类有，①第一胎男孩，第二胎男孩；②第一胎男孩，第二胎女孩；③第一胎女孩，第二胎男孩；④第一胎女孩，第二胎女孩；故“一男一女孩型”所占概率为24=1故选：C.【变式21】2．（2023下·高一课时练习）中国农历的二十四节气是中华民族的智慧与传统文化的结晶，二十四节气歌是以春、夏、秋、冬开始的四句诗．某小学三年级共有学生600名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校三年级的600名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的有（

）A．17人 B．83人 C．102人 D．115人【答案】C【分析】先求出一句也说不出的学生频率，再据此估计该校三年级的600名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的人数.【详解】由题意得：一句也说不出的学生频率为100-45-38100所以估计该校三年级的600名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的有600×0.17=102（人）．故选：C．【变式21】3．（2023·全国·高一课堂例题）某地统计部门为了解企业员工的收入状况，决定进行抽样调查.估计该地共有产业工人大约50000人，企业管理人员约1000人，工人与管理人员的月工资收入差异比较大.该地统计部门用分层抽样的方法抽取产业工人500人，企业管理人员10人.被抽取的500名产业工人的人均月工资为5328元，10名企业管理人员的人均月工资为8426元，试估计这个地区企业员工的人均月工资.【答案】5389元【分析】先求出被抽取的这510名企业员工的工资总额，再求平均数.【详解】被抽取的500名产业工人的人均月工资为5328元，故这500名产业工人的月工资总额为（5328×500）元.同理，被抽取的10名企业管理人员的月工资总额为（8426×10）元，所以被抽取的这510名企业员工的月工资总额为（5328×500+8426×10）元.因此，被抽取的这510名企业员工的人均月工资（即样本的平均数）为5328×500+8426×10510估计该地区企业员工的人均月工资约为5389元.【变式21】4.（2023上·高一课时练习）如下图，从A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从所用时间分组/分10,2020,3030,4040,5050,60选择L1612181212选择L20416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率．【答案】(1)0.44(2)答案见解析【分析】先依题意把所用时间落在40,50和50,60这两个区间段内的人数相加（包括选择L1的人数以及选择L由频率定义或者公式结合表中数据即可得解【详解】（1）由题意一共调查了100人，其中共有12+12+16+4=44（人）40分钟内不能赶到火车站，对应的频率为f=44100（2）调查人数中有60人选择路线L1，40人选择路线L所用时间分组/分10,2020,3030,4040,5050,60选择L10.10.20.30.20.2选择L200.10.40.40.1题型3由统计图解决实际问题【例题3】（2023上·辽宁葫芦岛·高一校考期末）采购经理指数（PMI），是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而成的指数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节，包括制造业和非制造业领域，是国际上通用的检测宏观经济走势的先行指数之一，具有较强的预测、预警作用．制造业PMI高于50%时，反映制造业较上月扩张；低于50%根据统计图分析，下列结论最恰当的一项为（

）A．2021年第一、二季度的各月制造业在逐月扩张 B．2021年第四季度各月制造业在逐月扩张C．2022年1月至4月制造业逐月收缩 D．2022年4月开始制造业景气水平呈恢复性扩【答案】A【分析】根据题意，将各个月的制造业指数与50%【详解】对于A：由统计图可以得到，2021年第一、二季度的制造业指数均高于50%所以2021年第一、二季度的各月制造业在逐月扩张，故A正确；对于B：由统计图可以得到，2021年10月份的制造业指数低于50%对于C：由统计图可以得到，2022年1、2月份的制造业指数高于50%对于D项，由统计图可以得到，2022年46月份制造业指数呈现上升趋势，但是2022年4、5月份制造业指数均低于50%故选：A.