2024年中考数学常见几何模型全归纳（全国通用）专题38 重要的几何模型之中点模型（一）（原卷版）

专题38重要的几何模型之中点模型（一）中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1：垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。如图，在三角形ABC中，DE⊥BC，且D为BC中点，则BE=EC。模型运用条件：当遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质。例1．（2023·河北廊坊·校考三模）如图，已知在菱形中，连接对角线，作边的垂直平分线，分别交、、于点、、，若，则的度数是（

）

A． B． C． D．例2．（2023上·江西南昌·八年级校考阶段练习）如图，已知，以A，B两点为圆心的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，则的周长为（）A．8 B． C． D．例3．（2023·山东济南·统考二模）如图，在中，，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于、两点，作直线交于点，若，则的面积为（

）

A．2 B． C． D．4例4．（2023上·辽宁营口·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是．例5．（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，中，，点D在边上，连接，点E是的中点，交于点F，，若，，则的长为．例6．（2023上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，在中，为钝角，边的垂直平分线分别交于点D，E．(1)若，求的大小；(2)若的平分线和边的垂直平分线相交于点F，过点F作垂直于的延长线于点G，求证：．模型2：等腰三角形的“三线合一”定理：等腰三角形底边中线、高线、顶角平分线“三线合一”。如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC边上的中点，则∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，BD=CD。模型运用条件：等腰三角形中有底边上的中点时，常作底边的中线。例1．（2023·河南驻马店·校考三模）如图，在中，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D，交于点E，连接．则下列结论不一定正确的是(

)

A． B． C． D．例2．（2023·山东济宁·统考二模）如图，中，，平分，点E是的中点．若，，则的长是（

）

A． B． C． D．7例3．（2023·广东梅州·九年级校联考期末）如图，已知，点在边上，，点，在边上，，若，则．

例4．（2023上·重庆渝中·八年级校考期中）如图，在等腰中，，延长至点，使得．，过点作，垂足为，延长至点，连接，若，则．例5．（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）如图，在中，，，点为的中点，于点，则的值为（

）A． B． C． D．例6．（2023·黑龙江·统考三模）如图，在四边形中，，，作于点E，，连接，，则的长为（）

A．10 B．8 C．6 D．4模型3：“平行线+中点+对顶角”构造全等或相似模型我们把这种情况叫做平行线间夹中点.处理这种情况的一般方法是：延长过中点的线段和平行线相交，即“延长中线交平行”如图，AB//CD，点E是BC的中点，可延长DE交AB于点F。模型运用条件：构造8字型全等（平行线夹中点）。例1．（2023上·天津西青·八年级统考期末）如图，已知等边，过边上一点P作于点E，点Q为延长线上一点，取，连接，交于M，已知的长为2，则等边三角形的边长为．例2．（2023·山东济南·校联考一模）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、BC边的中点，EP⊥CD于点P，∠BAD=110°，则∠FPC的度数是（）A．35° B．45° C．50° D．55°例3．（2023·天津·中考真题）如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若，，则的长为．例4．（2023下·重庆黔江·八年级统考期末）矩形与矩形，如图放置，点，，共线，点，，共线，连接，取的中点，连接．若，，则(

)A． B． C． D．例5．（2023·浙江宁波·校联考一模）如图，在平行四边形D中，CD＝2AD，BE垂直AD于点E，F为DC的中点，连接EF，BF，下列结论（1）；（2）；（3）四边形DEBC三角形EFB；（4），其中正确结论的个数共有（

）A．个 B．2个 C．3个 D．4个例6．（2023·吉林长春·统考三模）【感知】如图①，正方形中，点在边上，平分．若我们分别延长与，交于点，则易证．（不需要证明）【探究】如图②，在矩形中，点在边的中点，点在边上，平分．求证：．【应用】在【探究】的条件下，若，，直接写出的长．课后专项训练1．（2023上·河北张家口·八年级统考期中）如图，在中，，依据尺规作图痕迹，下列判断正确的是(

