第二章 晶体的几何特征及表述

第二章晶体的几何特征及表述

第一节对称的概念及晶体的对称第二节晶体的对称要素和对称操作第三节对称型及晶体的分类第四节单形和聚形第五节晶体定向及晶面符号第六节双晶第二章晶体的几何特征及表述

第一节对称的概念及晶体的对称对称是物体中的等同部分有规律的重复。对称的存在有两个条件，一是物体必须可以分为若干彼此可以相同的部分，二是这些相同部分之间可以通过某些操作而发生有规律的重复。对称是自然界日常生活中常见的现象。虽然可以分为两个相等的图形，但不能通过对称操作使其作有规律的重复，因而是不对称的。

ABCD第二章晶体的几何特征及表述

第一节对称的概念及晶体的对称晶体都是对称的，但它与其他非晶体物质（动植物、生物、建筑物等）的对称相比，具有本质的区别：首先，晶体的对称是由晶体内部的格子构造所决定的，只有符合格子规律对称才能在晶体上出现，因而晶体的对称是有限的。其次，晶体的对称不仅表现在外形上，还表现在物理、化学性质上。第二章晶体的几何特征及表述

第二节晶体的对称要素和对称操作使对称图形中相同部分重复的操作，叫对称操作。在进行对称操作时所应用的辅助几何要素（点、线、面），称为对称要素。

第二章晶体的几何特征及表述

第二节晶体的对称要素和对称操作一、对称中心对称中心，也可简称为对称心，是晶体中一个假想的几何点，通过此点的任意直线与晶面相交的两个点，必是距该点等距离的对应点。对称中心用符号C表示。几何点--对称要素，对称操作是对于该点的反伸。

对称中心位于晶体的几何中心BB1A1AC晶体中可以没有对称中心，如果有则只能有一个，而且晶体中所有的晶面都两两相互平行、形同等大、方向相反。第二章晶体的几何特征及表述

第二节晶体的对称要素和对称操作一、对称中心二、对称面

对称面是一个假象的平面，它把晶体分为互成镜像反映的两个相等部分。对称面以符号P表示。与对称面相应的对称操作是对此平面的反映。对称面的存在有两个必要条件：一是该平面能把晶体分为相等的两部分；二是这两部分间互成镜像关系。

该切面不是矩形体的对称面该切面是对称面第二章晶体的几何特征及表述

第二节晶体的对称要素和对称操作一、对称中心二、对称面

对称面在晶体中可以没有，也可以有一个或数个，最多可达9个，描述时把对称面的数目写在符号前面，如立方体中有9个对称面，则记为9P。晶体中如果有对称面存在，它必定通过晶体的几何中心。此外，对称面可以垂直平分晶面或晶棱、平分晶面夹角，也可以包含晶棱。

第二章晶体的几何特征及表述

第二节晶体的对称要素和对称操作一、对称中心二、对称面三、对称轴

对称轴是通过晶体中心的一条假想的直线，晶体围绕此直线旋转一定角度后，可使晶体上的相等部分重复出现。对称轴以符号Ln表示。与对称轴相对应的对称操作为绕此假想直线的旋转。第二章晶体的几何特征及表述

第二节晶体的对称要素和对称操作一、对称中心二、对称面三、对称轴

晶体绕对称轴旋转一周所重复出现的次数称为轴次（n），重复时所旋转的最小角度称为基转角（α），基转角和轴次之间存在如下关系：

n=360°/α晶体中只能存在的对称轴的轴次并不是任意的，只能是1、2、3、4、6，与轴次相对应的对称轴也只能是L1、L2、L3、L4、L6。这一规律称为晶体对称定律。第二章晶体的几何特征及表述

第二节晶体的对称要素和对称操作一、对称中心二、对称面三、对称轴晶体中只能存在的对称轴的轴次并不是任意的，只能是1、2、3、4、6，与轴次相对应的对称轴也只能是L1、L2、L3、L4、L6。这一规律称为晶体对称定律。