【变式31】1．（多选）（2024上·陕西渭南·高一校考期末）制造业PMI指数反映制造业的整体增长或衰退，制造业PMI指数的临界点为50%A．2022年10月中国制造业PMI指数为49.2%B．2021年10月至2022年10月中国制迼业PMI指数的极差为2.9C．2021年10月至2022年10月中国制造业PMI指数的众数为50.2D．2021年11月至2022年2月中国制造业PMI指数的标准差小于2022年7月至2022年10月中国制造业PMI指数的标准差【答案】ABD【分析】根据图中数据，结合极差、众数的定义、标准差与数据稳定性之间关系可直接得到结果.【详解】对于A，由图可知：2022年10月中国制造业PMI指数为49.2%，2022年9月中国制造业PMI指数为50.1%，∴2022年10月中国制造业PMI指数比上月下降0.9个百分点，且低于临界点，A正确；对于B，2021年10月至2022年10月中国制造业PMI指数的极差为50.3%对于C，由图中数据知：众数为50.1%对于D，由图中数据波动幅度知：2021年11月至2022年2月中国制造业PMI指数比2022年7月至2022年10月更稳定，∴2022年11月至2022年2月中国制造业PMI指数的标准差更小，D正确.故选：ABD.【变式31】2．（多选）（2023上·四川成都·高一四川省蒲江县蒲江中学校考开学考试）为了打赢“脱贫攻坚”战役，国家设立了“中央财政脱贫专项资金”以保证对各省贫困地区的持续投入.小莹同学通过登陆国家乡村振兴局网站，查询到了2020年中央财政脱贫专项资金对28个省份的分配额度（亿元），并对数据进行整理和分析.图1是反映2020年中央财政脱贫专项资金分配额度的频数分布直方图，且在20≤x<40这一组分配的额度分别是：25，28，28，30，37，37，38，39，39.图2是反映2016-2020年中央财政脱贫专项资金对自治区A和自治区B的分配额度变化折线图.则下列说法中正确的是（

）A．2020年，中央财政脱贫专项资金对各省份的分配额度的中位数为37.5亿元B．2020年，某省获得的分配额度为95亿元，该额度在28个省份中由高到低排第六名C．20162020年，中央财政脱贫专项资金对自治区A的分配额度逐年增加D．20162020年，中央财政脱贫专项资金对自治区A的分配额度比对自治区B的稳定【答案】ABC【分析】A选项，观察频数分布直方图，结合已知信息求出第14､第15位分配的额度，取平均值即可求得中位数；B选项，根据频数分布直方图判断95亿元所排名次即可；C选项，观察自治区A的分配额度折线图可判断；D选项，观察自治区A､B的分配额度折线图可判断.【详解】A选项，将这28个省､直辖市､自治区分配扶贫资金额度从小到大排列后处在中间位置的两个数的平均数即为中位数，其中第14个数为37，第15个数为38，故38+372因此中位数是37.5亿元，故A说法正确；B选项，由频数分布直方图可知，100≤x<120的有2个省，120≤x<140的有2个省，140≤x<160的有1个省，而95亿元在80≤x<100且只有1个省，因此它位于第六名；故B说法正确；C选项，由统计图可知，2016-2020年，中央财政脱贫专项资金对自治区A的分配额度逐年增加，故C说法正确；D选项，由两个自治区2016-2020年中央财政脱贫专项资金变化情况的折线统计图可直观得到，A自治区的比B自治区的变化､波动要大，所以中央财政脱贫专项资金对自治区B的分配额度比对自治区A的稳定，故D说法错误.故选：ABC.【变式31】3．（2023·全国·高一随堂练习）下面是2003年4月21日至5月15日上午10时，北京市非典型性肺炎疫情新增数据走势图．(1)哪一天新增确诊的人数最多？哪一天新增疑似的人数最多？(2)哪一天新增治愈的人数最多？哪一天新增死亡的人数最少？(3)从图中，你能预测这次北京市非典型性肺炎疫情的发展趋势吗？【答案】(1)2003年4月29日新增确诊的人数最多，2003年4月27日新增疑似的人数最多．(2)2003年5月13日一天新增治愈的人数最多，2003年5月12日新增死亡的人数最少．(3)发展趋势见解析【分析】利用折线图提供的数据和变化趋势直接求解【详解】（1）由折线图得：2003年4月29日新增确诊的人数最多，2003年4月27日新增疑似的人数最多．（2）由折线图得：2003年5月13日一天新增治愈的人数最多，2003年5月12日新增死亡的人数最少．（3）从图中，预测这次北京市非典型性肺炎疫情的发展趋势为：北京市非典型性肺炎疫情初期确诊病例和疑似病例数量快速上升，然后确诊病例和疑似病例数量逐渐下降．【变式31】4．