北京市丰台区2023-2024学年高一年级上册期末练习数学试卷（解析版）

丰台区2023〜2024学年度第一学期期末练习

局一数学

2024.01

考生须知：

1.答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、教育m号用黑色字迹签字笔填写清

楚，并认真核对条形码上的教育号、姓名.在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码.

2.本次练习所有答题均在答题卡上完成，选择题必须使用25铅笔以正确填涂方式将各小题对

应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项.非选择题必须使用标准黑色字迹

签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚.

3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效.在练习卷、

草稿纸上答题无效.

4.本练习卷满分共150分，作答时长120分钟.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

,.A={x|-2<x<llB=\x\-i<x<2\4R_/、

1.已知集合L11J,则八。一（）

A.1x|-2<x<2}B.1%|-1<%<1}

C.|x|-l<x<1}D.|x|-l<x<2}

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解作答.

【详解】因为4={无卜2<%<1},B=[x\-\<x<2^,

所以Ac3=1x|-2<x<1|n|x|-l<x<2}=1x|-l<x<l|.

故选：B.

2.下列函数在区间（0,+s）上单调递减的是（）

A.y=lnxB.y=cosxC.j=e'D.y=-|x|

【答案】D

【解析】

【分析】结合函数的单调性依次判断即可.

【详解】解:对于A项，函数y=ln%在（0,+。）上单调递增，故A项错误；

对于B项，函数V=cosx在（0,+8）上有增有减，故B项错误；

对于C项，函数y=e'在（0,+8）上单调递增，故C项错误；

「f-x,x>0/、

对于D项，函数y=—国=，则函数）=-|x|在（0,+。）上单调递减，故D项正确.

人,人U

故选：D

3.若a>b>0,c>d,则下列结论一定成立的是（）

A.a—b<0B.a+ob+cC.ac>bcD.ac>bd

【答案】B

【解析】

【分析】利用不等式性质可知a—〃>0,即可对A判断；由不等式性质得a+c>/?+c,即可对B判断,

利用特殊值可对C、D判断；

【详解】对A：由所以a—/?>0,故A错误；

对B：由a〉/?>0,所以a+c>b+c,故B正确；

对C：由令。=一1,则ac=-a<〃c=-Z?,故C错误；

对D：由a>/?>0,c>d,令a=2,b=l,c=-2,d=-3,所以ac=T<Z?c=-3,故D错误.

故选：B.

4.已知tan[a—：]=2,则tan<z=（）

A.-3B.-1C.-D.1

3

【答案】A

【解析】

【分析】根据正切的和差角公式即可求解.

/、tana--

（兀兀、I4）

［详解］tantz=tana——+—=-----—-

（44）i-tan7fa-

4

故选：A

5-Ig2+lg5_8.+j(l_兀)2=()

13

A.71--B.71—2C.4—71D.---71

22

【答案】A

【解析】

【分析】利用根式的性质、指数和对数的运算性可得出所求代数式的值.

【详解】lg2+lg5-8^+^(l-7l)2=lglO-^+7l-l=l-1+7l-l=7l-1,故A正确.

故选：A.

6.函数/(x)=sinxcos[x-]],贝i]()

A./(九)是最小正周期为2兀的奇函数B.〃龙)是最小正周期为2兀的偶函数

C.“X)是最小正周期为兀的奇函数D.“X)是最小正周期为兀的偶函数

【答案】D

【解析】

【分析】对函数化简得/(x)=binx「，然后利用正弦三角函数的性质从而求解.

【详解】对A、C：由题意得/(x)=sinxcos[x-W]=sin2x=g(l-cos2x),定义域为R,

所以/(—x)=g[l—cos2(—x)]=g(l—cos2x)=/(x),所以/(%)为偶函数，故A、C错误；

2冗

对B、D：函数/(%)的最小正周期为万=兀，故B错误，D正确，

故选：D.

7.函数/(x)=2'+x,g(%)=log2x+%,〃⑴=4+尤的零点分别为。，b,c,则。，b,c,的

大小顺序为()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【答案】C

【解析】

【分析】利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合求解即可.

