河北省唐山市2024届数学高二年级上册期末检测模拟试题含解析

河北省唐山市2024届数学高二上期末检测模拟试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若曲线/(*)=好的一条切线/与直线4x+y-3=0平行，贝!]/的方程为。

A.4x—j—4=0B.x+4j—5=0

C.x—4y+3=0D.4x+j+4=0

3

2.已知抛物线y=—V,则它的焦点坐标为（）

4

D.。,；

c-?°

3.瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直

线上，后人称这条直线为欧拉线.已知一ABC的顶点4(—3,0),3(1,3),其欧拉线方程为13x—33y+22=0,则顶点

C的坐标可以是()

A.（2,0）

C.（2,-l）D/-竺,当

11919J

4.T01是数列-5,-9,-13,-17,…中的第几项()

A第98项B.第99项

C.第100项D.第101项

5.已知空间向量。=(一1,0,3),b=(3-2,x),若心"则实数x的值是()

A.-1B.0

C.1D.2

（x1+〃

6.数列｛〃〃｝满足q=2,an+i=—,则%oi9=（）

I一4

A.-3B.-

3

1

C.----D.2

2

v2y2

7.设AB是椭圆二+=1（a>Z?>0）的长轴，若把AB一百等分，过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分

a~b2

于B、P2.....P99,F1为椭圆的左焦点，贝！JWAI+IG6I+IG2I++16/1+145|的值是（）

A.98iB.99a

C.100（2D.101（2

2222

8.已知椭圆二+匕=1与椭圆，+3~=1（左<4）,则下列结论正确的是（）

A.长轴长相等B.短轴长相等

C.焦距相等D.离心率相等

11

9.已知正实数x,，满足4y=4,则三寸+五瓦的最小值为（）

A.…

RJ立

15.-----1---

8423

c.L也D」+也

2422

10.直线/的一个方向向量为（2,3）,则它的斜率左为（）

31

A.-B.—

22

13

C.——D.一一

22

11.直线y=氐与椭圆二+当=1（。〉6〉0）交于A,3两点，以线段A3为直径的圆恰好经过椭圆的左焦点，则此

ab

椭圆的离心率为（)

A—B.4-28

2

Q6-ID.V3-1

,2

12.已知等差数列｛4｝满足％+&=28,则其前10项之和为（）

A.140B.280

C.68D.56

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

x+y>2

13.设实数X、y满足约束条件X-y<2,则Z=x+2y的最小值为,

1

y<—x

I2

2211］、

14.若斜率为左的直线/与椭圆C:上+匕=1交于A,B两点,且的中点坐标为彳,刀，贝！U=________1

32123)

15.直线Ar+8y+C=O与圆。：/+>2=4相交于两点M,N,若满足02=42+52,则S=

16.如图，在四棱锥尸-A5CD中，平面ABC£>,底面ABC。为矩形，R4=A3=1,A£>=2,E,尸分别为

AB,的中点，连接PE,CE,AP,则点尸到平面PCE的距离为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，正三棱柱ABC-AgG的侧棱长为3,底面边长为2,点〃为BC的中点，点N在直线CG上,

且MN,

(1)证明：MN±^ABXM.

(2)求平面和平面40N夹角的余弦值

+

18.(12分)数列数“｝满足%=1,nan+1=(n+l)an+n(n+1),n^N.

(1)证明：数列｛&｝是等差数列；

n

(2)设4=3"•禽，求数列｛〃｝的前〃项和S”.

19.(12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD,AB//CD,AD±DC,AB=AD=2DC=2,E为

P3的中点

(1)求证：CE//平面B4。；

(2)若巴4=4,求平面C0E与平面ABC。的夹角大小

20.(12分)已知圆M：x2+y2-4x-6y+12-0,过圆〃外一点P(3,—l)作圆”的两条切线Q4,PB,A,B

为切点，设。为圆”上的一个动点.

(1)求|PQ|的取值范围；

(2)求直线AB的方程.

21.(12分)已知抛物线C：>2=4%,直线/经过点A(m,O),且与抛物线。交于M,N两点,其中相>0.

(1)若加=1,且|AM|=4,求点拉的坐标；

(2)是否存在正数”，使得以MN为直径的圆经过坐标原点。，若存在，请求出正数小，若不存在，请说明理由.

22.(10分)已知抛物线y=2内("〉0)的焦点为F,点A(g,l)在抛物线上.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)过点加(2,0)的直线交抛物钱C于A,5两点，O为坐标原点，记直线。4,。5的斜率分别匕，k2,求证：匕&

为定值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解题分析】设切点为(5,%),则切线的斜率为2%,然后根据条件可得的值，然后可得答案.

