2022年重庆真题B卷合集语文数学英语

重庆市2022年初中学业水平暨高中招生考试

数学试卷（3卷）

（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）

注意事项：

L试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；

2.作答前认真阅读答题卡的注意事项；

3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色25铅笔完成；

'b4ac—b2'

参考公式：抛物线y=0χ2+云+c（≠0）的顶点坐标为一不一，对

6zI2.4a）

称轴为X=-，.

2a

一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给

出了序号为A、B、。、。的四个选项，其中只有一个正确的，请将答题卡上题

号右侧的正确答案所对应的方框涂黑.

1.-2的相反数是（）

11

A.—2B.2C.~D.-----

22

【答案】B

【解析】

【分析】根据相反数的定义可得结果.

【详解】因为-2+2=0,所以-2的相反数是2,

故选：B.

【点睛】本题考查求相反数，熟记相反数的概念是解题的关键.

2.下列北京冬奥会运动标识图案是轴对称图形的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可.

【详解】A.不是轴对称图形，故A错误；

B.不是轴对称图形，故B错误；

C.是轴对称图形，故C正确；

D.不是轴对称图形，故D错误.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两

旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.

3.如图，直线ɑ〃匕，直线与小6相交，若Nl=II5°,则N2的度数为（）

【答案】A

【解析】

【分析】根据两直线平行，同位角相等即可求得结果.

【详解】Va∕∕b,

.•./2=/1=115。（两直线平行同位角相等），

故选：A.

【点睛】本题考查了平行线的性质，比较简单，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

4.如图是小颖。到12时的心跳速度变化图，在这一时段内心跳速度最快的时刻约为

Λ.3时B.6时C.9时D.12时

【答案】C

【解析】

【分析】分析图象的变化趋势和位置的高低，即可求出答案.

【详解】解：；观察小颖。到12时的心跳速度变化图，可知大约在9时图象的位置最

高，

.∙.在O到12时内心跳速度最快的时刻约为9时，

故选：C

【点睛】此题考查了函数图象，由纵坐标看出心跳速度，横坐标看出时间是解题的关键.

5.如图，_ABC与..DEE位似,点O是它们的位似中心，且位似比为1：2,则-ABC与

Z）EF的周长之比是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根据位似图形是相似图形，位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比

即可求解.

【详解】解：；一ABC与,.DEF位似

ΛABCSADEF

,：-ABC与tDEF的位似比是1:2

_ABC与&DEF的相似比是1:2

-ABC与右。所的周长比是1:2

故选：A.

【点睛】本题考查了位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质和相似三角形的性质.

6.把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3

个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数

为（）

①②⅛

Λ15B.13C.11D.9

【答案】C

【解析】

【分析】根据第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：1+2=3；第③

个图案中菱形的个数：l+2χ2=5;…第〃个图案中菱形的个数：1+2(〃-1),算出第

⑥个图案中菱形个数即可.

【详解】解：：第①个图案中菱形的个数：1；

第②个图案中菱形的个数：1+2=3；

第③个图案中菱形的个数：l+2χ2=5;

第〃个图案中菱形的个数：1+2(〃—1),

.∙.则第⑥个图案中菱形的个数为：l+2χ(6-l)=ll,故C正确.

故选：C.

【点睛】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变

化规律.

7.估计A-4的值在()

A.6到7之间B.5到6之间C.4到5之间D.3至∣J4

之间

【答案】D

【解析】

【分析】根据49<54<64,得到7<病<8,进而得到3<庖-4<4,即可得到答案.

【详解】解：V49<54<64,

/.7<√54<8-

ʌ3<√54-4<4,即南一4的值在3到4之间，

故选：D.

【点睛】此题考查了无理数的估算，正确掌握无理数的估算方法是解题的关键.

8.学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵.设

该校植树棵数的年平均增长率为X,根据题意，下列方程正确的是()

A.625(1-%)2=400B.400(1+x)2=625

C.625x2=400D.400f=625

【答案】B

【解析】

【分析】第一年共植树400棵，第二年植树400(l+x)棵，第三年植树400(1+Λ)2棵，

再根据题意列出方程即可.

