第15章电路方程的矩阵形式(丘关源)

第十五章电路方程的矩阵形式重点：(1)关联矩阵A、割集矩阵Q及基本割集矩阵Qf、回路矩阵B及基本回路矩阵Bf的概念及其列写方法；(2)回路电流方程、结点电压方程、割集电压方程的矩阵形式及其列写方法。1§15.0电路的图的复习一、电路的图(简称G)的画法图G抛开元件性质只画支路和结点6543217有向图支路方向(电压电流的关联方向)R4R1R3R2R6uS6+_iR5n(结点数)＝4b(支路数)

＝72二、名词解析(1)路径——从一个节点到达另一节点所经过的支路。(2)连通图——任意两节点间至少有一条路径时称为连通图。非连通图至少存在两个分离部分。例如：非连通图加此路径后为连通图3(3)回路(Loop)

一条路径的起点和终点重合，且经过的结点都相异，则这条闭合路径就构成回路。12345678253124578128457不是回路235是回路共有几个回路？答：13个回路。4(4)树T(Tree，简称T)——树是一个包含电路的全部结点、不包含回路的连通图。注意：连通、包含所有节点、不含闭合路径不是树它的树对应同一个图有很多的树5树支(bt)：构成树的支路。连支(bl)：属于G(图)而不属于T(树)的支路。12345678若：

b＝图G中所有的支路数

n＝图G中所有的结点数则：树25782578是树支1346是连支树支数bt＝n－1连支数bl＝b－(n－1)63(5)基本回路(单连支回路)l——在树中加入一条连支，该连支与若干条树支所组成的回路。(每条连支与若干条树支所组成的回路)12345678树2578基本回路:127、325458、678注意：

1)基本回路具有独占的一条连枝的特点。用基本回路列出KVL彼此之间一定不会重复，彼此独立。因此基本回路一定是独立回路。2)独立回路数目=基本回路的数目=连支数=b－(n－1)。3)对于平面电路，独立回路数目=网孔数

。7三、KCL的独立方程数

n个结点的电路,独立的KCL方程为n-1个。四、

KVL的独立方程数

KVL的独立方程数＝基本回路数＝b－(n－1)五、电路的独立方程数

n个结点、b条支路的电路中，电路独立的方程总数为：(n－1)

＋b－(n－1)＝

b——等于支路数目8§15.1割集(Cutset)一、割集Q的基本性质割集Q：是连通图G中某些支路的集合，其特点为：(1)把割集Q中全部支路移去，电路图分成二个分离部分。(2)任意放回割集Q中一条支路，电路图仍构成连通图。

876543219可见：(196)支路全部移去，图分成二个分离部分。任意放回(196)中任一条支路，图构成连通图。所以(196)是割集。8765432199876543219(1268)是割集吗？是。75439(289)、(368)、(467)、(578)等也是割集。割集的意义：一个割集就对应于一个结点(或广义结点),即对应于一个KCL方程。10不是。876543219(36587)、(36289)是割集吗？4219二、独立割集独立割集：割集中包含有未被割过的支路。独立割集对应于一组独立的KCL方程。三、基本割集基本割集：只含有一个树枝的割集。基本割集一定是独立割集。但独立割集不一定是基本割集。基本割集数=独立割集数=树枝数bt=n－111§15.2关联矩阵回路矩阵割集矩阵在分析复杂电路时常遇到列代数方程组或微分方程组：如回路电流法、结点电压法……。在回路多、结点多的情况下列写和求解方程十分麻烦。但如果采用矩阵表示这些方程组，会使它们的表示变得十分简洁，同时也方便研究和计算，特别适合在计算机上应用。一、图的矩阵分类

1、关联矩阵——结点~支路关系矩阵2、回路矩阵——回路~支路关系矩阵3、割集矩阵——割集~支路关系矩阵12二、关联矩阵(用A表示)

在任一图中，若某一支路连接在某两个结点上，称该支路与这两个结点彼此关联。将该图所有结点与所有支路的这种关联性质用矩阵描述出来，称关联矩阵Aa。

n个结点、b条支路有向图的关联矩阵Aa如何列写？65432171234(2)给各支路、各结点分别编号。为区别起见,结点编号加一小圆圈。1、关联矩阵Aa的列写步骤(1)确定支路方向(电压电流的关联方向)，使图成为有向图。13支支路路……12结点①结点②…………有n个结点,就有n行。有b条支路,就有b列。(3)列写矩阵Aa。注意：矩阵中的行对应于结点，列对应于支路。矩阵Aa的每一个元素ajk定义为：ajk＝+1结点j与支路k关联，支路方向背离结点。ajk＝-1结点j与支路k关联，支路方向指向结点。ajk＝0结点j与支路k无关。1465432171234Aa＝下面这个有向图，关联矩阵Aa如何列写？①②③④1234567+1+1000+10-10+10+10-100-1-10-1+10-10+1-100

