高考数学理北师大版一轮复习测评2-8函数与方程

核心素养测评十一函数与方程(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数f(x)=2xQUOTEa的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是()A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)【解析】选C.因为f(x)在(0,+∞)上是增函数,则由题意得f(1)·f(2)=(0a)(3a)<0,解得0<a<3.2.已知函数f(x)=QUOTElog3x,若实数x0是方程f(x)=0的解,且x0<x1,则f(x1)的值 ()A.恒为负 B.等于零C.恒为正 D.不大于零【解析】选A.由于函数f(x)=QUOTElog3x在定义域内是减函数,于是,若f(x0)=0,当x0<x1时,一定有f(x1)<0.3.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数fQUOTE=QUOTEgQUOTE=fQUOTE+x+a,若gQUOTE存在2个零点,则a的取值范围是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即y=f(x)与y=xa有两个交点,图像如下:要使得y=xa与f(x)有两个交点,则有a≤1即a≥1.4.(2020·福州模拟)已知f(x)=QUOTE则方程f(f(x))=3的根的个数是 ()A.6 B.5 C.4 D.3【解析】选B.令f(x)=t,则方程f(f(x))=3即为f(t)=3,解得t=e3或e3,作出函数f(x)的图像(图略),由图像可知方程f(x)=e3有3个解,f(x)=e3有2个解,则方程f(f(x))=3有5个实根.5.已知a,b,c,d都是常数,a>b,c>d.若f(x)=2020(xa)(xb)的零点为c,d,则下列不等式正确的是 导学号()A.a>c>b>d B.a>b>c>dC.c>d>a>b D.c>a>b>d【解析】选D.f(x)=2020(xa)(xb)=x2+(a+b)xab+2020,又f(a)=f(b)=2020,c,d为函数f(x)的零点,且a>b,c>d,所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图像,如图所示,由图可知c>a>b>d.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)=cosQUOTE在QUOTE上的零点个数为________________.

【解析】令f(x)=cosQUOTE=0,得3x+QUOTE=QUOTE+kπ(k∈Z),即x=QUOTE+QUOTEkπ,当k=0时,x=QUOTE∈[0,π],当k=1时,x=QUOTE∈[0,π],当k=2时,x=QUOTE∈[0,π],所以f(x)=cosQUOTE在[0,π]上零点的个数为3.答案:37.已知函数f(x)=QUOTE若函数g(x)=f(x)m有3个零点,则实数m的取值范围是________________.

【解析】函数g(x)=f(x)m有3个零点,转化为f(x)m=0的根有3个,进而转化为y=f(x),y=m的交点有3个.画出函数y=f(x)的图像,则直线y=m与其有3个公共点.又抛物线的顶点为(1,1),由图可知实数m的取值范围是(0,1).答案:(0,1)8.设函数y=x3与y=QUOTE的图像的交点为(x0,y0),若x0∈(n,n+1),n∈N,则x0所在的区间是________________. 导学号

【解析】设f(x)=x3QUOTE,则x0是函数f(x)的零点,在同一平面直角坐标系下作出函数y=x3与y=QUOTE的图像如图所示.因为f(1)=1QUOTE=1<0,f(2)=8QUOTE=7>0,所以f(1)·f(2)<0,所以x0∈(1,2).答案:(1,2)三、解答题(每小题10分,共20分)9.设函数f(x)=QUOTE(x>0).(1)作出函数f(x)的图像.(2)当0<a<b,且f(a)=f(b)时,求QUOTE+QUOTE的值.(3)若方程f(x)=m有两个不相等的正根,求m的取值范围.【解析】(1)如图所示.(2)因为f(x)=QUOTE=QUOTE故f(x)在(0,1]上是减函数,而在(1,+∞)上是增函数.由0<a<b且f(a)=f(b),得0<a<1<b,且QUOTE1=1QUOTE,所以QUOTE+QUOTE=2.(3)由函数f(x)的图像可知,当0<m<1时,函数f(x)的图像与直线y=m有两个不同的交点,即方程f(x)=m有两个不相等的正根.10.已知二次函数f(x)=x2+(2a1)x+12a,(1)判断命题:“对于任意的a∈R,方程f(x)=1必有实数根”的真假,并写出判断过程.(2)若y=f(x)在区间(1,0)及QUOTE内各有一个零点,求实数a的取值范围. 导学号【解析】(1)“对于任意的a∈R,方程f(x)=1必有实数根”是真命题.依题意,f(x)=1有实根,即x2+(2a1)x2a=0有实根,因为Δ=(2a1)2+8a=(2a+1)2≥0对于任意的a∈R恒成立,即x2+(2a1)x2a=0必有实根,从而f(x)=1必有实根.(2)依题意,要使y=f(x)在区间(1,0)及QUOTE内各有一个零点,只需QUOTE即QUOTE解得QUOTE<a<QUOTE.故实数a的取值范围为QUOTE.(15分钟35分)1.(5分)函数f(x)=(x+1)lnx1的零点有 ()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【解析】选B.由f(x)=(x+1)lnx1=0,得lnx=QUOTE,作出函数y=lnx,y=QUOTE的图像如图,由图像可知交点个数为1,即函数的零点个数为1.2.(5分)(2019·郑州模拟)设m∈N,若函数f(x)=2xmQUOTE+10存在整数零点,则符合条件的m的取值个数为 ()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选C.令f(x)=0,得2x+10=mQUOTE,则有5≤x≤10,因为m∈N,x∈Z,所以当m≠0时,QUOTE∈N,所以x可以取1,6,9,10,相对应m的值为4,11,28(其中x=10时m的值不存在),又当m=0,x=5也符合,所以符合条件的m的值共有4个,选C.3.(5分)(2020·黄冈模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)=f(x).当x∈[0,1]时,f(x)=2x1,则函数g(x)=(x2)f(x)1在区间[3,6]上的所有零点之和为 ()导学号A.2 B.4 C.6 D.8【解析】选D.由题意得,f(x+2)=f(x),所以f(x+4)=f(x+2)=f(x),即函数f(x)的周期为4.因为f(x+2)=f(x),所以f(x)的图像关于x=1对称.作出f(x)图像如图所示,函数g(x)=(x2)f(x)1的零点即为y=f(x)图像与y=QUOTE图像的交点的横坐标,四个交点分别关于点(2,0)对称,则x1+x4=4,x2+x3=4,即零点之和为8,故选D.【变式备选】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=a|x2|a,其中a为常数,且a>0.若函数y=f(f(x))有10个零点,则实数a的取值范围是________________.