【详解】第一年植树为400棵，第二年植树为400(l+x)棵，第三年400(l+x)2棵，根

据题意列出方程：400(1+x)2=625.

故选:B.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，属于增长率的常规应用题，解决此类题目要多

理解、练习增长率相关问题.

9.如图，在正方形ABCQ中，对角线AC、BD相交于点。.E、F分别为AC、BD±.

一点，且OE=Ob,连接A尸，BE,EF.若NAFE=25。，则NCBE的度数为

C.65°D.70°

【答案】C

【解析】

【分析】根据正方形的性质证明aAO/丝ABOE(SAS),得到N08E=/QAR利用

OE=OF,NEoF=90。，求出NoEF=/。FE=45。，由此得到NoAF=NOEF-NAFE=20。，进

而得到NCBE的度数.

【详解】解：在正方形ABGD中，AO=BO,ZAOD=ZAOB=90o,ZCBO=45o,

∙.∙OE=OF,

：.∕∖AOF^^∖BOE(SAS),

NoBE=NoA凡

"JOE=OF,NEoF=90。，

.∙./OEF=NoFE=45°,

•：ZAFE=25°,

：./。AF=NOEF-NAFE=20。，

ZCBE=ZCBO+ZOBE=45o+20o=65o,

故选：C.

【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记正方形的性质是解题

的关键.

10.如图，AB是OO的直径，C为。。上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点

P，若AC=PC=3日则PB的长为（）

A.√3B.IC.2√3D.3

【答案】D

【解析】

【分析】连接OC,根据AC=PC,OC=OA,证出NA=NoC4=NP,求出

OCPC

NA=NOC4=NP=30°,在心△(?PC中，tanZP=——，cosNP=^—,解得

PCOP

OC、OP的长度即可求出PB的长度.

【详解】解：连接。C，如图所示，

∙:AC=PC,

.∙.NA=NP,

■：OC=OA,

.*.ZA=ZOCA,

：.ZA-ZOCA=ZP,

VPC是。。的切线，

NOCP=90。，

∙.∙∕A+NP+NOC4+NOCP=180°,

ZA=ZOCA=NP=30°,

OCPC

在用AQPC中，tanZP=,CoSNP=,

iPCOP

LnCP=PC=36

∙,∙OC-PC×tanΛP—3√3×——3>CoSNPʌ/ɜ,

3—

2

VPB=OP-OB,OB=3,

PB=3,

故选D.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、切线的性质、解直角三角形等知识点，正确作出

辅助线是解答此题的关键.

11.关于X的分式方程至二4+W∙=1的解为正数，且关于），的不等式组

x-33-x

y+9≤2（y+2）

<2y-a^ɪ的解集为则所有满足条件的整数。的值之和是（）

.3

A.13B.15C.18D.20

【答案】A

【解析】

【分析】先通过分式方程求出a的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a的另一个

取值范围，两个范围结合起来就得到a的有限个整数解.

【详解】由分式方程的解为整数可得：3x—a—x—l=x—3

解得：x=a-2

又题意得：a—2>0且。一2。3

，a>2且a工5,

由y+9≤2(y+2)得：j≥5

.2y-a3+a

由上——>1得：y>------

3'2

解集为>25

解得：a<7

综上可知α的整数解有：3,4,6

它们的和为：13

故选：A.

【点睛】本题考查含参数的分式方程和含参数的不等数组，掌握由解集倒推参数范围是本

题关键.

12.对多项式χ-y-z一机一”任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为

“加算操作”，例如：(x-y)-(Z-m-〃)=x-y-z+〃2+〃，

x-y-(z-m)-n-x-y-z+m-n,…，给出下列说法：

①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；

②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；

③所有的''加算操作”共有8种不同的结果.

以上说法中正确的个数为()

ʌ.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】给》一丁添加括号，即可判断①说法是否正确；根据无论如何添加括号，无法使

得X的符号为负号，即可判断②说法是否正确；列举出所有情况即可判断③说法是否正

确.

