高中数学新题型汇编（一）（含解析）

高中数学新题型汇编(一)

K(I)已知函数：/(x)=2"T(x"+a)—*+4)",。70,+00),〃€叱)求函数/(幻的最小值;

(II)证明:"马”(a>O,b>O,”eN*)：

22

(IH)定理:若2M3ak均为正数，则有《+4'+"；++"："4+%+%++处)"成立

kk

(其中AN2,AwN*,攵为常数).请你构造一个函数g(x),证明：

当4+1均为正数时，4士.2(色马.丁&+卬)”.

上+1Z+1

解：(I)4,f\x)=2n-'nr71-1-n(a+x)w-1=0(2x)n­,=(a+x)w-1.\2x=a+x:.x=a…2分

当OWxKa时，2x<x^a:.f\x)<0故/(x)在[0,a]上递减.

当x>aJ'a)>0故/(x)在(％的上递增.所以，当％=。时,/(%)的最小值为/(〃)=0.….4分

(II)由人>0,有/S)N/(a)=O即/S)=2'i(a"+〃)一(a+与〃之()

故-(a>0,0>0,〃eN*).................................5分

(III)证明:要证：+“3w(q+"2+%++.)"

Z+1k+\

只要证：(2+1)"i(a；+a：+a；++4\)之(q+。2+。3++4+1)"

设g(x)=(2+l)"T(a；+堵+&'++x")-(q+%+生++工)”..............7分

则S(X)=(左+1严•tvcn~l-"(q+。2++4+X)"T

令g'(x)=O得x=%+%++4..........................................8分

k

当0<x<%>生+~时，g'(x)=n[(kx+x]w-1-九(q+a,++4+x)n~l

k

<i+?++4+x)〃i一"(4+出++4+X)〃T=0

故g(x)在［0,'4+%++4］上递减,类似地可证g(x)在产+%++怎,+00)递增

kk

所以当X='4+%++4时,g(x)的最小值为g(A+4++%)..........［0分

kk

而g(4+%++&)=伙+l)”a；+《+.+d+(4+"#+为)"]-(4+a,++为+%+%++&).

kkk

1+1丫1

二———伙”(。；+《+…+a?)+(q+%+.+a*)〃一(攵+l)(q+%+…+4)〃]

K

二伙）—伙"（〃：+4++《）-%（〃]+a2+?—伙""（《+4'++《）-（4+〃2++〃J]

KK

由定理知：”++堤）一（4+°,++%）”20故g（q+/++生）20

k

—e10,+00）g（ak+l）>g}+%；,,+.）>0

K

故（％+1）"1（a：+a；+a；++a2]）2（4+4+4++4+i）”

即.《+《+&'+'+41.产+%+43++4+iy，]4分

k+1一女+1....................