【详解】令/(力=0,即2'=—x，

令g(尤)=0,即log2X=—x,

令/z(x)=0,即«=一工，分别作出y=2*,y=log2x,y=&和y=T的图象,

8.若a,£都是第一象限角，贝厂sin。>sin,”是“tanc>tan/?”成立的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

［分析］设必=a+2E，4=1+2E,后eZ且生,幺,由y=sinx和y=tan尤在上单

调递增，可判断.

【详解】因为a,“都是第一象限角，

设/=a+2E，4=〃+2E,左GZ且多,g,

因为、=$皿兀和》=tanx在］o,1J上单调递增，

当sina>sin/?时，即sin%>sin（3X,

所以火〉/7,则tan%>tan/3,

所以tana>tan/；

反之，当tanc>tan，时，即tan/〉tan片，

所以%>/?,,则sinax>sin/，即sina>sin)3,

所以“sina>sin)3”是“tan(z>tan成立的充分必要条件.

故选：C

9.荀子《劝学》中说：“不积陛步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”学习是日积月累的过程，每天进

步一点点，前进不止一小点.若甲、乙两同学当下的知识储备量均为“，甲同学每天的“进步”率和乙同学每天

的“退步”率均为2%4天后，甲同学的知识储备量为(1+2%)”a,乙同学的知识储备量为(1—2%)"a,则

甲、乙的知识储备量之比为2时，需要经过的天数约为()(参考数据：1g2ao.3010,lgl02«2.0086,

lg98«1.9912)

A.15B.18C.30D.35

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意列式，结合对数运算，即可求得答案.

【详解】由题意可设经过“天后甲、乙的知识储备量之比为2,

则］Ed

0.3010

贝U”(lgl02—lg98)=lg2,:.n=————h~18(天),

lgl02-lg982.0086-1.9912

故选：B

10.记火(A)为非空集合A中的元素个数，定义A*B=:/»〉》〈.若4={1,2},

B={x|(x2+ax)(x2+ax+5)=0},且A*6=l,设实数a的所有可能取值组成的集合是S,则H(S)等

于()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件可得尺(功=1或尺(5)=3,再根据集合3中的方程的根的个数，对参数。进行分类

讨论即可求得实数〃的所有可能取值，即可得出结果.

【详解】由定义得H（A）=2,又A*B=1,则H（B）=1或R（B）=3,

由方程（x2+ax）（x2+ax+2）—0,得x?+ax=0或V+ax+2-0>

当H（B）=1时，方程（必+融）（炉+ax+2）=0只有一个实数根，

而方程/+ax=0有一根为0,则另一根必为0,—a=0,此时V+ax+2=0无实根，因此a=0；

当火（5）=3时，必有awO,方程/+依=o有两个不相等的实数根无i=0，专=_%

并且西=0,x2=-a都不是方程X?+依+2=0的根，

显然方程V+6+2=0有两个相等的实数根，且异于再=0,马=-。，

于是A=〃—8=0，解得。=2形或a=—2夜，

当a=2时，方程（x?+奴）（炉+奴+2）=0的根为0,-2,满足题意，

当a=-2时，方程（x?+at）（x?+av+2）=0的根为0,2A/^,,满足题意，

因此a=2顶或a=—2及，所以S=｛。,2后2立｝,火（S）=3.

故选：C

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.函数/（尤）=lg尤+j4—x的定义域为.

【答案】（0,4]

【解析】

【分析】根据开偶次方被开方数为非负数，结合对数函数的定义域得到不等式组，解出即可.

4-%>0

【详解】由题意得，解得0<xW4,

x>0

所以函数〃x）=lgx+J=定义域为（0,4].

故答案：（0,4],

12.能说明“关于x的不等式炉―狈+2。>0在R上恒成立"为假命题的实数。的一个取值为.

【答案】0（答案不唯一）

【解析】

【分析】将关于X的不等式尤2—狈+2。>0在R上恒成立问题转化为A<0,从而得到。的取值范围，命

题为假命题时a的取值范围是真命题时的补集，即可得。的取值.

【详解】若不等式必—依+2a>0在R上恒成立，则A=(—a)2—4x2a<0,

解得0<a<8,

所以该命题为假命题时实数。的取值范围是a<0或a>8，

所以实数a的一个取值为0.

故答案为：0(答案不唯一，只要满足“aWO或aN8”即可).

尤尤>0

13.已知函数=j,若关于X的方程/(可=左有两个不同的实根，则实数左的取值范围

是.