【详解】解：V^x-y)-z-m-n=x-y-z-m-n

；・①说法正确

∖'X-y-z-m-n-x+y+z+m+n=0

又Y无论如何添加括号，无法使得X的符号为负号

②说法正确

：当括号中有两个字母，共有4种情况，分别是(龙一y)—z—m―〃、

x—^y—z)—m—n,x-y-^z-rn)-n,x-y-z-[ιn-ri)；

当括号中有三个字母，共有3种情况，分别是(x-y-z)一6一〃、x-(y-z-m)-n,

x—y—^z—m—n^；

当括号中有四个字母，共有1种情况，(x-y-Z—加一”)

共有8种情况

.∙.③说法正确

正确的个数为3

故选D.

【点睛】本题考查了新定义运算，认真阅读，理解题意是解答此题的关键.

二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在

答题卡中对应的横线上.

13.∣-2∣+（3-√5）°=.

【答案】3

【解析】

【分析】先计算绝对值和零指数累，再进行计算即可求解.

【详解】解：∣-2∣+（3-君）°=2+l=3

故答案为：3.

【点睛】本题考查了实数的运算，解答此题的关键是要掌握负数的绝对值等于它的相反

数，任何不为O的数的O次嘉都等于1.

14.不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个球后，

放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率是

4

【答案】-

【解析】

【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再根据概率公式求

解即可.

【详解】解：画树状图如下：

开始

红红白

/N/K∕T∖

红红白红红白红红白

由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有4种结果,

4

所以两次都摸到红球的概率为一，

9

_4

故答案为：—■.

【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情

况数之比.

15.如图，在矩形A8C。中，AB=I,BC=2,以8为圆心，BC的长为半轻画弧，交

AD于点E.则图中阴影部分的面积为，（结果保留无）

【答案】ɪ

3

【解析】

【分析】先根据特殊角的锐角三角函数值，求出N4BE，进而求出NEBC,再根据扇形

的面积公式求解即可.

【详解】解：；矩形ABC。，

.∙.ZA=ZABC=90°,

以8为圆心，BC的长为半轻画弧，交AO于点E,BC=I,

..BE=BC=I,

在用Z∖A6E中，AB=I,

/…AB1

.∙.cosNABE==一,

BE2

/.ZABE=60°,

ΛZEBC=90o-60o≡30°,

2

30π×2兀

S阴影=

3603

故答案为：一.

3

【点睛】本题考查了由特殊角的三角函数值求角度数，矩形的性质，扇形的面积的计算，

综合掌握以上知识点并熟练运用是解题的关键.

16.特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，

每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%.该店五月份销售桃片、

米花糖、麻花的数量之比为1：3：2,三种特产的总利润是总成本的25%,则每包米花糖与

每包麻花的成本之比为.

【答案】4：3

【解析】

【分析】设每包麻花的成本为X元，每包米花糖的成本为y元，桃片的销售量为〃7包，则

每包桃片的成本为2%元，米花糖的销售量为3m包，麻花的销售量为2”?包，根据三种特

4,▲上,2x-20%∙m+30%∙3m+20%x∙2m__“

产的总利润是总成本的25%列得---------------L~------------=25%n/,计算可

2mx+3my+2mx

得.

【详解】解：设每包麻花的成本为X元，每包米花糖的成本为y元，桃片的销售量为，〃

包，则每包桃片的成本为2x元，米花糖的销售量为3,”包，麻花的销售量为2加包，由题

意得

2x-20%∙m+30%^∙3>m+20%x∙2m

=23Λ）,

2mx+3my+2twc

解得3γ=4x,

.∙.y:x=4：3,

故答案为：4：3.

【点睛】此题考查了三元一次方程的实际应用，正确理解题意确定等量关系是解题的关

键.

三、解答题（共2个小题，每小题8分，共16分）

17.计算：

（1）（x+y）（x-y）+y（y-2）;

(,m∖m2-Am+4

(2)1---------÷——ʒ-----------

∖m+2)m~-4

【答案】（1）x2-2y

【解析】

【分析】（1）根据平方差公式和单项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可;

（2）先将括号里通分计算，所得的结果再和括号外的分式进行通分计算即可.