一次对称轴L没有实际意义，以为任何物体围绕任意直线旋转一周都可以恢复原状。轴次高于两次的对称轴的轴次为高次轴。晶体中的对称轴可以没有，也可以有一种或几种，每种对称轴的数目也可以有一个或几种。在描述时，对称轴得数目应写在相应对称轴符号得前面，如3L4、4L3、6L2等。第二章晶体的几何特征及表述

第二节晶体的对称要素和对称操作一、对称中心二、对称面三、对称轴

四、旋转反伸轴

旋转反伸轴是通过晶体中心的一条假想的直线，晶体沿此直线旋转一定角度后，再对此直线上的中心点进行反伸，可使晶体上相等部分重合。旋转反仲铀用符号Lin表示，其中i表示反伸，n表示轴次。

Li

3=L3C

Li

4

Li

6=L3P第二章晶体的几何特征及表述

第二节晶体的对称要素和对称操作

四、旋转反伸轴

旋转反伸轴和对称铀一样，也遵守晶体对称定律，即n可以是1、2、3、4、6。相应的基转角为：360°、180°、90°、60°，其中除Li4是一种独立得对称要素之外，其余四种都可以用其他得对称要素来代替，其替代关系为：Li1=L1+C=CLi2=L1+P=PLi3=L3+CLi6=L3+PLi4是一个完全独立，不能用其他对称操作来代替的对称要素，

Li

3=L3C

Li

4

Li

6=L3P

Li

1=C

Li

2=P第二章晶体的几何特征及表述

第二节晶体的对称要素和对称操作

四、旋转反伸轴

Li4是一个完全独立，不能用其他对称操作来代替的对称要素，Li6虽然和Li6＝L3+P等效，但在晶体分类中，Li6属六方晶系，不能用三方晶系得对称要素组合L3+P来代替。正因为如此，在实际应用时常用的旋转反伸轴是Li4和Li6，它们也均属高次轴。综上所述，晶体中可能存在的具体独立意义的对称要素：L1、L2、L3、L4、L6、Li4、Li6、P、C等九种。

第二章晶体的几何特征及表述

第三节对称型及晶体的分类在一个结晶多面体中，全部对称要素的组合称为该结晶多面体的对称型。一、对称型对称型的书写方法为：①按高次轴、低次轴、对称面、对称中心的顺序依次书写。②若晶体中存在多个同轴次对称轴或多个对称面时，其个数写在相应对称要素的前面。如立方体的对称型为3L44L36L29PC、三方单锥的对称型为L33P。晶体中对称要素的组合受对称规律的控制，因而晶体中存在的对称型是有限的。经推导，总共只有32种第二章晶体的几何特征及表述

第三节对称型及晶体的分类一、对称型二、晶体的对称分类依据晶体的对称型，可以对晶体进行分类。首先把属于同一对称型的晶体归为一类，称为晶类。晶体中有32种对称型，相应的应有32个晶类。

其次为是否存在高次轴，以及高次轴为一个还是多个，把32种对称型分为三个晶族：高级晶族、中级晶族、低级晶族。

然后各晶族根据对称特点划分晶系，一共划分出七个晶系：等轴晶系、六方晶系、四方晶系、三方晶系、斜方晶系、单斜晶系和三斜晶系。第二章晶体的几何特征及表述

第三节对称型及晶体的分类二、晶体的对称分类晶族晶系对称型（晶类）名称对称特点名称对称特点低级晶族无高次轴三斜只有一个L1或C（1）L1（2*）C单斜有一个L2或P（3）L2（4）P（5*）L2PC斜方L2或P多于一个（6）3L2（7）L22P（8*）3L23PC中级晶族有一个高次轴三方有一个L3（9）L3（10）L3C（11*）L33P（12*）L33L2（13*）L33L23PC四方有一个L4或Li4（14）L4（15）L4PC（16）L44P（17）L44L2（13*）L44L25PC（19）Li4（20）Li42L22P六方有一个L6或Li6（21）L6（22）L6PC（23）L66P（24）L66L2（25*）L66L27PC（26）Li6=L3P（27）Li63L23P=L33L24P高级晶族高次轴多于一个等轴有四个L3（28）4L33L2（29*）4L33L2PC（30*）4L33Li46P（31）3L44L36L2（32*）3L44L36L29PC第二章晶体的几何特征及表述

