7.3万有引力理论的成就高一物理学与练（人教版2019）（原卷版）

7.3万有引力理论的成就学习目标学习目标课程标准学习目标认识万有引力定律的重要意义。1、理解“称量地球质量”的基本思路，了解万有引力定律在天文学上的重要应用。2、理解计算太阳质量的基本思路，能将天体问题中的对象和过程转换成相关模型后进行求解。3、认识万有引力定律的科学成就，体会科学的迷人魅力，进一步认识运动与相互作用观念。002预习导学课前研读课本，梳理基础知识：一、物理量随轨道半径变化的规律二、地球静止轨道卫星的6个“一定”轨道面一定轨道平面与赤道平面共面周期一定与地球自转周期相同，即T＝h角速度一定与地球自转的相同高度一定由Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)得同步卫星离地面的高度h＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))－R≈(恒量)速率一定运行速率v＝eq\r(\f(GM,R＋h))绕行方向一定与地球自转的方向一致三、天体质量和密度的计算方法1“自力更生”法(g－R)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。(1)由Geq\f(Mm,R2)＝mg得天体质量M＝。(2)天体密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝。(3)GM＝gR2称为黄金代换公式。方法2“借助外援”法(T－r)测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得天体的质量M＝。(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝。(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出天体的密度。四、天体表面的重力加速度1．万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝。(2)在两极上：Geq\f(Mm,R2)＝。2．星体表面上的重力加速度(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝Geq\f(Mm,R2)，得g＝eq\f(GM,R2)。(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，由mg′＝eq\f(GMm,R＋h2)，得g′＝eq\f(GM,R＋h2)所以eq\f(g,g′)＝eq\f(R＋h2,R2)。五、星球的瓦解问题当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是赤道上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即eq\f(GMm,R2)＝mω2R，得ω＝eq\r(\f(GM,R3)).当ω>时，星球瓦解，当ω<eq\r(\f(GM,R3))时，星球稳定运行．六、黑洞黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞．当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的eq\r(2)倍)超过光速时，该天体就是黑洞．（二）即时练习：【小试牛刀1】假设在月球表面将物体以某速度竖直上抛，经过时间t物体落回月球表面，物体上升的最大高度为h。已知月球半径为R，引力常量为G，不计一切阻力。则月球的密度为()A.eq\f(3πh,4Rt2)B.eq\f(6πh,GRt2)C.eq\f(6h,GπRt2)D.eq\f(8πh,3GRt2)【小试牛刀2】(多选)如图所示，赤道上空的卫星A距地面高度为R，质量为m的物体B静止在地球表面的赤道上，卫星A绕行方向与地球自转方向相同。已知地球半径也为R，地球自转角速度为ω0，地球的质量为M，引力常量为G。若某时刻卫星A恰在物体B的正上方，下列说法正确的是()A.物体B受到地球的引力为mRωeq\o\al(2,0)B.卫星A的线速度为eq\r(\f(GM,2R))C.卫星A再次到达物体B上方的时间为eq\f(2π,\r(\f(GM,R3))－ω0)D.卫星A与物体B的向心加速度之比为eq\f(GM,4R3ωeq\o\al(2,0))【小试牛刀3】一近地卫星的运行周期为T0，地球的自转周期为T，则地球的平均密度与地球不因自转而瓦解的最小密度之比为()A.eq\f(T0,T)B.eq\f(T,T0)C.eq\f(T02,T2)D.eq\f(T2,T02)003题型精讲【题型一】万有引力与重力的关系【典型例题1】(多选)万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，引力常量为G，将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体。下列说法正确的是()A．在北极地面称量时，弹簧测力计读数为F0＝Geq\f(Mm,R2)B．在赤道地面称量时，弹簧测力计读数为F1＝Geq\f(Mm,R2)C．