2、用类比推理的方法填表

等差数列｛q｝中等比数列｛2｝中

%=%+d仄=b2•4

。3+。4=。2+a50・〃=b2»b5

4+4+。3+。4+。5=56

答案：b,»b2•by*bA»b5=by

3、10.定义一种运算“*”：对于自然数"满足以下运算性质：

(i)1*1=1,(ii)(n+1)*1=〃*1+1,则〃*1等于

A.nB.n+1C.n~\D.n2答案：D

4、若/(n)为〃2+1(〃6叱)：)的各位数字之和，如：142+1=197,1+9+7=17,则

/(14)=17；记力(〃)=/(«),/,(«)=/(1(")),…，加⑺=/(人(〃)),keN*,则源8⑻=—

答案：5

5、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面。

(1)请画出四棱锥S-ABCD的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出

证明；如果不存在，请说明理由；

(2)若SA_L面ABCD,E为AB中点，求二面角E-SC-D的大小；

(3)求点D到面SEC的距离。

(1)存在一条侧棱垂直于底面(如图)............3分

证明：SA±AB,SA±AD,且AB、AD是面ABCD内的交线.•.SA_L底面

ABCD................................5分

(2)分别取SC、SD的中点G、F,连GE、GF、FA,

贝GF//EA,GF=EA,；.AF//EG

而由SAJ.面ABCD得SA1CD,

XAD1CD,.♦.CD_L面SAD,CDLAF

又SA=AD,F是中点，.•.A/?_LS£>

人/上面SCD,EGJ_面SCD,/.面55。_1面SCD

所以二面角E-SC-D的大小为90°................10分

(3)作DH_LSC于H,

•••面SEC_L面SCD,.'.DH_L面SEC,

，DH之长即为点D到面SEC的距离，12分

SDDC=叵a.a=瓜&

•.•在RtASCD中,DH

SC6a3

答：点D到面SEC的距离为坐a.....................................14分

6,一个计算装置有一个入口A和一输出运算结果的出口B,将自然数列中的各

数依次输入A口，从B口得到输出的数列｛q｝,结果表明：①从A口输入〃=1时，从B

口得4=g;②当”22时，从A口输入〃，从B口得到的结果a.是将前一结果4T先乘

以自然数列｛科中的第〃一1个奇数，再除以自然数列｛a,,｝中的第〃+1个奇数。试问：

(1)从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？

(2)从A口输入100时，从B口得到什么数？并说明理由.

解(1)a,=qxl+5=cij=a,x3+7=

(2)先用累乖法得见=--------------(〃wN*)

"(In-1)(2“+1)

]________________1

得4oo

(2x100-1)(2x100+1)-39999

7、中,8(—2,0),C(2,0),A(x,y),给出AABC满足的条件，就能得到动点A

的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：

条件方程

①△A8C周长为10C,：>2=25

C/+,2=4（"0）

②△ABC面积为102：

2,2

③△ABC中，ZA=90°。3：亍+方=1（yn。）

则满足条件①、②、③的轨迹方程分别为(用代号G、。2、。3填入)

答案：C3C)C2

8、已知两个函数/(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表.

X123X123

f（x）231g（x）132

填写下列成/(x)]的表格，其三个数依次为

X123

g（f（x））

A.3,1,2B.2,1,3C.1,2,3D.3,2,1

答案：D

9、在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“㊉”如下：

当时，。㊉〃=Q;

当avb时，a®b=b2o

则函数/(x)=(l㊉x)・x-(2㊉x)(xe[—2,4)的最大值等于(C)

(“•”和“一”仍为通常的乘法和减法)A.-1B.1C.6D.12

10、已知xeR,Lx]表示不大于x的最大整数，如[汨=3,[―g]=—1,[g]=0,则

[-V3]=；使[x-1]=3成立的x的取值范围是答案：2

11、为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线y=x上”这个课题，我们可以

分三步进行研究：

（I）首先选取如下函数：

y=2x+1,y=2',y=7x+1

x+1

求出以上函数图象与其反函数图象的交点坐标：

x—1

y=2x+l与其反函数丁=亍的交点坐标为（-1,-1）

2rx

y=------与其反函数y=------的交点坐标为（0,0）,（1,1）

x+12-x

旷=一小1与其反函数,=一-1,（%40）的交点坐标为（\5,上一），（一

1,0）,（0,-1）

（II）观察分析上述结果得到研究结论；

（Ill）对得到的结论进行证明。

现在，请你完成（II）和（III）。

解：（II）原函数图象与其反函数图象的交点不一定在直线y=x上2分

（III）证明：设点（a,b）是/（x）的图象与其反函数图象的任一交点，由于原函数与

反函数图象关于直线y=x对称，则点（b,a）也是/（x）的图象与其反函数图象的交点，

且有

h=f（a）,a=f（b）

若a=b时，交点显然在直线》=兀上

若a<b且/"）是增函数时，有/（。）</（编，从而有b<a,矛盾：若b<a且/*）是

增函数时，有/（。）</（力，从而有a<b,矛盾

若a<b且/（X）是减函数，有/（。）</3）,从而a<b成立，此时交点不在直线y=x

上；同理，b<a且/（幻是减函数时，交点也不在直线y=x上。

综上所述，如果函数/（x）是增函数，并且/（无）的图象与其反函数的图象有交点，则

交点一定在直线丁=x上；

如果函数/（X）是减函数，并且/（X）的图象与其反函数的图象有交点，则交点不一定

在直线y=x上。14分

12、设M是由满足下列条件的函数/（x）构成的集合：“①方程/（x）—x=0有实数根；②

函数/（x）的导数/'（X）满足0</'（x）<1.”