【解析】当x≥0时,令f(x)=0,得|x2|=1,即x=1或x=3.因为f(x)是偶函数,则f(x)的零点为x=±1和x=±3,作出函数y=f(x)的大致图像如图所示.令f(f(x))=0,则f(x)=±1或f(x)=±3.因为函数y=f(f(x))有10个零点,则函数y=f(x)的图像与直线y=±1和y=±3共有10个交点.由图可知,1<a<3.答案:(1,3)4.(10分)已知函数f(x)=x22x,g(x)=QUOTE(1)求g(f(1))的值.(2)若方程g(f(x))a=0有4个不同的实数根,求实数a的取值范围. 导学号【解析】(1)利用解析式直接求解得g(f(1))=g(3)=3+1=2.(2)令f(x)=t,则原方程化为g(t)=a,易知方程f(x)=t在(∞,1)上有2个不同的解,则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t<1)与y=a的图像有2个不同的交点,作出函数y=g(t)(t<1)的图像如图,由图像可知,当1≤a<QUOTE时,函数y=g(t)(t<1)与y=a有2个不同的交点,即所求a的取值范围是QUOTE.5.(10分)已知函数f(x)=x2+2ex+m1,g(x)=x+QUOTE(x>0).(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围.(2)确定m的取值范围,使得函数F(x)=g(x)f(x)有两个不同的零点. 导学号【解析】(1)因为g(x)=x+QUOTE≥2QUOTE=2e,等号成立的条件是x=e,故g(x)的值域为[2e,+∞),因而只需m≥2e,则g(x)=m就有零点,即m的取值范围为[2e,+∞).(2)函数F(x)=g(x)f(x)有两个不同的零点,即g(x)f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)与f(x)的图像有两个不同的交点,作出g(x)=x+QUOTE(x>0)的图像.因为f(x)=x2+2ex+m1=(xe)2+m1+e2,其对称轴为x=e,开口向下,最大值为m1+e2,故当m1+e2>2e,即m>e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)f(x)=0有两个相异实根.所以m的取值范围是(e2+2e+1,+∞).1.(2019·济南模拟)已知函数f(x)=exex+4,若方程f(x)=kx+4(k>0)有三个不同的实根x1,x2,x3,则x1+x2+x3=________________.

【解析】f(x)=kx+4(k>0),即exex=kx,所以y1=exex与y2=kx有三个不同的交点,且都是奇函数.因此x1+x2+x3=0.答案:02.(2020·嘉兴模拟)已知函数f(x)=|x2k|,x∈[2k1,2k+1](k∈Z),则函数g(x)=f(x)lgx的零点个数是 导学号()A.5 B.7 C.9 D.11【解析】选C.函数g(x)=f(x)lgx的零点转化为y=lgx与y=f(x)的交点,给k赋值,作出函数y=f(x)及y=lgx的图像,从图像上看,共有9个交点,所以函数g(x)的零点共有9个,故选C.【变式备选】函数f(x)的定义域为实数集R,且f(x)=QUOTE对任意的x∈R都有f(x+2)=f(x2).若在区间[5,3]上