【答案】(-8,1]

【解析】

【分析】根据题意及函数y=/(x)和丁=左有两个不同的交点，然后求出/(可相应区间上的值域，即可

求解.

【详解】由题意知，当天>0时，/(x)=log2xe(-oo,+oo),且单调递增，

当xWO时，/(x)=d+le(—8』，且单调递增，

所以当/(%)=左有两个不同的实根，即函数y=/(x)和丁=左有两个不同的交点，

所以只需左W1即满足题意，所以左的取值范围为(-»/].

故答案为：

14.己知/(x)=2cos2x—sinx,则/[看[=，/(无)的最小值为.

【答案】0.1②.-1

【解析】

【分析】由已知直接代入求解即可得先利用同角三角函数的关系将已知式子变形，利用换元法结

合二次函数求得最小值.

2

【详解】fj=2cos2-sin=2xj-1=1,

/(x)=2cos2x-sinx=2(l-sin2x)—sin龙=-2sin2x-sinx+2,

^/=sinx,/6[-1/]则/("=—2/2—/+2=—2,+；]+[，

函数对称轴为t=-；，又re[—1,1],

所以当£=1时，/(。有最小值T,

所以/'(无)的最小值为-1.

故答案为：1;-1,

15.双曲函数是一类与三角函数类似的函数，基本的双曲函数有：双曲正弦函数sinh(x)=e；,双曲

xe-x,、sinh(x)

余弦函数cosh(x)=P+,双曲正切函数tanh(x)=—^给出下列四个结论:

2cosii(%)

①函数y=cosh(x)是偶函数，且最小值为2；

②函数y=sinh(x)是奇函数，且在R上单调递增;

③函数y=tanh(x)在R上单调递增，且值域为(-1,1)；

④若直线V=/与函数y=cosh(x)和y=sinh(x)的图象共有三个交点，这三个交点的横坐标分别为占,

巧，x3,则x1+x2+x3>In(1+应).

其中所有正确结论的序号是.

【答案】②③④

【解析】

/、sinh(x)2

【分析】利用奇偶函数定义,指数的运算及基本不等式可对①、②判断；由tanh(x)=­£=1-^—.

可求其值域，即可对③判断；结合双曲余弦函数和双曲正弦函数的性质，奇偶性、单调性、最值等来对④

判断

【详解】对①：/(x)=y=cosh(x)=e—，定义域为R，f(-x)=cosh(-x)=—=〃％)，

所以为偶函数,

因为e、>0,e-jO,所以〃司=巴户2过(3=1，当且仅当e-“=6工=1，即x=0时取等号,

故①错误;

对②：g(x)=sinh(x)=---，定义域为R,g(-x)=sinh(-x)=---^―=---—=—g(x),

所以g(x)为奇函数,

因为y=e，在定义域R上单调递增，y=-©一,在定义域R上单调递增，所以g(x)=1；工在定义域R上

单调递增，故②正确；

,、sinh(x)er-e~xe2x-122

对③：由y=tanh(x)=----――=------=不一-=1一一五一-,又因为e?x+1>1,所以0<——<2

cosh(x)e+ee+1e+1e+1

所以—1<1—一一<1,

e+1

所以y=tanh(x)的值域为(—1,1),故③正确；

对④：由①，②知y=cosh(x)是偶函数且最小值为1,y=sinh(x)是奇函数且在R上单调递增，

所以函数丁=/与丁=««11(%)和丁=sinh(x)的图象共有三个交点，则得/〉1,

由双曲余弦函数为偶函数，得石+々=0,则得——,>],所以e%—e->2，

-2

即(e*y一？^*一1>0,得e%>l+J^，则%>111(1+逝)，所以/+々+毛AlnO+G'),故④正确

故答案为：②③④.

【点睛】方法点睛：根据函数的奇偶性的定义可求得双曲余弦函数为偶函数，双曲正弦函数为奇函数，再

根据指数函数的单调性从而求得双曲正弦函数为增函数，结合两者的奇偶性，单调性即可对④求解.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程

16.已知集合4={%,-1<尤Ka+1。},B=-4x-21<oj-.

(1)若。=0,求\A,AOB；

(2)若8=A,求实数。的取值范围.

