2024年中考数学复习（全国版）第3讲 正比例函数与一次函数（考点精析+真题精讲）（原卷版）

备战2024中考数学一轮复习备战2024中考数学一轮复习第3讲正比例函数与一次函数第三章函数第3讲正比例函数与一次函数第3讲正比例函数与一次函数第三章函数→➊考点精析←→➋真题精讲←考向一一次函数和正比例函数的定义考向二一次函数的图象及性质考向三用待定系数法确定一次函数的解析式第3讲正比例函数与一次函数一次函数是中考非常重要的函数,年年考查,总分值为5-10分左右，预计2024年各地中考一定还会考,一般小题的形式考察一次函数的图象及性质，大题主要以应用题或一次函数与几何图形综合为主。→➊考点精析←一、正比例函数的概念一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做正比例系数．二、一次函数1.一次函数的定义一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时，y叫做x的正比例函数．2.一次函数的一般形式一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数.3.注意（1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.（2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.（3）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.三、一次函数的图象及性质1．正比例函数的图象特征与性质正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．k的符号函数图象图象的位置性质k>0图象经过第一、三象限y随x的增大而增大k<0图象经过第二、四象限y随x的增大而减小2.一次函数的图象特征与性质（1）一次函数的图象一次函数的图象一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-，0)的一条直线图象关系一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度图象确定因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可（2）一次函数的性质函数字母取值图象经过的象限函数性质y=kx+b(k≠0)k>0，b>0一、二、三y随x的增大而增大k>0，b<0一、三、四y=kx+b(k≠0)k<0，b>0一、二、四y随x的增大而减小k<0，b<0二、三、四3.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=-，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）．①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．②当–=0，即b=0时，直线经过原点．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．4.两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直．四、待定系数法1．定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法．2．待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤（1）设含有待定系数的函数解析式为y=kx（k≠0）．（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程．（3）解方程，求出待定系数k．（4）将求得的待定系数k的值代入解析式．3．待定系数法求一次函数解析式的一般步骤（1）设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b．（2）把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组．（3）解二元一次方程组，求出k，b．（4）将求得的k，b的值代入解析式．五、一次函数与正比例函数的区别与联系正比例函数一次函数区别一般形式y=kx+b（k是常数，且k≠0）y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）图象经过原点的一条直线一条直线k，b符号的作用k的符号决定其增减性，同时决定直线所经过的象限k的符号决定其增减性；b的符号决定直线与y轴的交点位置；k，b的符号共同决定直线经过的象限求解析式的条件只需要一对x，y的对应值或一个点的坐标需要两对x，y的对应值或两个点的坐标联系比例函数是特殊的一次函数．②正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可．③一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行．④一次函数与正比例函数有着共同的性质：a．当k>0时，y的值随x值的增大而增大；b．当k<0时，y的值随x值的增大而减小．→➋真题精讲←考向一一次函数和正比例函数的定义1．正比例函数是特殊的一次函数．2．正比例函数解析式y=kx（k≠0）的结构特征：①k≠0；②x的次数是1．1．（2020·四川中考真题）已知函数，当函数值为3时，自变量x的值为（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣2或﹣ D．﹣2或﹣2．（2020·四川成都市·九年级二模）下列函数关系式：（1）y＝﹣x；（2）y＝x﹣1；（3）y＝；（4）y＝x2，其中一次函数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4考向二一次函数的图象及性质1．通常画正比例函数y=kx（k≠0）的图象时只需取一点（1，k），然后过原点和这一点画直线．2．当k>0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈上升趋势；当k<0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈下降趋势．3．正比例函数y=kx中，|k|越大，直线y=kx越靠近y轴；|k|越小，直线y=kx越靠近x轴．4．一次函数图象的位置和函数值y的增减性完全由b和比例系数k的符号决定．3．（2023·四川乐山·统考中考真题）下列各点在函数图象上的是（

）A． B． C． D．4．（2023·甘肃武威·统考中考真题）若直线（是常数，）经过第一、第三象限，则的值可为（

）A． B． C． D．25．（2020·山东济南·中考真题）若m﹣2，则一次函数的图象可能是（）A．B．C．D．6．（2023·内蒙古·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向右平移3个单位长度得到一次函数的图象，则该一次函数的解析式为（

）A． B． C． D．7．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是（

）A．

B．

C．

D．

8.（2023·新疆·统考中考真题）一次函数的图象不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）一次函数的函数值y随x的增大而减小，当时，y的值可以是（

）A．2 B．1 C．－1 D．－210．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．

(1)求m的值和直线的函数表达式．(2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值．考向三用待定系数法确定一次函数的解析式运用待定系数法求一次函数解析式的步骤可简单记为：一设，二代，三解，四回代．11．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转得到点B，在，，，四个点中，直线经过的点是（

）

A． B． C． D．12．（2023·江苏苏州·统考中考真题）已知一次函数的图象经过点和，则________________．14．已知函数y＝(2m+1)x+m﹣3；(1)若函数图象经过原点，求m的值；(2)若函数图象在y轴的截距为﹣2，求m的值；(3)若函数的图