在北极上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F2＝Geq\f(Mm,R＋h2)D．在赤道上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F3＝Geq\f(Mm,R＋h2)【典型例题2】(多选)2021年5月15日，“天问一号”火星探测器所携带的祝融号火星车及其着陆组合体成功着陆于火星，这标志着我国首次火星探测任务取得圆满成功。假设火星为质量分布均匀的球体，已知火星质量是地球质量的a倍，火星半径是地球半径的b倍，地球表面的重力加速度为g，质量均匀的球壳对其内部物体的引力为零，则()A．火星表面重力加速度为eq\f(ag,b2)B．火星表面重力加速度为eq\f(b2g,a)C．火星表面正下方距表面距离为火星半径eq\f(1,2)处的重力加速度为eq\f(ag,2b2)D．火星表面正下方距表面距离为火星半径eq\f(1,2)处的重力加速度为eq\f(ag,4b2)【对点训练1】某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转的原因，其表面“赤道”处的重力加速度为g1，“极点”处的重力加速度为g2，若已知自转周期为T，则该天体的半径为()A.eq\f(4π2,g1T2) B.eq\f(4π2,g2T2)C.eq\f(g2－g1T2,4π2) D.eq\f(g1＋g2T2,4π2)【对点训练2】2020年12月17日，“嫦娥五号”成功返回，标志着中国全面掌握无人地月往返系列技术。已知地球半径为月球半径的p倍，地球质量为月球质量的q倍。若探测器在地球表面以某一初速度竖直向上射出一物体，忽略空气阻力，其上升的最大高度为h0。忽略星球自转的影响，该探测器在月球表面以相同的初速度竖直向上射出同一物体，其上升的最大高度为()A.eq\f(qh0,p2)B.eq\f(h0p2,q)C.eq\f(h0,qp2) D．qp2h0【题型二】估算问题【典型例题3】(2021·广东高考)2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是()A．核心舱的质量和绕地半径B．核心舱的质量和绕地周期C．核心舱的绕地角速度和绕地周期D．核心舱的绕地线速度和绕地半径【典型例题4】若将北斗导航卫星绕地球的运动近似看成是匀速圆周运动，运行轨道距地面的高度为h，运行周期为T，已知万有引力常量为G，地球半径为R。则地球质量M和地球的平均密度ρ分别为()A．M＝eq\f(4π2R＋h3,GT2)，ρ＝eq\f(3πR＋h3,GT2R3)B．M＝eq\f(4π2R＋h3,GT2)，ρ＝eq\f(6πR＋h3,GT2R3)C．M＝eq\f(4π2R＋h3,3GT2)，ρ＝eq\f(3πR＋h3,GT2R3)D．M＝eq\f(4π2R＋h3,3GT2)，ρ＝eq\f(6πR＋h3,GT2R3)【对点训练3】(2021·全国乙卷)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000AU(太阳到地球的距离为1AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为()A．4×104M B．4×106MC．4×108M D．4×1010M【对点训练4】（多选）“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v。已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响。下列选项正确的是()A.月球平均密度为eq\f(3v2,4πGR2) B.月球平均密度为eq\f(3v2r,4πGR3)C.月球表面重力加速度为eq\f(v2,R) D.月球表面重力加速度为eq\f(v2r,R2)【题型三】对比问题【典型例题5】如图甲所示，太阳系中有一颗“躺着”自转的蓝色“冷行星”——天王星，周围存在着环状物质。假设为了测定环状物质是天王星的组成部分，还是环绕该行星的卫星群，“中国天眼”对其做了精确的观测，发现环状物质线速度的二次方即v2与到行星中心的距离的倒数即r－1关系如图乙所示。已知天王星的半径为r0，引力常量为G，以下说法正确的是()A．环状物质是天王星的组成部分B．天王星的自转周期为eq\f(2πr0,v0)C．v2r－1关系图像的斜率等于天王星的质量D．天王星表面的重力加速度为eq\f(v02,r0)【典型例题6】(多选)(2020·江苏卷，7)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有()A.由v＝eq\r(gR)可知，甲的速度是乙的eq\r(2)倍B.由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍C.由F＝eq\f(GMm,r2)可知，甲的向心力是乙的eq\f(1,4)D.由eq\f(r3,T2)＝k可知，甲的周期是乙的2eq\r(2)倍【对点训练5】(多选)卫星绕某行星做匀速圆周运动的速率的平方(v2)与卫星的轨道半径的倒数(eq\f(1,r))的关系如图所示，图中b为图线纵坐标的最大值，图线的斜率为k，万有引力常量为G，则下列说法正确的是()A.行星的半径为kbB.行星的质量为eq\f(k,G)C.