山西省阳泉市第十五中学高二数学理上学期摸底试题含解析

山西省阳泉市第十五中学高二数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若命题￢（p∨（￢q））为真命题，则p，q的真假情况为（）

A.p真，q真

B.p真，q假

C.p假，q真

D.p假，q假参考答案：C【解析】若命题￢（p∨（￢q））为真命题，则命题p∨（￢q）为假命题，则命题p和￢q为假命题，∴p假，q真，故选：C

2.函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：B3.已知向量a=(2，-1，3)，b=(-4，2，x)，且(a+b)⊥a，则x=(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A略4.已知为等比数列,,,则（）A．

B．

C．

D．参考答案：A略5.甲校有3600名学生。乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生身高方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在这三校分别抽取学生（

）

A．30人，30人，30人

B．30人，45人，15人

C．20人，30人，10人

D.30人，50人，10人参考答案：B6.若，，则P，Q的大小关系是（

）A．

B．

C.

D．由a的取值确定参考答案：C∵且，∴，又，∴，故选C.

7.已知点（x,y）在抛物线上，则

(

)

A.

2

B.3

C.4

D.0参考答案：B8.若双曲线(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋2相切，则此双曲线的渐近线方程为参考答案：B双曲线的渐近线为y＝±x，不妨取y＝x，代入抛物线得x＝x2＋2，即x2－x＋2＝0，要使渐近线与抛物线y＝x2＋2相切，则Δ＝2－8＝0，即b2＝8a2，所以此双曲线的渐近线方程是y＝±x＝±2x，选B.9.在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝44°，则此三角形解的情况为()A．无解

B．两解

C．一解

D．解的个数不确定参考答案：B10.在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为，则BC＝()A．3

B．5

C．7

D．15参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在同一平面直角坐标系中，直线在变换作用下得到的直线方程是

。参考答案：12.用定积分的几何意义，则= 参考答案：13.若复数()，则=_________。参考答案：i【分析】先由复数相等，求出的值，再由复数的除法运算，即可求出结果.【详解】因为复数()，所以，解得，因此.故答案为【点睛】本题主要考查复数相等与复数的除法，熟记复数相等的充要条件以及复数的除法运算法则即可，属于基础题型.14.已知等比数列的首项为，是其前项的和，某同学计算得，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为

参考答案：15.用数学归纳法证明“＜，＞1”时，由＞1不等式成立，推证时，左边应增加的项数是

▲．参考答案：

16.直线(t为参数)和圆交于A，B两点，则AB的中点坐标为 。参考答案：略17.已知|2x﹣1|+（y+2）2=0，则（xy）2016=

．参考答案：1【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】根据指数幂的运算法则计算即可．【解答】解：∵|2x﹣1|+（y+2）2=0，∴x=，y=﹣2，∴xy=﹣1，∴（xy）2016=1，故答案为：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知公差不为零的等差数列{an}满足，且，，成等比数列.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若，且数列{bn}的前n项和为Tn，求证：.参考答案：(1).(2)见详解.【分析】(1)设公差为，由已知条件列出方程组，解得，解得数列的通项公式.(2)得出，可由裂项相消法求出其前项和，进而可证结论.【详解】(1)设等差数列的公差为().由题意得则化简得解得所以.(2)证明：，所以.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的基本量运算、裂项相消法求和、不等式的证明.通项公式形如的数列，可由裂项相消法求和.19.如图所示，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，弦PQ的中点为N，经过点N作y轴的垂线与C的准线交于点T．（Ⅰ）若直线l的斜率为1，且|PQ|=4，求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）证明：无论p为何值，以线段TN为直径的圆总经过点F．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）设直线l的方程为y=x﹣，与抛物线C的方程联立，化简得x2﹣3px+=0，根据|PQ|=4，求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）求出点N、点T的坐标，证明?=﹣p2m2+p2m2=0，即可证明：无论p为何值，以线段TN为直径的圆总经过点F．【解答】（Ⅰ）解：由直线l的斜率为1，可设直线l的方程为y=x﹣，与抛物线C的方程联立，化简得x2﹣3px+=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由韦达定理可知，x1+x2=3p，∴|PQ|=x1+x2+p=4p=4，p=1，∴抛物线C的方程为y2=2x．…（Ⅱ）证明：设直线l的方程为x=my+，与抛物线C的方程联立，化简得y2﹣2pmy﹣p2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由韦达定理可知，y1+y2=2pm，∴x1+x2=m（y1+y2）+p=2pm2+p，∴点N的坐标为（pm2+，pm），∴点T的坐标为（﹣，pm），∴=（﹣p，pm），=（pm2，pm），∴?=﹣p2m2+p2m2=0，∴无论p为何值，以线段TN为直径的圆总经过点F．…（12分）【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，同时考查向量与解析几何的交汇，综合性强．20.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋＝a.(1)求；(2)若c2＝b2＋a2，求B.参考答案：(1)由正弦定理得，sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA，---------2即sinB(sin2A＋cos2A)＝sinA.故sinB＝sinA，------------------4所以＝.----------------------6(2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，得cosB＝.-----------------8由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2.可得cos2B＝，又cosB＞0，-------------------10故cosB＝，所以B＝45°.-----------------1221.（10分）如图，轴，点M在DP的延长线上，当点P在圆上运动时，（1）求：动点M的轨迹的方程；（2）若B(-2，0),C(1，0),A是曲线上的一个动点，求：的取值范围．参考答案：(1)设点M的坐标为，点P的坐标为，

则即

①∵P在圆上

∴

②将①代入②得

∴动点M的轨迹方程为(2)设点A的坐标为∴

∵点A在椭圆上

∴∴的取值范围为(0,]

22.如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，BC⊥CF，，EF=2，BE=3，CF=4．（Ⅰ）求证：EF⊥平面DCE；（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）由已知中在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=，BE=3，由勾股定理，我们易得EF⊥CE，由矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，可得DC⊥平面EFCB，则DC⊥EF，进而由线面垂直的判定定理得到答案．（II）方法一（几何法）过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH，由三垂线定理及二面角的平面角的定义，易得∠AHB为二面角A﹣EF﹣C的平面角，解Rt△CEF，即可求出二面角A﹣EF﹣C的大小为60°时，AB的长．方法二（向量法）以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz，设AB=a，分别求出平面AEF的法向量和平面EFCB的法向量，代入向量夹角公式，由二面角A﹣EF﹣C的大小为60°，构造关于a的方程，解方程求出a值．【解答】证明：（Ⅰ）在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=，BE=3，∴EC=，∵在△FCE中，CF2=EF2+CE2，∴EF⊥CE由已知条件知，DC⊥平面EFCB，∴DC⊥EF，又DC与EC相交于C，∴EF⊥平面DCE解：（Ⅱ）方法一：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH．由平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC=BC，AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF．所以∠AHB为二面角A﹣EF﹣C的平面角．在Rt△CEF中，因为EF=2，CF=4．EC=∴∠CEF=90°，由CE∥BH，得∠BHE=90°，又在Rt△BHE中，BE=3，∴由二面角A﹣EF﹣C的平面角∠AHB=60°，在Rt△AHB中，解得，所以当时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°方法二：如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz．设AB=a（a＞