【题目详解】设切点为(5,尤；)，因为/'(x)=2x,所以切线的斜率为2%

因为曲线/(x)=*2的一条切线/与直线4x+y—3=0平行，所以2%=—4,即5=-2

所以/的方程为y—4=-4(x+2),即4x+y+4=0

故选：D

2、D

【解题分析】将抛物线方程化标准形式后得到焦准距p=g,可得结果.

【题目详解】由丁=\好得所以2P=§,所以p=],

所以抛物线x2=1y的焦点坐标为(0,1).

故选：D.

【题目点拨】关键点点睛：将抛物线方程化为标准形式是解题关键.

3、C

【解题分析】设出点C坐标，求出一A5C的重心并代入欧拉线方程，验证并排除部分选项，余下选项再由外心、垂

心验证判断作答.

【题目详解】设顶点。的坐标为(a，刀，则ABC的重心坐标为(当一,丁)，

依题意，13x伫--33x——+22=0,整理得：13a—33b—59=0,

33

对于A,当a=2/=0时，13a—333—59=—33,不满足题意，排除A；

49404940

对于D,当。=—历力=历时，13a—33人-59=13x(—石)一33义历一59<0,不满足题意，排除D；

2424

对于B,当a=-1,>=-五时，13a-33/7-59=13x(-l)-33x(--)-59=0,

对于C,当a=2,Z?=—1时，13«—33Z?-59=13x2—33x(—1)—59=0,

33341

直线A3的斜率左=—,线段中点(―1,—),线段中垂线方程：y——=——(x+1),即4x+3y——=0,

42232

11

x=-----

4x+3y--=0QQ11QI

由《2解得：＜；，于是得的外心"(-右,六)，

213838

13x—33y+22=0y——

38

2_0

2457900aQ60

若点C(-l,-五)，则直线的斜率左'=9，线段BC中点(0,五)，该点与点”确定直线斜率为个产=-①,

38

显然|1x(-瑞)w-1,即点M不在线段3C的中垂线上，不满足题意，排除B；

313

若点C(2,—l),则直线3C的斜率《=-4,线段中点线段3c中垂线方程为：y-l=-(x-1),即

“5八JQ----1-1-

x-4y+—=0QQ|191

由＜2］解得＜；,即点(-一,一)为ABC的外心，并且在直线13x-33y+22=0上,

213838

4x+3y--=0y=—

-38

4

ABC边A8上的高所在直线：y+l=--(x-2),即4x+3y—5=0,

边3c上的高所在直线：y=；(x+3),即x—4y+3=0,

11

x=­

4%+3y=51911171117

由＜4-解得：贝！IABC的垂心H(历,历)，此时有13x历—33x历+22=0,

x-4y=-3

y——

-19

即一ABC的垂心在直线13x—33y+22=0上，选项C满足题意.

故选：C

【题目点拨】结论点睛：一ABC的三顶点A&,%),3(%,%)，以七，为)，贝！LABC的重心为田占+；+三，X+,+%).

4、C

【解题分析】利用等差数列的通项公式即可求解

【题目详解】设数列-5,-9,-13,…，是首项为％=—5,公差d=-4的等差数列{%},

tz„=—5+(n—1)x(—4)=-4n—1,

令一l=T01,得〃=100

故选：C

5、C

【解题分析】根据空间向量垂直的性质进行求解即可.

【题目详解】因为所以。力=0,因此有一lx3+0x（—2）+3x=0=x=l.

故选：C

6、C

【解题分析】根据已知分析数列周期性，可得答案

【题目详解】解：•••数列｛4｝满足q=2,«„+1=—

工—41•.

故数列｛«„｝以4为周期呈现周期性变化，

由2019+4=504LL3,

„1

故。2019—a3—~~，

故选C

【题目点拨】本题考查的知识点是数列的递推公式，数列的周期性，难度中档

7、D

【解题分析】根据椭圆的定义，写出|与耳+|&41=24,可求出|耳片|、|公乙|、、|耳与91的和，又根据关于纵轴成

对称分布，得到结果

详解】设椭圆右焦点为歹2,由椭圆的定义知I片引+1月n=2a（i=l,2,•••,99）,

99

+|）=2ax99=198a

i=l

由题意知4，鸟，…，之关于y轴成对称分布，

99199

£（1砧|）=弓£（|碑|+|月引）=99。

z=l'i=l

又|£A|+|£8|=2a,

故所求的值为101。

故选：D

8、C

【解题分析】利用左＜4,可得9一左＞4—左＞0且9一左-（4一人）=9-4,即可得出结论

【题目详解】•••左＜4,

:.9-k>4—左>0且9一左一(4-左)=9一4,

22

二椭圆上+2L=1与椭圆二+上=Kk<4)的关系是有相等的焦距

949-k4-k

故选：C

9、A

【解题分析】将4x+3y=4变形为含2x+l和3y+2的等式，即2(2x+l)+(3y+2)=8,再由换元法、基本不等式换“1”的代

换求解即可

【题目详解】由正实数x,y满足4x+3y=4,可得2(2x+l)+(3y+2)=8,

令a=2x+l,b—3y+2,可得2a+Z>=8,

32a+b12ab12a石、'即卜泻+字当且

x=-x|3+—+-|>-x3+2.——x—

2x+l3y+2abab88ba8ba?

lab

仅当=—时取等号,

ba

的最小值为3+Y2.