XQinr

(I)判断函数/(x)=]+受是否是集合M中的元素，并说明理由；

(H)集合M中的元素/(X)具有下面的性质：若/(X)的定义域为D,则对于任意

[m,n]cD,都存在n],使得等式/(〃)-/O)=(〃一加)/'(%)成立”,

试用这一性质证明：方程/(x)-x=0只有一个实数根；

(III)设不是方程/(幻-x=0的实数根，求证：对于/(幻定义域中任意的

X2，七,当|尤2-X]|<1,且|当-玉1<1时，1/(》3)-/(》2)1<2.

解：(1)因为/'(x)=g+/cosx,.......2分

13

所以/'(X)e[-,-]满足条件0<f'(x)<1,............3分

又因为当x=0时，/(0)=0,所以方程/(x)—x=0有实数根0.

X«inV

所以函数/(幻=]+变是集合M中的元素........4分

(2)假设方程/(x)-x=0存在两个实数根a，B(a±0),

则/(«)一a=0,/(/?)-户=0,.....5分不妨设a</3,根据题意存在数ce(a,4),

使得等式以B)-/(«)=于-a)/'(c)成立，................7分

因为/(a)=a,/(尸)=尸,且。力力，所以/'(c)=l,

与已知0</'(幻<1矛盾，所以方程/a)—x=0只有一个实数根；.......9分

(3)不妨设无2<与，因为/(尤)>0,所以/(幻为增函数，所以/(/)</(当)，

又因为/'(x)—1<0,所以函数/(x)—x为减函数，............10分

所以/(/)一/>/(七)一七,........11分

所以0<。尤3)一f(丁)<%3一尤2，即1/(%3)一f(W)IV)一为I，........12分

所以1/(%3)一/(%2)1<1]3一巧HE-七一(%-玉)W%3一再1+1%-的|<2.

....................13分

13、在算式“2XD+1XD=3O”的两个口中，分别填入两个自然数，使它们的倒数之和最

小，则这两个数应分别为和.答案：9,12.

14、如图为一几何体的的展开图，其中ABCD是边长

为6的正方形，SD=PD=6,CR=SC,AQ=AP,点S,

D,A,Q及P,D,C,R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，

使P,Q,R,S四点重合，则需要个这样的

几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体。答案：3

15、用水清洗一堆蔬菜上残留的农药的效果假定如下：用x单位量的水清洗一次以后，蔬

菜上残留的农药量与这次清洗前残留的农药量之牛为=

(I)试解释)(0)的实际意义;

(II)现有a(a>0)单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两

次.哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药比较少？请说明理由.

答案：解：(I)/(0)=1.表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量没有变化..........2'

(II)设清洗前蔬菜上的农药量为1,那么用a单位量的水清洗1次后.残留的农药量

为W|=lXf(°)=—......................................................4'

1+

又如果用应单位量的水清洗i次，残留的农药量为ix/(巴)=—?—,

221+(少

此后再用3单位量的水清洗1次后，残留的农药量为

2

__16

12......................8'

16_a2g2-8)

由于卬|一电=----不..................9'

1+/(4+昌2-(l+a2)(4+a2)2

故当。>2痣时，此时，把。单位量的水平均分成2份后，清洗两次，残留的

农药量较少；当a=2a时，W产生，此时，两种清洗方式效果相同；当a<2a时，卬/电，

此时，把。单位量的水清洗一次，残留的农药量较少.....................12'

16、直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f(x)的图象恰好通过k(k

GN*)个格点，则称函数f(x)为k阶格点函数。下列函数：

①f(x)=sinx；②f(x)=n(x—1)2+3；③/(x)=(g)’；®fM=log06x,

其中是一阶格点函数的有.答案：①②④

17、一水池有2个进水口，1个出水口，一个口进出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,

该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口)，给出以下3个论断：

(1)0点到3点只进水不出水；(2)3点到4点不进水只出水；(3)4点到6点不进水不

出水。则一定不确定的论断是(把你认为是符合题意的论断序号都填上)。

答案：(2)(3)

18、已知等比数列｛%｝的前〃项和为S”

(1)若5“，Sm+2,S“,+i成等差数列，证明%,am+2,%,+i成等差数列；

(II)写出(I)的逆命题，判断它的真伪，并给出证明.