行星的密度为eq\f(3b3,4πGk2)D.行星的第一宇宙速度为eq\r(b)【对点训练6】科幻电影《流浪地球》讲述了这样的故事：太阳即将毁灭，人类在地球上建造出巨大的推进器，使地球经历了停止自转、加速逃逸、匀速滑行、减速入轨等阶段，最后成为比邻星的一颗行星。假设若干年后，地球流浪成功。设比邻星的质量为太阳质量的eq\f(1,4)，地球质量在流浪过程中损失了eq\f(1,4)，地球绕比邻星运行的轨道半径为地球绕太阳运行轨道半径的eq\f(1,2)，则地球绕比邻星运行与绕太阳运行相比较，下列关系正确的是()A.公转周期之比为T比∶T日＝1∶1B.向心加速度之比为a比∶a日＝3∶4C.动能之比为Ek比∶Ek日＝3∶8D.万有引力之比为F比∶F日＝3∶8004体系构建1．重力与万有引力的关系2．天体质量、密度的计算3．对比问题4．地球卫星005记忆清单一、天体质量、密度的计算使用方法已知量利用公式表达式备注质量的计算利用运行天体r、TGeq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)M＝eq\f(4π2r3,GT2)只能得到中心天体的质量r、vGeq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)M＝eq\f(rv2,G)v、TGeq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)M＝eq\f(v3T,2πG)利用天体表面重力加速度g、Rmg＝eq\f(GMm,R2)M＝eq\f(gR2,G)密度的计算利用运行天体r、T、RGeq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)M＝ρ·eq\f(4,3)πR3ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3)当r＝R时ρ＝eq\f(3π,GT2)利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体表面重力加速度g、Rmg＝eq\f(GMm,R2)M＝ρ·eq\f(4,3)πR3ρ＝eq\f(3g,4πGR)二、对比问题1.线速度：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)⇒v＝eq\r(\f(GM,r))2.角速度：Geq\f(Mm,r2)＝mω2r⇒ω＝eq\r(\f(GM,r3))3.周期：Geq\f(Mm,r2)＝m(eq\f(2π,T))2r⇒T＝2πeq\r(\f(r3,GM))4.向心加速度：Geq\f(Mm,r2)＝ma⇒a＝eq\f(GM,r2)结论：r越大，v、ω、a越小，T越大。00601强化训练1．(2020·全国卷Ⅰ，15)火星的质量约为地球质量的eq\f(1,10)，半径约为地球半径的eq\f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为()A.0.2 B.0.4C.2.0 2.将一质量为m的物体分别放在地球的南、北两极点时，该物体的重力均为mg0；将该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg.假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R，已知引力常量为G，则由以上信息可得出()A．g0小于gB．地球的质量为eq\f(gR2,G)C．地球自转的角速度为ω＝eq\r(\f(g0－g,R))D．地球的平均密度为eq\f(3g,4πGR)3.宇航员在某星球上为了探测其自转周期做了如下实验：在该星球两极点，用弹簧秤测得质量为M的砝码所受重力为F，在赤道测得该砝码所受重力为F′。他还发现探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T。假设该星球可视为质量分布均匀的球体，则其自转周期为()A．Teq\r(\a\vs4\al(\f(F′,F))) B．Teq\r(\f(F,F′))C．Teq\r(\a\vs4\al(\f(F－F′,F))) D．Teq\r(\f(F,F－F′))4.我国航空航天技术已居于世界前列。如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ。已知万有引力常量G，下列说法正确的是()A.轨道半径越大，周期越小B.若测得周期和张角，可得到星球的平均密度C.若测得周期和张角，可得到星球的质量D.若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度5.近地卫星绕地球的运动可视为匀速圆周运动，若其轨道半径近似等于地球半径R，运行周期为T，地球质量为M，引力常量为G，则()A.近地卫星绕地球运动的向心加速度大小近似为eq\f(2π2R,T2)B.近地卫星绕地球运动的线速度大小近似为eq\r(\f(R,GM))C.地球表面的重力加速度大小近似为eq\f(M,GR2)D.地球的平均密度近似为eq\f(3π,GT2)6.我国发射的第三十二颗北斗导航卫星属于倾斜地球同步轨道卫星，卫星入轨并完成在轨测试后，将接入北斗卫星导航系统，为用户提供更可靠服务。