【小问1详解】

解：(χ+y)(χ-y)+y(y-2)

-X*1-y2+y2-Iy

=X2-2y

【小问2详解】

K(m∖m2-4m+4

解：Uλ--------÷一r—

Im+2)m-4

_m-∖-rλ-m(m-2)"

m+2(∕n+2)(∕n-2)

2(m+2)(∕n-2)

/篦+2(m—2)2

2

m-2

【点睛】本题考查了平方差公式、单项式乘多项式、合并同类项、分式的混合运算等知识

点，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

18.我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为m高为力的

三角形的面积公式为S=Ja想法是：以BC为边作矩形BCFE,点A在边庄上，再

2

过点A作BC的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证.按以

上思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规过点A作BC的垂线A。交BC于点

。.(只保留作图痕迹)

在，AoC和中，

∖∙ADXBC,

NAr)C=90。.

VZF=90°,

—①一•

,/EF//BC,

一②

又,：—③.

ʌ∆ADC^∆CE4(AAS).

同理可得：④.

SABC=SAOC+SABD=]S矩形ADCF+/S矩形AESD=万S矩形^CFE=]'龙.

【答案】图见解析，ZADC=ZF;Z1=Z2;AC=AGΔABD^ΔBAE

【解析】

【分析】根据垂线的作图方法作图即可，利用垂直的定义得到Z4OC=∕F,根据平行线的

性质得到N1=N2,即可证明△4£>C会4C4F,同理可得aABO会4B4E,由此得到结论.

【详解】解：如图，A。即为所求，

在，ADC和△€¥%中，

,.∙ADYBC,

：.ZADC=90。.

VZF=90°,

.*.ZADC=ZF.

'：EF//BC,

ΛZ1=Z2.

XVAC=AC.

.∙.∆ADC^∆CE4（AAS）.

同理可得：Z∖ABOgZ∖BAE.

=a

SABC=SΛDC+Sabd——S矩形ADeF+-S矩形AEBD=/S矩形BCFE~h■

故答案为：ΛADC=AF；/1=/2;AC=AC;ΔABD^∕∖BAE.

【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，垂线的作图方法，矩形的性质，熟练掌握

三角形的判定定理是解题的关键.

三、解答题（共7个小题，每小题10分，共70分）

19.在“世界读书日”到来之际，学校开展了课外阅读主题周活动，活动结束后，经初步

统计，所有学生的课外阅读时长都不低于6小时，但不足12小时，从七，八年级中各随机

抽取了20名学生，对他们在活动期间课外阅读时长（单位：小时）进行整理、描述和分析

（阅读时长记为X,6≤x<7,记为6；7<x<8,记为7；8≤x<9,记为8；…以此

类推），下面分别给出了抽取的学生课外阅读时长的部分信息，

七年级抽取的学生课外阅读时长：

6,7,7,7,1,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,9,10,10,11,

七、八年级抽取的学生课外阅读时长统计

表

年级七年级八年级

平均数8.38.3

众数a9

中位数8b

8小时及以上所占百分比75%c

八年级抽取的学生课外阅读时长条形统计图

(1)填空：a=,b=,C=.

(2)该校七年级有400名学生，估计七年级在主题周活动期间课外阅读时长在9小时及以

上的学生人数.

(3)根据以上数据，你认为该校七，八年级学生在主题周活动中，哪个年级学生的阅读积

极性更高？请说明理由，(写出一条理由即可)

【答案】⑴案8.5,65%

(2)160名(3)八年级阅读积极性更高.理由：七年级和八年级阅读时长平均数一样，

八年级阅读时长的众数和中位数都比七年级高(合理即可)

【解析】

【分析】(1)根据众数、中位数、百分比的意义求解即可；

(2)用400名学生乘七年级在主题周活动期间课外阅读时长在9小时及以上所占的百分比

即可求解；

(3)根据七年级阅读时长为8小时及以上所占百分比比八年级高进行分析即可.