Aa中任意(n-1)行相加等于最后一行×(-1)。或：n行相加等于0。这是因为n个结点只有(n-1)个是独立的。即Aa的行彼此不独立。

Aa的行怎样才能彼此独立？——将Aa的任一行划去(参考点)，并用A表示，称为2、降阶关联矩阵A(今后常用，简称关联矩阵)15注：通过A可以确定Aa，从而画出有向图。例如设③为参考节点，得关联矩阵A：A＝①②④1234567+1+1000+10-10+10+10-10-10+1-10065432171234Aa＝①②③④1234567+1+1000+10-10+10+10-100-1-10-1+10-10+1-100163、引入关联矩阵的作用(1)可以用矩阵Ai表示独立的KCL方程组。即独立的KCL方程组可表示为:Ai＝0——证毕(n-1)

个独立KCL方程65432171234证明：设：各支路电流列矩阵为：i＝[i1i2i3i4i5i6i7]T以④为参考节点的A与i相乘得:A·i＝i1i2i3i4i5i6i7＝+i1+i2+i6-i1+i3+i5-i7-i3-i4-i6+i7＝000+1+1000+10-10+10+10-100-1-10-1+117(2)可以用矩阵ATun

表示各支路电压。65432171234各支路电压~各结点电压的关系矩阵：u＝ATun设：各支路电压列矩阵为：u＝[u1u2u3u4u5u6u7]T以④为参考节点各结点电压列矩阵为:un＝[un1un2un3]T以④为参考节点的AT与un相乘得:＝+un1-un2+un1+un2-un3-un3+un2+un1-un3-un2+un3＝u1u2u3u4u5u6u7ATun＝un1un2un3+1-10+1000+1-100-10+10+10-10-1+1＝u18Aa=1234123456

支结-1-10100001-1-1010001101-100-11２３６５４①②④③设④为参考节点,得降阶关联矩阵设③为参考节点,得降阶关联矩阵A=124123456-1-10100001-1-1001-100-1A=123456-1-10100001-1-10100011123例119三、回路矩阵

(用B表示)

在任一图中，若某个回路由一些支路组成，称这些支路与该回路相关联。将该图所有独立回路与所有支路的这种关联性质用矩阵描述出来，称回路矩阵B。

l个独立回路、b条支路的回路矩阵B如何列写？1654231234(2)给各支路分别编号。给各独立回路分别编号，并确定绕行方向。1、回路矩阵B的列写步骤(1)确定支路方向(电压电流的关联方向)，使图成为有向图。l1l3l220回路矩阵B的每一个元素bjk定义为：bjk＝+1支路k与独立回路j关联，二者方向一致。bjk＝-1支路k与独立回路j关联，二者方向相反。bjk＝0支路k与独立回路j无关。(3)列写矩阵B。注意：矩阵中的行对应于独立回路，列对应于支路。有l个独立回路，就有l行。有b条支路，就有b列。支支路路……12独立回路l1独立回路l2…………21B＝下面这个有向图，回路矩阵B如何列写？l1l2l3回路矩阵B的每一个元素bjk定义为：bjk＝+1支路k与独立回路j关联，二者方向一致。bjk＝-1支路k与独立回路j关联，二者方向相反。bjk＝0支路k与独立回路j无关。123456+1-100-100+1+100+1000-1+1-11654231234l1l3l2注：通过B可以画出有向图。此外：独立回路取法不同，B则不同。2265432171234例15421234树Bf＝bl1bl3bl6bl71234567+1-100+100

0

0+1-1-1

000-10-10+10000+1+1

0+12、基本回路矩阵Bf定义：(1)选基本回路(单连枝回路)作为独立回路;(2)连支的支路方向作为回路绕行方向；(3)注意:矩阵中,行顺序=连支顺序。以2、4、5支路为树,列Bf。若将列中的连支和树支分开两边，会产生什么现象？23取网孔为独立回路，顺时针方向1２３６５４①②④③12301110000-10-111-1000-1例2若选4、5、6为树，连支顺序为1、2、3。123B＝123456支回1001-100101-1100101-1=[1Bt]BlBt123B＝123456