【答案】⑴=,AoB=|x|-3<%<10}

(2)[—3,—2]

【解析】

【分析】(1)求出集合A,3,然后即可求出为A,A^B.

(2)根据5RA,列出相应的不等式组从而可求解.

【小问1详解】

当a=0时，A={x|-l<x<10},所以"={x|x<—1或x>10},

因为％2一4左一21<0，所以(x-7)(x+3)W0,

所以5=卜卜3<x<7},所以4°3=卜卜3Wx<10}.

【小问2详解】

由（1）知5={刃-3Vx<7},又B匚A,

a-l<-3

所以,解得:—3WaW—2.

a+10>l

所以实数。的取值范围为[—3,—2].

17.已知函数/(%)=2世

(1)画出函数/(力的图象，并写出函数/(尤)的值域及单调区间;

⑵解不等式/(%)»16；

(3)若/(X)»/—。+1恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】(1)图象见解析，值域为[L+8),单调递减区间为(-8,0],单调递增区间为[0,+")

(2)(-oo,-4]o[4,+00)

(3)[0,1]

【解析】

(2X%>0

【分析】(1)根据函数/>0)='2_,即可画出对应的图象，从而求解.

(2)利用指数函数的单调性可求解不等式2恸>16=24.从而求解

(3)由/(X)»/—Q+1恒成立，即得/⑴加//―a+L结合⑴中结论即可求解.

【小问1详解】

x>0一

,从而可圆出图象如下:

x<0

当x<0时，/(%)=2-*>2°=1且单调递减，当行0时，/(力=292°=1且单调递增,

所以/(%)的值域为[L+8),单调递减区间为(-8,0],单调递增区间为[0,+“).

【小问2详解】

由2园>16-即2禺>24>

可得国之4,即尤24或xW-4.

所以该不等式的解集为(—8,-4]o[4,+o>).

【小问3详解】

由/(x)>a2一。+1恒成立，即>cr-a+1,

又所以/―a+l<l，解得OWaWl.

所以a的取值范围为[0,1].

18.在平面直角坐标系xQy中，角a和角£的顶点均与坐标原点。重合，始边均为无轴的非负半轴，终边

3

分别与单位圆交于尸，。两点，若尸，。两点关于y轴对称，点尸位于第一象限，横坐标为手

(1)求cos(cr—/?)的值；

sinf—+6/^1-cosf—+

(2)求(2J(2J的值.

sin(—a)+cos(〃一6)

7

【答案】(1)—

25

(2)-7

【解析】

【分析】(1)由三角函数的定义结合两角和与差的余弦公式可解；

(2)利用诱导公式化简，再结合(1)的结果可求.

【小问1详解】

依题意知，点尸的坐标为点Q的坐标为

3434

所以cosa=1,sin«=cos)3=-—,sin,

所以cos(a-B)=cosacos〃+sintzsin/3

【小问2详解】

sinI—+arj-cosI—+/?j—+—

【2)【2)cosa+sm£55

----------------------------------------=-----------------------=------------=—/.

sin(-a)+cos(乃一夕)-sina-cos_43

-55

19.已知函数/(x)=Gsinoxcosox+cos?。》—g,其中0<2.从条件①、条件②、条件③中选择

一个条件，解决下列问题.

(1)求。的值；

(2)求Ax)的单调递增区间；

(3)若存在％e[0，m]，使得/■(%)=一1，求实数机的取值范围.

条件①：/(^)=1;

条件②：/(—)=0；

条件③：/(*+兀)=/(光).

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)啰=1;

7171、

(2)[----1-7171,—+n;i](neZ)；

36

271

(3)丁+8).

【解析】

【分析】(1)利用二倍角公式、辅助角公式化简函数/(%),再分别选择条件结合正弦函数性质求出①.

(2)利用(1)的结论，利用正弦函数单调性求出递增区间即得.

(3)求出相位的范围，再求出/(%)=-1时的相位，列出不等式求解即得.

【小问1详解】

、石.\、1+cos2a)x1

f(x)=v3sincoxcosox+cos2cox——=——sin2a)xH-------------------

2222

=sinlox+；cos2a)x=sin(2s+.，

选条件①，有sin(巴。+至)=1,则工。+“二巴+24兀，即口=1+6左(左£Z),

36362

而0〈口＜2,所以啰=1.