2x+l3y+284

故选：A

10、A

【解题分析】根据/的方向向量求得斜率上

【题目详解】(2,3)=2•(1,3-)且(1,k)是直线的方向向量，=93.

故选：A

11、D

【解题分析】根据题意作出示意图，根据圆的性质以及直线的倾斜角求解出4耳,A8的长度，再根据椭圆的定义求解

出区c的关系，则椭圆离心率可求.

【题目详解】设椭圆的左右焦点分别为4,B，如下图：

因为以线段A3为直径的圆恰好经过椭圆的左焦点，

所以。4=。3=。耳=。且人耳耳，所以AB=2c,

又因为y=班式的倾斜角为60°,所以NA。月=NBOR=60°,

所以8。耳为等边三角形，所以54=c,所以4耳=历匚而=gc,

因为OA=OB,OFX—OF2,AAOF2=/BOF、,

所以所以

BOFX=.AOF2,AE=5K=C,

所以AFJ+AF2=(g+l)c=2a,所以e=9=曰「石-1,

【解题分析】根据等差数列的性质，可得%+40=%+4=28,结合等差数列的求和公式，即可求解.

【题目详解】由题意，等差数列｛凡｝满足%+&=28,

根据等差数列的性质，可得q+a1。=%+4=28,

10x28

所以数列的前10项和为==•（"；+』）=140.

2

故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2

【解题分析】画出不等式组对应的可行域,平移动直线z=x+2y后可得目标函数的最小值.

【题目详解】不等式组对应的可行域如图所示:

x+y=2/、

由＜“c可得A（2,0）,故外=2+2、0=2,

x-y=2

故答案为：2.

14、-1

【解题分析】根据给定条件设出点A,8的坐标，再借助“点差法”即可计算得解.

【题目详解】依题意，线段A3的中点在椭圆C内，设A（%，X）,B（x2,y2）,

"i+2L=i

由1彳两式相减得：（玉—曲（石+々）+（%—%心+%）=0,

反+其=132

[32

而为+%2=L%+%=］，于是得」/2+）二为=0,即％=2——=-1,

333\-x2

所以左=-1.

故答案为：—1

15、6

【解题分析】由点到直线的距离公式，结合已知可得圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式可得|肱V卜然后可解.

|c|/、|c|

【题目详解】因为。2=人2+32,所以/I=1,所以，圆心（0,0）到直线的距离d=/「=1

VA2+B2y/^+B2

因为r=2,所以|脑V|=2/2—/=2百,

所以S/°N=g|MMd=6

故答案为：V3

2721

21

【解题分析】利用转化法，根据线面平行的性质，结合三棱锥的体积等积性进行求解即可.

【题目详解】设G是CD的中点，连接bG,因为歹是OP的中点，所以FG//PC,

因为FG<Z平面PCE,PCu平面PCE,所以EG//平面PCE,

因此点F到平面PCE的距离等于点G到平面PCE的距离，设为d,

因为平面ABC。，所以PA=AB=1,

于是有PE=A/PA2+AE2=<八］=—,

V42

底面ABC。为矩形，所以有CE={BC2+BE2

CA={BC2+B4=(4+1=5因为0A_L平面ABC。，所以Q4_LAC,

于是有：CP=VAC2+B42=75+1=76-

517

由余弦定理可知：4十丁一61,

cosZ-PEC=

2X瓢岁产

所以sinZPEC=V1-cos2ZPEC=.I1--=,

V85785

因此Sex旦姮x噌=叵,

•2227854

111

c=-XX2=J

S.ECG222

因为VG.PCE=Vp_cEG9

诉”iVH,_ii.,_2VH

/zT以一x•d——x-x1d—,

343221

故答案为：2叵

21

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)证明见解析

⑵痘

20

【解题分析】(1)证明AM，平面331GC,可得出A4,MN,再由MN,A与结合线面垂直的判定定理可证得

结论成立；

(2)以点加为坐标原点，AM>MC、A&的方向分别为x、V、z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向

量法可求得结果.