支回６５①②④③４24矩阵形式的、独立的的KVL方程组可表示为:Bu＝03、引入回路矩阵B的作用(1)可以用回路矩阵Bu表示独立的、矩阵形式的KVL方程组1２３６５４①②④③设各支路电压列矩阵为：u＝[u1u2u3u4u5u6]TBu=u1u2u3u4u5u6＝000123456l1l3l2+u1-u2-u6+u2+u3+u4-u3-u5+u6＝以l1、l2、

l3为独立回路的B与u相乘得:l1l2l3独立KVL方程1-1000-101110000-10-11251２３６５４①②④③(2)可用BTil表示各支路电流。各支路电流~各回路电流的关系矩阵：i＝BTil设各支路电流列矩阵为：i＝[i1i2i3i4i5i6]T设各独立回路电流列矩阵为：il＝[il1il2il3]T＝i1i2i3i4i5i6BTil＝il1il2

il3

100-11001-101000-1-101l1l3l2il1-il1+il2il2–il3il2-il3-il1+il3＝＝i26四、独立割集矩阵

(用Q表示)

在某图中，若某一割集由某些支路组成，称这些支路与该割集关联。将该图所有独立割集与所有支路的这种关联性质用矩阵描述出来，称独立割集矩阵Q(简称割集矩阵)。

n个结点、b条支路的割集矩阵Q如何列写？1654231234(2)给各支路编号。(3)给各独立割集编号，并指定各割集方向。割集将图分为两部分后，割集方向为其中一部分指向另一部分。1、割集矩阵Q(C)

的列写步骤(1)确定支路方向(电压电流的关联方向)，使图成为有向图。Q1Q3Q227n个结点的图,其独立割集为(n-1)个,有(n-1)

行。有b条支路，就有b列。(4)列写矩阵Q。注意：矩阵中的行对应于独立割集，列对应于支路。矩阵Q的每一个元素qjk定义为：qjk＝+1割集j与支路k关联，二者方向一致。qjk＝-1割集j与支路k关联，二者方向相反。qjk＝0割集j与支路k无关。支支路路……12独立割集Q1独立割集Q2…………28下面这个有向图，独立割集矩阵Q如何列写？Q1Q2Q3矩阵Q的每一个元素qjk定义为：qjk＝+1割集j与支路k关联，二者方向一致。qjk＝-1割集j与支路k关联，二者方向相反。qjk＝0割集j与支路k无关。1234561654231234Q1Q3Q2-1-11000-1-10-10110

0110Q＝注:独立割集取法不同，Q则不同。29以2、5、6支路为树,列Qf。Q2Q5Q612345611-10

0010011000-1-10

1Qf＝2、基本割集矩阵Qf定义：(1)选基本割集(单树枝割集)为独立割集;(2)树支的支路方向作为割集方向；(3)注意:矩阵中,行顺序=树支次序。1654231234Q2Q56521234树例1Q6若将列中的连支和树支分开两边，会产生什么现象？303、引入割集矩阵Q的作用(1)可以用Qi表示独立的、矩阵形式的KCL方程组设各支路电流列矩阵为：i＝[i1i2i3i4i5i6]T(n-1)

个独立KCL方程Q·i＝＝00011-10

0010011000-1-10

1i1i2i3i4i5i6123456i1+

i2-i3i1+i4+i5-i3-i4+i6＝矩阵形式的、独立的KCL方程组可表示为:Qi＝01654231234Q2Q5Q6311654231234(2)可以用QfT

ut表示各支路电压。设各树枝电压列矩阵为：ut=[u2u5u6]T设各支路电压列矩阵为：u＝[u1u2u3u4u5u6]TQfT

ut＝u2+u5u2-u2-u6+u5-u6u5u6＝u1u2u3u4u5u6＝＝u各支路电压~各树枝电压的关系矩阵：u＝QfT

ut选2、5、6支路为树110100-10-101-1010001123456u2u5u6Q2Q5Q6Q2Q5Q632小结ABQKCLAi=0BTil＝iBlTil＝itQi=0it=-QlilKVLATun=uBu=0ul=-BtutQfTut=uul=QlTut红色字体部分各位自己证明。其中：i~支路电流;il~连支电流;it~树支电流u~支路电压;un~结点电压;ut~树支电压;ul~连支电压33§15.3支路电压电流关系及其矩阵形式(支路方程矩阵形式)支路电压与支路电流的关系及其矩阵形式是网络矩阵分析法的基础。一、标准复合支路为减少方程的数目,简化计算,一条标准复合支路被定义为：Zk(Yk)-++-k该支路的有向图为：34注意：(1)支路电压与支路电流方向要关联(为支路方向)。(2)usk、isk分别表示k号支路的独立电压源和独立电流源，列写方程时其方向与支路方向相反时取“+”。(3)Zk(Yk)是支路复阻抗(或复导纳)，且只能是单一的电阻、电容、电感，而不能是它们的组合。即：Zk＝Rk