12(I)•—+Sm+2-S/n+a〃?+l

由已知2Sm+Z=Sm+Sm+l,••2(S,〃+1+斯?+2)=Sm+(S/〃+，

♦,.am+2=—即数列｛%｝的公比q=~\-

••dtn+\~~5%”+2==W。/〃,••2。〃]+2==〃切+。m+1,••dm9。5+2，成等差数列.

(H)(1)的逆命题是：若丽，而+2,而+1成等差数列，则S”，Si,Sm+l成等差数列.

设数列｛〃〃｝的公比为q,丁丽+1=。皿即+2=。〃q2.

由题设，24,“+2=%+%+1,即2aHi炉=%+%闯，即物?—g—i=o,.•.q=i或〃=一；.

当g=l时，AWO,S,“+2,S“+i不成等差数列.

逆命题为假.

19、2005年底，某地区经济调查队对本地区居民收入情况进行抽样调查，抽取1000户，按

本地区确定的标准，情况如右表:

高收入中等收入低收入

本地区在“十一五”规划中明确

125户400户475户

提出要缩小贫富差距,到2010年

要实现一个美好的愿景，由右边圆图显示，则中等收入家庭的数

量在原有的基础要增加的百分比和低收入家庭的数量在原有的基

础要降低的百分比分别为(B)

A.25%,27.5%B.62.5%,57.9%C.25%,57.9%D.62.5%,42.1%

20、一个三位数Me称为''凹数"，如果该三位数同时满足人且匕＜c,那么所有不同的

三位”凹数"的个数是.

答案：三位“凹数”可分两类：一类是aba,共有C：o=45,另一类是abc,aWc,共有

2c=240,故共有45+240=285个

21、定义运算a'=ad-he,若复数了=---,y=",则y=___。答案：-4

cd3+i1+ix+i

22、从装有〃+l个球(其中〃个白球，1个黑球)的口袋中取出m个球(0<6工力,〃2,九£N),

共有C3种取法。在这C*种取法中，可以分成两类：一类是取出的机个球全部为白球，

共有c°・C7+c：yF=c：♦c：j即有等式：c：+a-=CM成立。试根据上述思想化

简下列式子：C；+C>C；i+C>C：2+…+c>C7k=o

(1<k<m<n,k,m,neN)o

答案：CM根据题中的信息，可以把左边的式子归纳为从〃+上个球(n个白球，k个黑

球)中取出m个球，可分为：没有黑球，一个黑球，……，k个黑球等仅+1)类，故有C，

种取法。

一八x(x<y)…1

23、定义运算^※丫二^,若|m—l|Xm=|m-1|,则m的取值范围是___________m>—

J(X>y)2

24、在公差为d(dwO)的等差数列｛4.｝中，若S“是｛”,｝的前〃项和，则数列

S20-SsS30-S20，S40-S30也成等差数列，且公差为1004,类比上述结论，相应地在公

比为q(q#l)的等比数列也｝中，若T,是数列仇｝的前〃项积，则有=

五,冬,五也成等比数列，且公比为,no。

丁10^20^30

23+53>22-5+2-52

24+54>23-5+2-53

25、考察下列一组不等式：55II将上述不等式在左右两端仍为两

V-+5?>22.52+2,-52

项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为

a",+n+优>">a'"b"+a"b"'(a,b>0,a^h,m,n>0)