【小问1详解】

证明：正.ABC中，点”为的中点，.•.40L5C,

因为3用，平面ABC,AMu平面ABC,则

Q5CIBBi=B,则AM,平面

跖Vu平面34GC，则

又MNLABj,且AMAB}=A,.•.MN,平面4用0.

【小问2详解】

解：因为AM_LBC,以点河为坐标原点，AM-MC-A4的方向分别为％、丁、z轴的正方向建立如下图所示的

空间直角坐标系,

则9—6,0,0)、6(0,—1,0)、4(0,—1,3)、M(0,0,0),

设平面A班同的法向量为"=（尤,y,z）,BA=（-A/3,1,0）,BBt=（0,0,3）.

n-BA=-布＞x+y=0

则取x=l,可得〃=(1,6,0,

n•BB、=3z=0

AM，平面BBgC,B】Mu平面BB,CXC,则B}M1AM,

又因为与AMcMN=M,故与ML平面4W,

所以，平面AMN的一个法向量为蜘=（0,-1,3）,

n・MB\

贝(]cos＜〃,MB、＞=

刚“闵2x710-20,

因此，平面A34a和平面夹角的余弦值为Y丝.

20

18、（1）证明见解析；（2）邑=也工3鹏+3

44

【解题分析】（1）将“4+1=5+1）4+咒5+1）的两边同除以“5+1）,得到也=%+1,由等差数列的定义，即

zz+ln

可作出证明；

（2）有⑴求出d=3"•阮=〃-3",利用错位相减法即可求解数列出｝的前"项和S〃.

试题解析：

（1）证明：由已知可得*7=』+1,即--=1.

rtIInn*1n

所以是以；=1为首项，1为公差的等差数列

⑵由⑴得=1+（n—1）•l=n,所以an=n2.

n

从而bn=n•3n.

S„=l•3'+2•32+3•33H----Fn•3",①

23

3sli=1•3+2•3+-+(n-l)•3"+n•3"+)②

①一②得一2Sn=3i+32d---F3n-n•3n+1

n•3"+1

1-R

=(I2/Q<33

2

所以Sn=F"LI'二P

4

点睛：本题主要考查了等差数列的定义、等差数列的判定与证明和数列的求和，着重考查了学生分析问题和解答问题

的能力，本的解答中利用等差数列的定义得到数列为等差数列，求解明的表达式，从而化简得到包="-3”,

利用乘公比错位相减法求和中，准确计算是解答的一个难点.

19、(1)证明见解析

,、71

(2)-

4

【解题分析】(1)取中点加，连结证得CE//DM,利用线面平行的判定定理，即可求解；

(2)以A为原点，以A。方面为了轴，以A3方向为V轴，以"方向为z轴，建立坐标系，利用平面C0E和平面

ABC。的法向量的夹角公式，即可求解

【小问1详解】

取24中点连结EMQM,由EMIICD,EM=CD,

则CE/ADM,

又由。Afu平面PAD,CEZ平面PAD,所以CE//平面PAD.

【小问2详解】

以A为原点，以AD方面为左轴，以A3方向为V轴，以AP方向为z轴，建立坐标系，可得。(2,0,0),C(2,l,0),

P(0,0,4),3(0,2,0),E(0,l,2),

则C£>=(0,—1,0),CE=(—2,0,2),

设平面CDE的一个法向量为%=(x,y,z),

々。=0—y=0

则<即-2x+2z=。'令d则…°」)

nACE=O

又平面ABCD的法向量为巧=(0,0,1)；

々・％Ilx0+0x0+lxl|^2

贝!!cos0=----L=1

V2xl—2

JI

所以平面8E与平面所成的锐二面角为“

(2)x—4y+9=0

【解题分析】（1）求出PM,就可以求P0的范围；

⑵使用待定系数法求出切线的方程，再求求切点的坐标，从而可以求切点的连线的方程.

【小问1详解】

如下图所示，因为圆M的方程可化为（X—2）2+（y—3）2=1,

所以圆心“（2,3）,半径厂=1,

且怛闾=J（2—3）2+（3+吁二历，

所以|PQL=J^T，|PQL=J^+1

故|PQ|取值范围为［而-1,g+斗

【小问2详解】

可知切线Q4,依中至少一条的斜率存在，设为左，则此切线为丁+1=左（%-3）

即kx—y—3k—1—0,

\2k-3-3k-1\15

由圆心”到此切线的距离等于半径r,即］——7=~［=1,得上=—-

7^718

所以两条切线的方程为y+1=-£（x-3）和1=3,

8

（1943、

于是由联立方程组得两切点的坐标为（3,3）和石，石J

空-3

171

所以右8=而—=-

17-

故直线的方程为y—3=L(x—3)即x—4y+9=0

21、(1)卜