第四节单形和聚形一、单形(一)单形的概念

单形中的晶面都是同形等大的，而且，任意选定一个晶面作为原始面，通过对称要素的作用，可以将其余晶面全部推导出来。晶体中可能出现的几何单形一共有47种。(二)47种单形1.低级晶族的单形(1)单面由一个晶面组成。(2)平行双面由两个互相平行的晶面组成。(3)双面由两个相交的晶面组成。包括轴双面和反映双面，前者两晶面通过L2相连，后者则通过对称面相连。第二章晶体的几何特征及表述

第四节单形和聚形一、单形(一)单形的概念(二)47种单形1.低级晶族的单形(4)斜方柱由四个两两平行的晶面组成。晶面间的交棱都相互平行而构成柱体，单形的横切面为菱形。(5)斜方四面体由四个不等边三角形组成。每个晶面都与其他三个晶面相交，交棱的中点都是L2的出露点，通过晶体中心的横切面为菱形。(6)斜方单锥由四个不等边三角形组成。晶面、晶按相交于一点面构成单锥体，锥体顶点为L2出露点，单形横切面为菱形。(7)斜方双锥由八个不等边的三角形晶面组成。可视为由两个斜方单锥以底面相连而构成，单形切面为菱形。第二章晶体的几何特征及表述

第四节单形和聚形一、单形(一)单形的概念(二)47种单形2.中级晶族的单形中级晶族单形有25种，此外单面和平行双面也可出现，其位置和高次轴垂直。根据其晶面特征可以分为柱类、单锥类、双锥类、四方四面类、菱面体类和偏方面体类（图2-11及表2-2）。

第二章晶体的几何特征及表述

第四节单形和聚形一、单形(一)单形的概念(二)47种单形3.高级晶族的单形属于高级晶族的单形共有15种，按名称和特征可分为四面体类、八面体类、立方体类和十二面体类等(图2-ll及表2-3)。

第二章晶体的几何特征及表述

第四节单形和聚形一、单形二、聚形由两个或两个以上单形聚合而成的晶形称为聚形。

只有相同对称型的单形才能组成聚形；每一聚形中可能出现的单形种类不会超过七种，但同一种单形在同一聚形中可以出现多次(不同方位)。在聚形中尽管同一单形中，每个品面的形态发生了变化，但各晶面仍然是同形等大的(不同单形的晶面一般大小形态不同)，单形的晶面数目及各晶面与对称要素间的相对位置不变。聚形的晶面数目等于各单形晶面数目之和。

第二章晶体的几何特征及表述

第四节单形和聚形一、单形二、聚形由两个或两个以上单形聚合而成的晶形称为聚形。聚形分析应遵循以下几个步骤：(1)确定聚形的对称型和晶系，以判断该聚形中可能出现的单形类型。(2)根据晶面的形状确定组成聚形的单形数目，如发现聚形中不同大小和形状的晶面共有五种，则可以确定该聚形是由五个单形聚合而成的。(3)找出各单形中所有晶面，再根据晶面数目和晶面的分布特点，确定各个单形的名称。第二章晶体的几何特征及表述

第五节晶体定向及晶面符号

一、晶体的定向晶体定向就是在晶体上选择坐标系统，包括选定坐标轴（晶轴）和确定轴单位。

(一)晶轴和晶体几何常数在晶体上所设置的坐标轴称为结晶轴(简称晶轴)。晶体的定向一般设置为三轴定向，三个晶轴分别以X、Y、Z表示，并分别平行于平行六面体的三条行列方向。YXZγαβ坐标系中两晶轴间的夹角称为轴角，它是平行六面体中三条棱的夹角，轴角分别以α、β、γ表示：α＝Y∧Zβ＝Z∧Xγ＝X∧Y第二章晶体的几何特征及表述