26、对任意实数x,y,定义运算x*y=ax+Z?y+cxy,其中a,。,c为常数，等号右边的运

算是通常意义的加、乘运算。现己知1*2=4,2*3=6,且有一个非零实数加，使得对任

意实数x,都有x*m=x,则机=5。

27、对于任意实数X,符号[X]表示x的整数部分，即[X]是不超过x的最大整数”。在实数

轴R（箭头向右）上[x]是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时[x]就是X。这个

函数[X]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。那么

[log2l]+[10g22]+[log23]+[log24]+…+[log21024]=8204

28、我国男足运动员转会至海外俱乐部常会成为体育媒体关注的热点新闻。05年8月，在

上海申花俱乐部队员杜威确认转会至苏超凯尔特人俱乐部之前，各种媒体就两俱乐部对于杜

威的转会费协商过程纷纷“爆料”：

媒体A："……,凯尔特人俱乐部出价已从80万英镑提高到了120万欧元

媒体B："……，凯尔特人俱乐部出价从120万欧元提高到了100万美元，同

时增加了不少附加条件。”

媒体C："……，凯尔特人俱乐部出价从130万美元提高到了120万欧元。”

请根据表中提供的汇率信息（由于短时间内国际货币的汇率变化不大，我们假定比值为

定值），我们可以发现只有媒体C（填入媒体的字母编号）的报道真实性强一些。

汇率

欧元兑美元bl.19

英镑兑欧元1:1.52

29、已知二次函数/（%）=/一℃+乩江/?）同时满足：①不等式/（无心0的解集有且只

有一个元素；②在定义域内存在0＜项＜/，使得不等式/（七）＞/（乙）成立。

设数列｛。“｝的前n项和S“=/（n）,

（1）求数列｛%｝的通项公式;

（2）试构造一个数列也｝,（写出也,｝的一个通项公式）满足：对任意的正整数〃都有

bn<an,且lim3=2,并说明理由;

n->oob

(3)设各项均不为零的数列｛%｝中，所有满足c「c阳<0的正整数i的个数称为这个数

列｛4｝的变号数。令g=1-幺(兀为正整数)，求数列｛c,,｝的变号数。

解：(1)♦.•/(》)<0的解集有且只有一个元素，二八=/-44=00。=0或。=4,

当。=0时，函数/(x)=/在(0,长。)上递增，故不存在0<为<%,使得不等式

/(*)>/(々)成立。

当a=4时，函数/(x)=x2—4x+4在(0,2)上递减，故存在0<玉<々，使得不

等式/(当)>/(%2)成立.

22

综上，得a=4,/(x)=JC-4x+4,Sn-n-4n+4,

In=l

：•4二S

■'i|2n-5,n>2

(2)要使lim?=2,可构造数列a=〃一3•.•对任意的正整数〃都有a<a.，

"->8h

n

.•.当“22时，〃一女<2〃一5恒成立，即〃>5—攵恒成立，即5—Z<2=左>3,

*3

又b“手0,：.k史N,••.〃,=〃一一，等等。

2

—3,〃=1

(3)解法一：由题设％=<

〃23时,>0,An>3H'f,数

2〃-5-2〃-3一(2〃-512〃-3)

列｛，“｝递增，

14

・.・。4=一一<0，由1------->0=>«>5,可知。「。5<0，即〃23时，有且

32〃一5

只有1个变号数；

又•:.=-3,c2=5,c3=-3,即cl-c2<0,c2•c3<0,/.此处变号数有2个。

综上得数列｛cj共有3个变号数，即变号数为3。

—3,H=1

解法二：由题设%=<

72>2时，令

八2n-92n-7八35T79i/

c•<0=>-----------------<0=>—<«<一或一<n<—=>n=2或〃=4；

n"2n-52/7-32222

又=—3,c2=5,・\〃=1时也有仇,c2<00

综上得数列｛%｝共有3个变号数，即变号数为3。

30、在R上定义运算△:xAy=x(l-y)若不等式(x-a)4(x+a)<l,对任意实数x恒成立，则

13

实数a的取值范围是(-上,1)

22

22

31、已知x、y之间满足3+京=1(8>0)

22

(1)方程?+方=1">0)表示的曲线经过一点求匕的值

22

(2)动点(x,y)在曲线二+与=1(8>0)上变化，求/+2y的最大值;