或：Zk＝

jLk或：Zk＝

1/jCkZk(Yk)-++-k35(4)标准复合支路只是定义了一条支路最多可以包含的不同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。Zk(Yk)Zk(Yk)-+Zk(Yk)-+-+Zk＝0Zk＝0Zk＝∞36二、(以支路电压为未知量)的支路方程矩阵形式1、支路方程矩阵形式某电路若有b条支路，则有：Zk(Yk)-++-……矩阵bb阶的阻抗矩阵k支路电压、电流关系为：k37设：阻抗矩阵Ik

,Uk均取“+”ISk

,USk方向与支路方向相反时取“+”382、支路阻抗的矩阵形式(1)无耦合电感、无受控源时的阻抗矩阵形式某电路若有b条支路，则Z可如下列写：(2)有耦合电感时的阻抗矩阵形式设某电路有b条支路，其中g、x两条支路之间有互感耦合Mgx，则Z可如下列写：＝diag[Z1,Z2……Zb]39±jMgx的正负号取法：先画有向图。若两条支路方向都从同名端进(出)，则取“+”号。否则为“-”。g行x列g列x行40证明：用矩阵表示，得：设某电路有b条支路，其中只有g、x两条支路之间有互感耦合Mgx，其余支路之间无互感耦合，如图所示，则有：*-+jLg*-+jLxMgx41Zbb阶非对角阵±jMgx的正负号取法：先画有向图。若支路方向都从同名端进(出)，则取+号。42例1

+-R1R51/j

Cj

L2R6j

L3写出图示电路支路电压、电流关系矩阵。1①23465②③④43例2

+-R1R51/j

Cj

L2R6j

L3M写出图示电路支路电压、电流关系矩阵。1①23465②③④44(3)含有受控电压源时的阻抗矩阵形式-++-Zk-+设第k支路含受控电压源，受j支路控制，Z可如下列写：±Zkj正负取法:当udk与uk方向(支路方向)相同时取“+”Zkj大小取法:当控制源为电流ij时,即udk＝r

ij时：Zkj＝r当控制源为电压uj时,即udk＝

uj时：Zkj＝Zjj列k行45例3

+-R1R51/j

Cj

L2R6j

L3M

+-1①23465②③④写出图示电路的阻抗矩阵。R1000000j

L2

j

M0000j

M

j

L30000001/j

C000000R50000

/j

C

0R6Z＝46二.(以支路电流为未知量)的支路方程矩阵形式1、支路方程矩阵形式k支路电压、电流关系为：某电路若有b条支路，则有：……-++-Zkkbb阶的导纳矩阵矩阵472、支路导纳的矩阵形式(1)无电感耦合、无受控源时的导纳矩阵形式(2)有电感耦合时的导纳矩阵形式方法：先按前述方法求Z，再求Y＝Z–1＝diag[Y1,Y2……Yb]Y＝Z-1实际上：48其中：△＝jL2·jL4－jM·jM例如：Y=Z-149(3)含有受控电流源时的导纳矩阵形式)±Ykj正负取法:当idk与ik方向(支路方向)相同时取“+”Ykj大小取法:当控制源为电流ij时,即idk＝

ij时：Ykj＝

Yj当控制源为电压uj时,即idk＝guj时：Ykj＝g设第k支路含受控电流源，受支路j控制，Y可如下列写：j列k行-+Zk+-50求图示电路的支路导纳矩阵。例40

