江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学

南京师大附中2023—2024学年度第1学期高一年级期末考试数学试卷班级：__________学号：__________姓名：__________得分：__________注意事项：1.本试卷共4页，包括单项选择题：（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.2.答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸的相应区域内.试题的答案写在答题纸上相应题目的答题区域内.考试结束后，交回答题纸.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1集合，集合，则（）A. B. C. D.2.已知角的终边过点，其中，则的值为（）A. B. C. D.3.设点是正三角形的中心，则向量，，是（）A.共起点的向量 B.模相等的向量 C.共线向量 D.相等向量4.若，则（）A. B. C. D.5.已知是定义在上的偶函数，对任意，且，都有，，则不等式的解集是（）A. B.C. D.6.设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（）A. B.C. D.7.已知定义在上的函数满足，当时，.若对任意，都有，则实数的最大值为（）A. B. C. D.8.已知常数，函数在区间上单调，则不可能等于（）A. B.2 C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若函数满足：①对定义域内的任意，，都有；②当时，，则称为“函数”.下列函数是“函数”的是（）A. B. C. D.10.已知函数满足，则（）A.的最小正周期为 B.的图象关于直线对称C.在区间上单调递增 D.在区间上有两个零点11.已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，.下列命题正确的是（）A. B.是周期为2的周期函数C.直线与图象有且仅有2个交点 D.的值域为12.设，都是定义域为区间的函数，若存在，使得对任意，，都有成立，则称在上相对于满足条件.下列命题正确的是（）A.若，，在区间上相对于满足条件，则的最小值为B.若，，则在区间上相对于满足条件C.设为实数，若，，在区间上相对于满足条件，则的最大值为D.若，，在上相对于满足条件，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.__________.14.“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇诗句.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成.如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”.若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为__________.15.若a，b，c均为正数，且，则的最小值是_________.16.设为实数，若实数是关于的方程的解，则_________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，集合.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.18.已知函数（，，）部分图象如图所示.若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，则所得图象为函数的图象.（1）求的解析式；（2）当时，求的单调递减区间.19已知函数，函数.（1）求不等式的解集；（2）如果对于任意，都存在，使得，求实数的取值范围.20.中国政府在第七十五届联合国大会上提出.“中国将努力争取在2060年前实现碳中和.”随后，国务院印发了《关于加快建立健全绿色低碳循环发展经济体系的指导意见》.某企业去年消耗电费50万元，预计今年若不作任何改变，则今年消耗电费与去年相同.为了响应号召，节能减排，该企业决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：）成正比，比例系数约为0.6.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装太阳能供电设备后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：）之间的函数关系是（，k为常数）.记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年所消耗的电费之和为（单位：万元）.（1）求常数，并写出关于的函数关系式；（2）当太阳能电池板的面积为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？21.已知函数是偶函数.（1）求实数的值；（2）若函数的最小值为，求实数的值.22.设为常数，函数.（1）当时，求的值域；（2）讨论在区间上的零点的个数；（3）设为正整数，在区间上恰有个零点，求所有可能的正整数的值.南京师大附中2023—2024学年度第1学期高一年级期末考试数学试卷班级：__________学号：__________姓名：__________得分：__________注意事项：1.本试卷共4页，包括单项选择题：（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.2.