第五节晶体定向及晶面符号

一、晶体的定向(一)晶轴和晶体几何常数YXZγαβx、y、z轴上的轴单位分别以a0、b0、c0表示a0b0c0轴单位是平行六面体三条行列方向的结点间距。

凭借晶体外形不能定出轴单位的真实长度，但可以确定它们之间的比率a:b:c，这个比率称为轴率。一般把轴率写成以b为l的连比式，如文石(Ca[CO3])的轴率：a:b:c＝1.6304:1:1.3136轴率a:b:c及轴角α、β、γ合称为晶体常数。第二章晶体的几何特征及表述

第五节晶体定向及晶面符号

一、晶体的定向(一)晶轴和晶体几何常数YXZγαβabc晶体常数反映了晶胞的形态待征，不同晶体其晶体常数是不同的。如果轴角α、β、γ和轴单位a0、b0、c0已知，就可以求出晶胞的形状和大小；如果轴角α、β、γ和轴率a:b:c已知，虽然求不出晶胞的大小，但可以求出晶胞的形状。第二章晶体的几何特征及表述

第五节晶体定向及晶面符号

一、晶体的定向(一)晶轴和晶体几何常数(二)晶轴的选择原则

晶轴的选择应遵循以下原则：(1)根据晶体所固有的对称性特点(表2-4)，选择对称轴和对称面的法线方向，若没有对称轴和对称面，则选择主要晶棱方向。(2)由于各晶系晶体常数特点不同，晶轴的选择也有所差别。因此选择晶轴时要充分考虑各晶系的晶体常数特点。(3)在上述前提下，应尽可能使晶轴垂或近于垂直，轴单位相等或基近于相等，即尽可能使晶体常数趋向于：α＝β＝γ＝90°，a＝b＝c。第二章晶体的几何特征及表述

第五节晶体定向及晶面符号

一、晶体的定向(一)晶轴和晶体几何常数(二)晶轴的选择原则

(三)各晶系晶体的定向在七个晶系中，等轴、四方、斜方、单斜、三斜等晶系选择三轴定向。其中Z轴置于直立的方向上端为正，下端为负；X轴位于前后方向，前端(迎着观察者一端)为正，后端为负；Y轴置于左右方向，右正、左负。对于三方和六方晶系，由于它们在对称上的特殊性，需要选择由四个晶轴(X、Y、U、Z)组成的坐标系结晶体定向。其中Z轴直立，上正下负；X、Y、U位于同一水平面上，其正端之间的夹角都为120°，且都与Z轴垂直。ZXUY120º定向举例:(示范模型:等轴、四方、六方、斜方)第二章晶体的几何特征及表述

第五节晶体定向及晶面符号

二、晶面符号及整数定律(一)晶面符号表示晶面在晶体空间中的方位的数字符号称为晶面符号(简称面号)。

晶面符号有许多表示方法，目前国际上通用的是米氏符号，这是英国人米勒(M．H．Miller)于1939年创建的。米氏符号是用晶面在晶轴上截距系数的倒数比来表示的晶面符号。举例:

某晶面在X,Y,Z轴上的截距为2a,3b,6c,那么截距系数为2,3,6,倒数为1/2,1/3,1/6,化简以后的倒数比为3:2:1,写做(321),这就是该晶面的米氏符号.注意：三个晶轴上的轴单位不一定相等，所以，截距系数与截距不一定成正比。

例如：

第二章晶体的几何特征及表述

第五节晶体定向及晶面符号

二、晶面符号及整数定律(一)晶面符号表示晶面在晶体空间中的方位的数字符号称为晶面符号(简称面号)。

晶面符号有许多表示方法，目前国际上通用的是米氏符号，这是英国人米勒(M．H．Miller)于1939年创建的。米氏符号是用晶面在晶轴上截距系数的倒数比来表示的晶面符号。通常用(hkl)表示.h,k,l

叫晶面指数.

第二章晶体的几何特征及表述

第五节晶体定向及晶面符号

二、晶面符号及整数定律(一)晶面符号但对于三方,六方晶系来说,可以用四轴定向,要用四个晶面指数h,ki,l,晶面符号为(hkil),前面三个指数的代数和等于0.例如:（1120）（1011）等。

在晶体模型上怎么写晶面符号?因为我们并不知道晶面截晶轴的截距系数,但我们可以知道截距大小相对关系.