（2024上·辽宁大连·高一大连二十四中校考期末）甲、乙两名学生想代表学校参加某项学科竞赛，根据以往20次的测试，将测试成绩分成50,60，60,70，70,80，80,90，90,100五组，并整理得到如下频率分布直方图：已知甲测试成绩的中位数为75．(1)若依据甲、乙测试成绩的平均数作为选拔标准，应该选派甲、乙中的哪位同学代表学校参赛？（假设同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替）；(2)从甲、乙两人测试成绩不足60分的试卷中随机抽取3份，求恰有2份来自乙的概率．【答案】(1)学校应该选派甲代表学校参赛(2)3【分析】（1）运用频率分布直方图中所有频率之和为1，中位数、平均数公式计算即可.（2）运用频数公式计算可得甲、乙测试成绩不足60分的试卷数，结合列举法求概率即可.【详解】（1）∵0.1+10y+0.4+10x+0.05=1，∴x+y=0.045∵甲测试成绩的中位数为75，∴0.1+10y+0.04×75-70解得y=0.02，x=0.025．甲的平均分为55×0.1+65×0.2+75×0.4+85×0.25+95×0.05=74.5．乙的平均分为55×0.15+65×0.25+75×0.3+85×0.2+95×0.1=73.5．则74.5>73.5所以学校应该选派甲代表学校参赛．（2）甲测试成绩不足60分的试卷数为20×0.1=2，设为A，B．乙测试成绩不足60分的试卷数为20×0.15=3，设为a，b，c，从中抽3份的情况有A,B,a，A,B,b，A,B,c，A,a,b，A,a,c，A,b,c，B,a,b，B,a,c，B,b,c，a,b,c共10种情况．恰有2份来自乙的有A,a,b，A,a,c，A,b,c，B,a,b，B,a,c，B,b,c，共6种情况，故恰有2份来自乙的概率为610题型4统计概率的综合应用【例题4】（2023下·全国·高一随堂练习）某科研课题组通过一款APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量(简称“周跑量”)，得到如下的频数分布表：周跑量/千米101520253035404550人数100120130180220150603010

(1)补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；(2)根据图表数据，试求样本数据的中位数(精确到0.1)；(3)根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如下表：周跑量/千米02040类别休闲跑者核心跑者精英跑者装备价格/元250040004500根据以上数据，估计该市跑步爱好者购买装备的平均价格.【答案】(1)直方图见解析(2)29.2(3)3720元【分析】（1）求出第二组和第四组的频率，进一步求出矩形的高即可补全频率分布直方图；（2）根据中位数的运算法则直接求解即可；（3）分别求出三类跑步者的人数，由此计算该市跑步爱好者购买装备的平均价格即可.【详解】（1）由第二组的频数得频率为1201000=0.12，从而第二组矩形的高为由第四组的频数得频率为1801000=0.18，从而第二组矩形的高为补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图，如下：（2）由5×0.02+5×0.024+5×0.026=0.35<0.5，0.35+5×0.036=0.53>0.5，可知中位数位于区间25,30内，设中位数为x，则由0.35+x-25解得x≈29.2，即样本数据的中位数约为29.2；（3）依题意可知，被调查的1000人中，休闲跑者共有100+120=220(人)，核心跑者共有130+180+220+150=680(人)，精英跑者共有60+30+10=100(人)，这1000名跑步爱好者购买装备的平均价格为220×2500+680×4000+100×45001000所以估计该市跑步爱好者购买装备的平均价格为3720元.【变式41】1．（2023上·全国·高一专题练习）某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组25,30，第2组30,35，第3组35,40，第4组40,45，第5组45,50，得到的频率分布图如图所示，下表是年龄的频率分布表.