答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸的相应区域内.试题的答案写在答题纸上相应题目的答题区域内.考试结束后，交回答题纸.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由交集的定义直接求解.【详解】集合，集合，则.故选：D2.已知角的终边过点，其中，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三角函数的定义直接求解.【详解】角的终边过点，其中，则点到原点的距离，所以.故选：C3.设点是正三角形的中心，则向量，，是（）A.共起点的向量 B.模相等的向量 C.共线向量 D.相等向量【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的相关概念判断.【详解】因为点是正三角形的中心，所以，，是模相等的向量；向量只有大小与方向两个要素，没有起点之说；这三个向量方向不同，不是共线向量；这三个向量方向不同，不是相等向量.故选：B4.若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式求解.【详解】解：因为，所以，故选：A5.已知是定义在上的偶函数，对任意，且，都有，，则不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判断出函数在上的单调性以及函数值正负情况，结合奇偶性，可判断函数在上的单调性，以及函数值的正负情况，由此可得不等式的解集.【详解】由题意知对任意，且，都有，，则在上单调递减，且当时，；当时，；又是定义在上的偶函数，则在上单调递增，，且当时，；当时，；不妨画出图象示意图如图：则不等式的解集是，故选：A6.设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分类讨论解不等式，判断不可能的解集.【详解】关于的不等式，若，不等式为，解得，此时解集为；若，方程，解得或，时，不等式解得或，此时解集为；时，，不等式解得，此时解集为；时，，不等式解集为，时，，不等式解得，此时解集为；所以不等式的解集不可能是.故选：B7.已知定义在上的函数满足，当时，.若对任意，都有，则实数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据已知利用正弦函数图象与性质、函数的周期性，结合函数图象进行求解即可.【详解】当时，，且定义在上的函数满足，所以函数的大致图象为因为，，所以，，所以由，可得，当时，由的，所以对任意，都有，得实数的取值范围为，则实数的最大值为.故选：B.8.已知常数，函数在区间上单调，则不可能等于（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据正弦函数的单调性，由的单调区间得的取值范围，验证各选项中的值.【详解】常数，当，有，正弦函数的单调区间为，函数在区间上单调，则有，解得，时，，满足；时，，满足；时，，满足；不等式，解得，因为，则无解，则时，函数在区间不单调；故选：C【点睛】方法点睛：依题意有，区间包含于正弦函数的单调区间，可求出的取值范围.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若函数满足：①对定义域内的任意，，都有；②当时，，则称为“函数”.下列函数是“函数”的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据“函数”的定义，逐项验证即可求解.【详解】对A：由，对定义域内的任意，，不满足条件①，故A错误；对B：由，对定义域内的任意，，，满足条件①，当时，因在其定义域上是增函数，所以，满足条件②，故B正确.对C：由，对定义域内的任意，，，不满足条件①，故C错误；对D：由，对定义域内的任意，，，满足条件①，当时，因在其定义域上是增函数，所以，满足条件②，故D正确.故选：BD.10.已知函数满足，则（）A.的最小正周期为 B.的图象关于直线对称C.在区间上单调递增 D.在区间上有两个零点【答案】BD【解析】【分析】根据满足，得到的图象关于对称，从而求得，然后逐项判断.【详解】解：因为函数满足，所以的图象关于对称，所以，则，即，因为，则，所以，则，故A错误；，故B正确；由，得，因为在上不单调，故C错误；由，得，易知在上有两个零点，故D正确.故选：BD11.已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，.下列命题正确的是（）A. B.是周期为2的周期函数C.直线与的图象有且仅有2个交点 D.的值域为【答案】AD【解析】【分析】由已知判断出时，函数的周期，结合当时的解析式，即可作出时图象，结合奇偶性，可得整个定义域上图象，由此利用周期性以及奇偶性求值，判断A；结合图象，数形结合，可判断B，C，D.【详解】由题意知当时，有，则，即时，2为的周期，由，得，当时，，则，结合为定义在上的偶函数，可作出的图象如图：对于A，,,故，A正确；对于B，由以上分析可知时，2为的周期，结合图象，在整个定义域上不是周期函数，B错误；对于C，在同一坐标系再作出的图象，可知直线与的图象有且仅有1个交点，C错误；对于D，结合图象可知的值域为，D正确，故选：AD12.设，都是定义域为区间的函数，若存在，使得对任意，，都有成立，则称在上相对于满足条件.下列命题正确的是（）A.若，，在区间上相对于满足条件，则的最小值为B.若，，则在区间上相对于满足条件C.设为实数，若，，在区间上相对于满足条件，则的最大值为D.