例如:

(示范模型):

八面体（111）、四方双锥（hhl）斜方双锥（hkl）第二章晶体的几何特征及表述

第五节晶体定向及晶面符号

二、晶面符号及整数定律(一)晶面符号

(二)整数定律整数定律认为晶面在晶轴上的截距系数之比为简单整数比。

整数定律表明晶面指数是互为质数的小整数。

晶面指数和晶面在晶轴上的截距呈反比，晶面若和某个晶轴平行，它在该晶轴上的截距系数为∞，其倒数为1／∞，晶面在晶轴上的晶面指数为0，此外晶面指数有正负之别，如果晶面和晶轴交于负端，则在相应的晶面指数的上面加“－”号，如(10ī)表示晶面和Y轴平行并交于Z轴的负端。第二章晶体的几何特征及表述

第五节晶体定向及晶面符号

三、单形符号单形是由对称要素联系起来的一组晶面的组合，同一单形各晶面和晶轴的相对位置是相同的，这就决定了每个晶面的晶面指数的绝对值之和都相同，只是晶面指数正负符号有所不同，如八面体中八个晶面的晶面符号为：（111）、（1ī1）、（11ī）、（1īī）、（ī11）、（īī1）、（ī1ī）、（īīī），排列的大小顺序也可以不同.第二章晶体的几何特征及表述

第五节晶体定向及晶面符号

三、单形符号只要知道单形中某一晶面的符号，就很容易求得其他晶面的符号。因此只要自单形的晶面中选择一个晶面作为代表晶面，把其相应的晶面指数用大括号“{}”括起来，就可以代表一种单形，因而称为单形符号（简称形号）。如八面体的单形符号为{111}。在选择代表晶面时，一般是选择正指数最多的晶面，同时还遵循先前、后上的原则。如八面体的单形符号为{111}，六八面体的形号为{321}.各晶系可能出现的单形及其单形符号见表2-5～表2-8。第二章晶体的几何特征及表述

第六节双晶一、双晶的概念双晶是同种晶体的规则连生，相邻的两个单晶体间互成镜像关系，或其中一个单晶体旋转180°以后与另一个重合或平行。石膏的双晶及其相应的两个单体的形状。两个单晶体间的结晶方位是相反的，因而从结构上，两者的结晶格子是不连续的。金刚石及其双晶第二章晶体的几何特征及表述

第六节双晶一、双晶的概念二、双晶要素双晶的相邻个体间也存在对称关系，也可以通过旋转、反映操作使其发生重合或平行，在此过程中所凭借的几何图形称为双晶要素。双晶要素包括双晶面和双晶轴。(一)双晶面为一假象的平面，双晶中的一个个体通过它的反映能和相邻的个体重合或平行。双晶面不能平行于双晶个体上的对称面，否则就意味着双晶面两侧的格子构造是一个平行而连续的整体，两个个体也就处于平行的位置而成为平行连生，这与双晶的概念是矛盾的。第二章晶体的几何特征及表述

第六节双晶一、双晶的概念二、双晶要素(一)双晶面(二)双晶轴为一假想的直线，双晶轴的一个个体绕它旋转180°后，可与另一个个体重合后平行。石膏燕尾双晶的左侧个体，围绕垂直于双晶面P的一条假象直线旋转180°后，可与右侧个体（不带阴影）平行。双晶轴常与结晶轴或奇次对称轴平行，或与晶体的一个实际或可能的晶面垂直，因此可用与它垂直的晶面的符号来表示。由于双晶轴垂直可能的晶面为（100），因而把它描述为：双晶轴垂直于（100），记为⊥（100）。双晶轴不能平行于单晶体是那个的偶次对称轴，否则也与双晶的概念不相符合。第二章晶体的几何特征及表述

第六节双晶一、双晶的概念二、双晶要素三、双晶类型与双晶律(1)简单接触双晶接触双晶是指双晶个体间以简单的平面相互接触而连生。

两个单体以平直接合面接触形成。(一)接触双晶