区间25,3030,3535,4040,4545,50人数20(1)补全表格中的数据（不需要写过程）；(2)现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，求从第1,2,3组分别抽取的人数；【答案】(1)答案见解析；(2)年龄第1,2,3组人数分别是1人，1人，4人；【分析】（1）由频率分布直方图各组小矩形的高度的关系求解即可；（2）根据分层抽样的方法求解即可；【详解】（1）由频率分步直方图可知，30,35，45,50两组的人数与25,30组的人数相等，均为20人，第3组35,40的人数是第一组25,30人数的4倍，为80人，第4组40,45的人数是第一组25,30人数的3倍，为60人所以，表格中的数据为：第2组30,35的人数为20人，第3组35,40的人数为80人，第4组40,45的人数为60人，第5组45,50的人数为20人.（2）由频率分布表和频率分布直方图知：第1组25,30的频率为0.02×5=0.1，第2组30,35的频率为0.02×5=0.1，第3组35,40的频率为0.08×5=0.4，第1,2,3组的人数比为0.1:0.1:0.4=1:1:4，要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，所以，年龄第1,2,3组人数分别是1人，1人，4人.【变式41】2．（2023上·云南昆明·高一校考期中）某面包店记录了最近一周A，B两种口味的面包的销售情况，如表所示：A口味B口味星期一二三四五六日星期一二三四五六日销量/个16121410181913销量/个1318102012914(1)试比较最近一周A，B这两种口味的面包日销量的第60百分位数的大小．(2)该面包店店主将在下一周每天都制作n个A口味的面包，假设下一周A口味的面包日销量和被记录的这一周的日销量保持一致，每个面包当天卖出可获利6元，当天未售出则将损失5元，从n=14，15，16中选一个，你应该选择哪一个?说明你的理由．【答案】(1)A口味的面包日销量的第60百分位数大于B口味的面包日销量的第60百分位数(2)应该选择n=14，理由见解析【分析】（1）利用百分位数的定义求解即可；（2）依题意分别求得n=14，15，16时，面包店店主下一周A口味的面包可获利的金额，进而进行比较即可得解.【详解】（1）最近一周A口味的面包日销量按照从小到大的顺序排列为10，12，13，14，16，18，19．因为7×60%最近一周B口味的面包日销量按照从小到大的顺序排列为9，10，12，13，14，18，20，所以B口味的面包日销量的第60百分位数为14；故最近一周A口味的面包日销量的第60百分位数大于B口味的面包日销量的第60百分位数．（2）当n=14时，下一周A口味的面包可获利14+12+14+10+14+14+13×6-当n=15时，下一周A口味的面包可获利15+12+14+10+15+15+13×6-当n=16时，下一周A口味的面包可获利16+12+14+10+16+16+13×6-因为511>509>507，所以应该选择n=14．【变式41】3．（2023下·新疆省直辖县级单位·高一校考期末）从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：厘米）数据绘成频率分布直方图（如图）.(1)由图中数据求a的值和中位数；(2)若要从身高在120,130，130,140，140,150三组内的学生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，则从身高在140,150内的学生中选取的人数应为多少？【答案】(1)a=0.030；123.33(2)2【分析】（1）根据频率和为1建立等式，解出a的值即可；根据中位数左右面积相等，找到其所在的组，再求出在该组所占的比例，即可求出中位数；（2）先求出三组的人数，根据分层抽样按比例分配，将12人按比例分配，即可求解.【详解】（1）因为各组频率和为1，即直方图中的各个矩形的面积之和为1，所以有10×0.005+0.035+a+0.020+0.010解得a=0.030；因为10×0.005+0.03510×0.005+0.035+0.030所以中位数落在区间120,130内，设中位数为x，由0.4+得x=120+因此，该校小学生身高中位数约为123.33.（2）由直方图知，三个区域内的学生总数为100×10×0.030+0.020+0.010其中身高在140,150内的学生人数为100×10×0.010=10，从60人中用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，所以从身高在140,150范围内抽取的学生人数为1260【变式41】4．（2021·全国·高一课时练习）某中学有学生500人，学校为了解学生课外阅读时间，从中随机抽取了5