通过查询，倾斜地球同步轨道卫星是运转轨道面与地球赤道面有夹角的轨道卫星，它的运转周期也是24小时，如图所示，关于该北斗导航卫星说法正确的是()A．该卫星可定位在北京的正上空B．该卫星与地球静止轨道卫星的向心加速度大小是不等的C．该卫星的发射速度v≤7.9km/sD．该卫星的角速度与放在北京地面上物体随地球自转的角速度大小相等7.(多选)我国计划在2030年之前实现飞船载人登月计划，假设你有幸成为登上月球的第一位中国人，如果告知万有引力常量，你可以完成以下哪项工作()A.测出一个石块的质量，以及它在月球表面上方自由下落的高度和时间，求出月球表面上该石块的重力B.测出一个石块在月球表面上方做平抛运动的高度和时间，求出月球的质量C.从月球表面上捡取100块石头，测量它们的质量和体积，求出月球的平均密度D.测出飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期，求出月球的平均密度8．(多选)我国北斗卫星导航系统(BDS)已经开始提供全球服务，具有定位、导航、授时、5G传输等功能。A、B为“北斗”系统中的两颗工作卫星，其中A是高轨道的地球静止同步轨道卫星，B是中轨道卫星。已知地球表面的重力加速度为g，地球的自转周期为T0，下列判断正确的是()A.卫星A可能经过江苏上空B.卫星B可能经过江苏上空C.周期大小TA＝T0＞TBD.向心加速度大小aA＜aB＜g9.我国将于2020年年底前后发射嫦娥五号，实现区域软着陆及采样返回，完成探月工程“绕、落、回”三步走目标。嫦娥五号由轨道器、返回器、着陆器等多个部分组成，其中着陆器将进行月面软着陆，轨道器留在近月轨道绕月飞行。设着陆器月面着陆后以初速v0竖直向上弹射一小物体，小物体上升的最大高度为h，已知月球的半径R，则轨道器环月飞行的速度为()A.v0eq\r(\f(R,2h)) B.v0eq\r(\f(2R,h))C.v0eq\r(\f(2h,R)) D.v0eq\r(\f(h,2R))10．(2020·山东卷，7)我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务。质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程。已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为()A.meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.4g－\f(v0,t0))) B.meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.4g＋\f(v0,t0)))C.meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.2g－\f(v0,t0))) D.meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.2g＋\f(v0,t0)))11．2019年12月7日10时55分，我国在太原卫星发射中心用“快舟一号”甲运载火箭，成功将“吉林一号”高分02B卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，绕地球做匀速圆周运动。已知地球质量为M、引力常量为G，卫星与地心的连线在时间t(小于其运动周期)内扫过的面积为S，则卫星绕地球运动的轨道半径为()A.eq\f(4S2,GMt2) B.eq\f(2S,t\r(GM))C.eq\f(GMt2,4S2) D.eq\f(t\r(GM),2S)12.(多选)2019年1月3日，“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面。着陆前的部分运动过程简化如下：在距月面15km高处绕月做匀速圆周运动，然后减速下降至距月面100m处悬停，再缓慢降落到月面。已知万有引力常量和月球的第一宇宙速度，月球半径约为1.7×103km，由上述条件能估算出()A.月球质量B.月球表面的重力加速度C.探测器在15km高处绕月运动的周期D.探测器悬停时发动机产生的推力13.由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2012年中国十大科技进展新闻，于2013年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破7000米分别排在第一、第二。若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体，地球表面的重力加速度大小为g，引力常量为G。“蛟龙”下潜深度为d，天宫一号轨道距离地面高度为h。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。求：(1)“天宫一号”绕地心转一周的时间是多少？(2)“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度之比为多少？14.(多选)2019年11月我国首颗亚米级高分辨率光学传输型立体测绘卫星高分七号成功发射，高分七号在距地约600