若，，在上相对于满足条件，则【答案】AC【解析】【分析】利用参变分离法求函数最值可判断AC，举反例即可说明B，由题可得为增函数，利用复合函数单调性判断D．【详解】对于A，由题知,,均有成立，当时显然成立，不妨设，则，即，又，，，，所以，故A正确；令，，，而，，此时，故不符合要求，B错误，对于C，由题知,，均有成立，当时显然成立，当时，即，故则恒成立，又，,所以，，即，所以的最大值为，故C正确；对于D，由题可得在非空数集上恒成立，当时显然成立，不妨设，则，成立，令，则函数非空数集上单调递增，，当,时，，单调递增，在单调递减，所以单调递减，所以在,上单调递减，故D错误．故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.__________.【答案】【解析】【分析】利用对数和指数运算求解.【详解】解：，故答案为：14.“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成.如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”.若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为__________.【答案】【解析】【分析】由题意结合圆的面积公式，列式求解，即得答案.【详解】由题意知，即,即，解得（）,故答案为：15.若a，b，c均为正数，且，则的最小值是_________.【答案】##【解析】【分析】由推出，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案.【详解】由题意知a，b，c均为正数，且，故，则，当且仅当，结合，即时等号成立，故的最小值是，故答案为：16.设为实数，若实数是关于的方程的解，则_________.【答案】##【解析】【分析】将已知等式变为，构造函数，结合其单调性推出，即得，由此可化简求值，即得答案.【详解】由题意知，得，即，设，则在上单调递增，则由可得，而实数是关于的方程的解，即，故，故答案为：【点睛】关键点睛：解答本题的关键是能够变形得到，从而结合的单调性推出，即，即可求解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，集合.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解；（2）由，得到，分，，，讨论集合A求解.【小问1详解】当时，集合,，，所以；【小问2详解】因为，所以，当时，，则，解得，此时；当时，，符合题意；当时，，则，解得，此时无解；综上：实数的取值范围是.18.已知函数（，，）的部分图象如图所示.若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，则所得图象为函数的图象.（1）求解析式；（2）当时，求的单调递减区间.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由函数图象可确定A，根据最小正周期求出，利用特殊点坐标求出，即可得的解析式；（2）根据三角函数的平移变换可得的解析式，求出其单调递减区间，和求交集，即得答案.【小问1详解】由图象可知，函数最小正周期，由，得，则,则，结合，可得，故；【小问2详解】由题意可得，令，解得，当时，的单调递减区间为，k取其它值时与区间无交集，故当时，的单调递减区间为.19.已知函数，函数.（1）求不等式的解集；（2）如果对于任意，都存在，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用函数单调性解不等式；（2）分别求出在上和在上的值域，利用包含关系求实数的取值范围.【小问1详解】函数，定义域R，，函数为奇函数，时，，则上单调递增，所以在R上单调递增，不等式，即，得，解得，所以不等式的解集为.【小问2详解】函数在上单调递减，在上单调递增，，，，则时；在上单调递增，当时，，依题意有：，解得.所以实数的取值范围为.20.中国政府在第七十五届联合国大会上提出.“中国将努力争取在2060年前实现碳中和.”随后，国务院印发了《关于加快建立健全绿色低碳循环发展经济体系的指导意见》.某企业去年消耗电费50万元，预计今年若不作任何改变，则今年消耗电费与去年相同.为了响应号召，节能减排，该企业决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：）成正比，比例系数约为0.6.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装太阳能供电设备后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：）之间的函数关系是（，k为常数）.记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年所消耗的电费之和为（单位：万元）.（1）求常数，并写出关于的函数关系式；（2）当太阳能电池板的面积为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？【答案】20.3000；21.94平方米；116.4万元【解析】【分析】（1）根据，即可求得k的值；结合题意即可求得关于的函数关系式；（2）将关于的函数关系式整理变形为，利用基本不等式即可求得答案.【小问1详解】由题意知，解得；则；【小问2详解】由于，故（万元），当且仅当，即（）时，取得等号，即当太阳能电池板的面积为94平方米时，取得最小值，最小值是万元.21.已知函数是偶函数.（1）求实数的值；（2）若函数的最小值为，求实数的值.