4及

r2V2

(3)由1+%=>0)能否确定一个函数关系式y=f(x)如能，求解析式;如不能,

再加什么条件就可使x、y之间建立函数关系，并求出解析式。

屋1

解：(1):+斤=1(。〉0)二/?=1(4分)

22/：

(2)根据?+为=19>0)得f=41-2(5分)

7

.」+尸(-峭+2b2,、

2412y=-4+—+4(-«yWb)(7分)

当幺2阴寸，即匕24时(Y+2))=2/7+4

4\，/max

当,4胡寸，g|J0</?<4时一(x2+2y)、=彳+4

2b+4,(b>4)

.".(x2+2y)=\2(10分)

、(h+4，(04b<4)

(2)不能(11分)

如再加条件xy<0就可使x、y之间建立函数关系(12分)

(14分)

（不唯一，也可其它答案）

32、用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板。随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使

得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的▲（%eN*）。已知一个铁钉受击3次后全部

k

进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长_度是钉长的上4，请从这个实事中提炼

7

44,

出一个不等式组是77k

444,

177k1k2

33已知P={A|1<X<9,X£N},记f(a,bcd)=ab-cd,(其中c,dGP),例如:

7(123,4)=

=1x2—3x4=-10。设〃，匕£尸，且满足了(〃,匕羽丁)=39和/'(%,丁,天#)=66,

则有序数组

+-v)=27u+x=9,y-v=3'

是（8,6,1,9）。\=><

+v)=105

u—x=l,y+v=15>

34、（12'=9'+3'）（理）设P表示幕函数y=x『-5c+6在（ay。）上是增函数的。的集合；

。表示不等式卜―1|+,一2d>1对任意xwR恒成立的c的集合。（1）求PcQ；（2）

试写出一个解集为PcQ的不等式。

（文）设P表示累函数）二V口会在（ay。）上是增函数的，的集合；。表示不等式

卜―l|+|x—420对任意》67?恒成立的,的集合。（1）求PDQ；（2）试写出一个解集为

PDQ的不等式。

解：（理）（1）；暴函数y=--5*在（0,物）上是增函数，c?—5c+6>0,即

尸=（一oo,2）D（3,+oo）,

又不等式|x—l|+|x—2c]>l对任意xeH恒成立，A|2c-l|>l,即

2=(-OO,0)U(1,-KO),

.•.Pne=(-oo,0)u(l,2)u(3,4oo)。产、/>

(2)一个解集为PcQ的不等式可以是MX-1XX-2)(X-3)>0。

(文)(1)•••幕函数y=£3+8在(。，物)上是增函数，。2_6。+8>0,即

尸=(—oo,2)D(4,+<x>),

又不等式卜―1|+除一42。对任意xeR恒成立，Ac<3,即

Q=(-oo,3],

/.PU<2=(-00,3]U(4,+00)o

(2)一个解集为PUQ的不等式可以是三NO。

35、(理)已知/(1)=42%一3％3,*6(_2,2),4为正常数。

(1)可以证明：定理'‘若a、b&R+,则竺々NJ茄(当且仅当时取等号)”

2

推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论(无需证明)；

(2)若/(x)>0在(0,2)上恒成立，且函数/(x)的最大值大于1,求实数a的取值范

围，并由此猜测y=/(x)的单调性(无需证明)；

(3)对满足(2)的条件的一个常数。，设x=$时，/(x)取得最大值。试构造一个

定义在。={4¥>—2,且/04左一2,%€77}上的函数8(6,使当xe(—2,2)时，

g(x)=/(x),当xeOll寸，g(x)取得最大值的自变量的值构成以玉为首项的等差数

列。

解：(1)若。、b、CGR‘，则“+"匕加无(当且仅当a=b=c时取等号)。

3

(2)/(x)=/x—=彳/一：》2)>0在(0,2)上恒成立，即/>^必在(0,2)

上恒成立，

,/1x2G(0,2),Aa2>2,即aN收，

又•:

3

/、/、x2a2——x2j+[<72——x2

[4）『=斗2f2卜2T2卜」一^-P—J

x2=