00-(-2)0002

000000

4

0003000

0000001

00000

010Y＝51求图示电路的支路导纳矩阵。例52

0000-30.2500000

0

0100001

000005Y＝52例6

+-R1R51/j

Cj

L2R6j

L3M

+-1①23465②③④写出图示电路的导纳矩阵。1/R1

0

0

0000

j

L3/△-j

M/△

00

00-j

M/△j

L2/△00

000

0

j

C

0

00

0

0

01/R500

0

0-

/R601/R6Y＝53B——回路矩阵；Z——阻抗矩阵；——l个独立回路电流矩阵；——标准复合支路usk的矩阵;方向与支路方向相反时取“+”——标准复合支路isk的矩阵;方向与支路方向相反时取“+”设:Zl＝BZBT——称为回路阻抗矩阵,为l阶的方阵。当电路中不含互感以及受控源时,其主对角线元素为回路阻抗之和,其余元素为回路间的阻抗,若流经它的两回路电流方向相同时取“+”。§15.4回路电流方程的矩阵形式

(以独立回路电流为未知量列出的方程——回路电流方程)-+Z(Yk)+-一、回路电流方程的矩阵公式

54用阻抗表示的支路方程：独立回路电流证明：-+Z(Yk)+-55二、列回路电流方程矩阵的步骤1、任选独立回路(或网孔)电流方程矩阵的列写步骤R1j

L3j

L41/j

C5R2+-例1(1)画出电路的有向图。选定独立回路(或网孔)及其绕行方向。12345l1l2(2)求出B。-101010101-1l1l2B＝1234556R1j

L3j

L41/j

C5R2+-Zl＝BZBT＝12345l1l2(3)求出

Z以及Zl矩阵。57(5)代入公式，列出回路电流方程矩阵。(4)写出R1j

L3j

L41/j

C5R2+-12345l1l2根据：582、指定“树”时电流方程矩阵的列写步骤(2)求出Bf例2

+-R1R51/j

C4j

L2R6j

L31①23465②③④现以{1、2、3}为树,试用矩阵法写出电路回路方程。(直接写出无分)解：(1)根据“树”，确定基本回路。-110100

0-1-1010-111001l4l5l6Bf＝123456

59(3)求出

Z矩阵。

+-R1R51/j

C4j

L2R6j

L31①23465②③④(4)写出60(5)代入公式，列出回路电流方程矩阵。根据：61例3

+-R1R51/j

Cj

L2R6j

L3M

+-难1①23465②③④现以{2、3、4}为树，试用矩阵法写出电路回路方程。(直接写出无分)解：1-10

-1

00

0-1-1010

001-101l1l5l6Bf＝123456

62根据：

+-R1R51/j

Cj

L2R6j

L3M

+-63图示电路已编号如图G所示，现以{1、3、5}为树，试用矩阵法写出电路回路方程。(直接写出无分)例4解：l3l2l1Il＝[Il1

Il2Il3]TZ＝diag[246011]US＝[1000-505]TIS＝[000000]T根据:BfZBfTIl＝BfUS-BfZIS64A——关联矩阵；Y——导纳矩阵；——(n-1)个独立结点电压矩阵;——标准复合支路usk的矩阵;方向与支路方向相反时取“+”——标准复合支路isk的矩阵;方向与支路方向相反时取“+”设：Yn＝AYAT——称为结点导纳矩阵,这是个(n-1)阶的方阵。当电路中不含互感以及受控源时,Yn的主对角线元素为自导纳之和。其余元素为两独立结点之间的互导纳，均取“-”。

§15.5结点电压方程的矩阵形式(以独立结点电压为变量列出的方程——结点电压方程)-+Z(Yk)+-一、结点电压方程的矩阵公式65证明：用导纳表示的支路方程：独立结点电压Y＝Z-1又因为：-+Z(Yk)+-66(1)画出电路的有向图,选定独立节点和参考点。5V0.5

2

1

0.5

5

1

3A1A+-1①23456②③④二、列结点电压方程矩阵的步骤1、任选参考点时结点电压方程矩阵的列写步骤例1(2)求出A。以4为参考点。123A＝123456支节1100010-1110000-101-1(3)求出Y矩阵。67(5)代入公式，列出结点电压方程矩阵。根据：(4)写出5V0.5

2

1

0.5

5

1

3A1A+-1①23456②③④68例2

+-R1R51/j

C4j

L2R6j

L3解：110010

0-1110000-10-11①②③A＝123456

1①23465②③④写出节点电压方程的矩阵形式。(直接写出不给分)2、指定参考点时结点电压方程矩阵的列写步骤69

+-R1R51/j

C4j

L2R6j

L3根据：70例3R1C3L5R2L6

+u1-

+us2-is1g21u1C4-

us4

+

46i6i6is4100110

0010-11010-10-1①②③A＝