选条件②，有sin(2G+^)=。，则2口+乌=左兀，即口=一,+£4,左wZ,

666655

而0＜口＜2,所以69=1.

选条件③，显然兀是〃%)的周期，设了(%)的最小正周期为T,则兀=左7(左WN*),

9jr

于是兀=左----，即有力=左，左wN*,而0＜口＜2,所以“＞=1.

2G

【小问2详解】

JT

由(1)得/(x)=sin(2%+—),

6

兀70707C7C

由---F2HTI＜2X-\-—＜——F2〃兀，MGZ,得----——\-rut,neZ,

26236

TTjr

所以f(x)的单调递增区间是[——+mi,-+n7i](neZ).

36

【小问3详解】

当工时，2%+工£[4,2加+乌],

666

JTJT

当/(毛)=—1时，2%o—――+2koMk°eZ),

TT37r27r

由王0£[0,词，/(%)=—1,得2m+—2—，解得加2——,

623

所以实数机的取值范围是[g,+8).

20.2023年9月23日第十九届亚运会在杭州开幕，本届亚运会吉祥物是“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.某商家成

套出售吉祥物挂件，通过对销售情况统计发现：在某个月内(按30天计)，每套吉祥物挂件的日销售价格

了(无)(单位：元)与第x天°WxW30,xeN)的函数关系满足〃力=30+幺(左为常数，且左>0),

(1)求人的值；

(2)根据上表中的数据，若用函数模型g(x)=a|x-同+》来描述该月日销售量g(x)与第x天的变化关

系，求函数g(x)的解析式；

(3)利用⑵中的结论，求"(x)的最小值.

【答案】(D左=30

(2)g(x)=|x-20|+645,l<x<30,xeN.

(3)20280元

【解析】

【分析】(1)将x=15,y=32代入/(力=30+工，即可求得答案；

(2)结合表格中数据确定相的值，再解方程，即可求得答案；

(3)求出"(x)的表达式，讨论尤的取值范围，结合函数单调性以及基本不等式，即可求得答案.

【小问1详解】

由题意得/。5)=32,所以30+[=32,解得左=30.

【小问2详解】

根据表中数据以及g(x)=a|x-m|+b,可知a>0,当x=/篦时，g(x)取得最小值；

根据表中数据可得%=20,g(20)=645,

由g(20)=645,g(25)=650得，a=l,b=645,

所以g(x)=|x-20|+645,其中1W%W3O,xeN.

【小问3详解】

由⑴(2)可知”(x)=/(x)g(x)=[30+¥)|x-20|+645),1<%<30,xeN,

当1WxW20时，M(x)=3011H—](—x+665)=301-------x+6641，

可知M(x)在1W尤W20,xeN时随着x的增大而减小，

所以当1WXW20时M(x)的最小值为M(20)=20317.5；

当20<x<30时，〃(x)=3011+：](x+625)=301卓+x+626)

因为些+x22)些-x=50,当且仅当尤=25时，等号成立，

xVx

所以当20<x<30时”(%)的最小值为“(25)=20280,

综上所述，当x=25时，该月日销售收入的最小值为20280元.

21.设〃eN*，若非空集合A，B,C同时满足以下4个条件，则称A,B,C是“"-无和划分”：

②AcB=0,BC=0,AcC=0；

③leA，且C中的最小元素大于8中的最小元素；

@VxeA,y^B,zeC,必有x+y0C,y+z^A,z+x^B.

⑴若A={1,3},B={2,4},C={5,6},判断A,B,C是否是“6-无和划分”，并说明理由.

(2)已知A,B,C是“〃一无和划分”(n24).

(i)证明：对于任意加，k&C(m<k),都有左一机wl；

(ii)若存在i,jeC,使得/=，+2,记O=证明：◎中的所有奇数都属于A

(考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效)

【答案】21.不是，理由见解析

22.(i)证明见解析；(ii)证明见解析

【解析】

【分析】（1）可取leA,4GB,1+4=5GC从而可求解.

（2）（i）利用假设法存在加，k&C（m<k）,使得左—加=1,根据题意证得假设不成立，从而求解；（ii）

利用A,B,C是“〃-无和划分”，分别设出存在，"且/=，+2,且最小值设为力，然后分类讨论不同

的"一,情况，从而可求解.

【