)结论Ⅰ：；

结论Ⅱ：．

A．Ⅰ，Ⅱ都对 B．Ⅰ对，Ⅱ错 C．Ⅰ错，Ⅱ对 D．Ⅰ，Ⅱ都错2．（2022·河北石家庄·校考模拟预测）如图，是半圆O的直径，C为半圆上一点，，过O作交于点E，则的长为（

）

A． B． C． D．3．（2022·安徽·合肥校考模拟预测）如图，矩形的对角线交于点，经过点且，分别与，交于点，，若，，则等于（

）

A． B．2 C． D．34．（2023·重庆九龙坡·校考三模）如图，正方形的边长为12，点E为边上一点，，点F为边上一动点，连接交于点G，连接，当时，则的长为（

）

A． B． C． D．55．（2023·陕西西安·校考三模）如图，在等腰中，，，点为的中点，于点E，则的值为（

）A． B． C． D．6．（2023·广西贵港·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD于点E，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠BAD；②EF＝AF；③S△ABF＝S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．其中一定成立的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，已知于点B，于点A，点E是的中点，，若，，则的长是．

8．（2023·山东临沂·统考一模）如图，的顶点在等边的边上，点在的延长线上，为的中点，连接，若，，则的长为．9．（2023上·山西大同·八年级校考阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线与的平分线交于点．交的延长线于点，交于点．，．则的长是．10．（2023·山东临沂·统考二模）在中，，，将沿翻折到，的垂直平分线与相交于点E．若，则的长为．

11．（2023·山东泰安·统考二模）在中，，D为中点，，，，则

12．（2023·江西萍乡·校考模拟预测）如图，是等边三角形，，是边上的高，点是射线上的动点，连接，交直线于点，当是等腰三角形时，的长为．13．（2023上·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边CD，AD的中点，CF与EA、EB分别交于点M，N．已知AB＝8，BC＝12，则MN的长为．14．（2023上·浙江绍兴·八年级校考期中）两个同样大小的含角的三角尺，按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点，且另三个锐角顶点，，在同一直线上，为中点，已知．(1)求的长．(2)求的长．15．（2023上·浙江丽水·九年级统考期中）已知：如图，在中，，以边为直径作半圆，分别交于点．(1)求证：；(2)若，求的度数．16．（2023·江苏无锡·校考二模）如图，中，，点、分别在、边上，．(1)求证：；(2)若，，当时，求的长．

17．（2023上·四川成都·九年级校考期中）中，，垂直平分，交线段于点E（点E与点C不重合），点F为直线上一点，点G为边上一点（点G与点A不重合），且．(1)如图1，当时，求证：线段；(2)如图2，当时，猜想线段和的数量关系，并说明理由；(3)若，，，求线段的长．18．（2022上·辽宁沈阳·八年级校考期末）【问题】：如图1，等腰直角三角形中，，，是的角平分线，点E为上一点，交延长线于点F，连接，探究，，之间的数量关系．【分析】：小明在思考这道题时，先通过测量猜想出，然后他想到了老师讲过的“手拉手”模型，便尝试着过点E作的垂线与相交于点G（如图2），通过证明，最终探究出，，之间的数量关系．（1）请根据小明的思路，补全的证明过程；（2）请直接写出，，之间的数量关系；【应用】（3）当时，请直接写出的长为；【拓展】（4）若的中点为点M，当B，E，M三点共线时，请直接写出的长为．19．（2023·辽宁·模拟预测）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，垂足为B，且．求证：．

①如图2，小鹏同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段与，之间的数量关系转化为与之间的数量关系．②如图3，小亮同学从这个条件出发给出另一种解题思路：作的垂直平分线，分别与，交于F，E两点，连接，将转化为与之间的数量关系．请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．【类此分析】（2）李老师发现之前两名同学都运用转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．如图4，在中，