【小问1详解】

解：♦.•七年级学生阅读时长出现次数最多是8小时

众数是8,即a=8

∙;将八年级学生阅读时长从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为=8.5

2

八年级学生阅读时长的中位数为8.5,即b=8.5

八年级学生阅读时长为8小时及以上的人数为13

13

.∙.八年级学生阅读时长为8小时及以上所占百分比为一X100%=65%,BPc=65%

20

综上所述：a=8,0=8.5,c=65%

小问2详解】

Q

解：400×-=160（名）

20

答：估计七年级在主题周活动期间课外阅读时长在9小时及以上的学生人数为160名.

【小问3详解】

解：；七年级和八年级阅读时长平均数一样，八年级阅读时长众数和中位数都比七年级高

•••八年级阅读积极性更高（合理即可）

【点睛】本题考查了条形统计图、统计表、众数、中位数等知识点，能够读懂统计图和统

计表并理解相关概念是解答本题的关键.

44

20.反比例函数>=一图象如图所示，一次函数y=丘+b（Z≠0）的图象与y=-的

XX

图象交于4m,4）,6（-2,〃）两点，

o

j:

∙-3al∙

,-5l.

（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中面出该函数的图象;

4

（2）观察图象，直接写出不等式丘+〃<—的解集；

X

（3）一次函数V=履的图象与X轴交于点C,连接Q4,求AoAC的面积.

【答案】（1）一次函数的表达式为y=2x+2；函数图象见解析；

（2）无<—2或0<x<l

(3)2

【解析】

4

【分析】(1)把4八4),8(—2,〃)分别代入y=-求出机，”的值，再运用待系数法求出

X

a,〃的值即可；

(2)根据交点坐，结合函数图象即可解答；

(3)先求出点C的坐标，再根据三角形面积公式求解即可.

【小问1详解】

4

；一次函数y=-+6(Z≠0)的图象与y=一的图象交于4肛4),5(—2,〃)两点，

X

4

.∙.把A(m,4),8(—2,〃)分别代入y=一,得，

X

Am=4,-2〃=4,

解得，m=l,n=-2,

：.A(l,4),B(-2,-2),

把A(l,4),8(-2,-2)代入y=履+3,得：

'k+b=4

'j2k+b=-2'

'∣i-2

解得，1,C

b=2

一次函数的表达式为y=2x+2；

画出函数图象如下图：

X

・・・当xv—2或OVXVl时，一次函数图象在反比例函数图象的下方,

一4

不等式kx+b<-的解集为x<-2或OVXV1；

X

【小问3详解】

如图，

对于y=2x+2,当y=0时，2x+2=0,

解得，x=—1,

・・・点。的坐标为(-1,0)

VΛ(1,4)

∙,∙SAAOC=g∙°c∙y.=gx1x4=2

【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等

式的关系.

21.为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠.

(1)计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建

20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？

(2)因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙

施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工.甲施工队按(1)中增加人员后

的修建速度进行施工.乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%,

灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同.求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少

米？

【答案】(I)IoO米

(2)90米

【解析】

【分析】(1)设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠X米，原来每天修建(X-20)米，

根据工效问题公式：工作总量=工作时间X工作效率，列出关于X的一元一次方程，解方

程即可得出答案；

(2)设乙施工队原来每天修建灌溉水渠J米，技术更新后每天修建(l+20%)y米，根据水

渠总长1800米，完工时，两施工队修建长度相同，可知每队修建900米，再结合两队同时

开工修建，直至同时完工，可得两队工作时间相同，列出关于y的分式方程，解方程即可

得出答案.

小问I详解】

解：设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠X米，原来每天修建(x-20)米，

则有5(x-20)+2x=600

解得X=IoO

，甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米.

【小问2详解】

Y水渠总长1800米，完工时，两施工队修建长度相同

两队修建的长度都为1800÷2=900(米)

乙施工队技术更新后，修建长度为900—360=540(米)

解：设乙施工队原来每天修建灌溉水渠)，米，技术更新后每天修建(1+20%))，米，即1.2y

米

一540360900

则有——+——=——

r1.2yy100

解得y=90

经检验，y=90是原方程的解，符合题意

，乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米.

【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程的实际应用，应注意分式方程要检验，读懂题

意，正确设出未知数，并列出方程，是解题的关键.

22.湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援.位于湖面B点处的快艇和湖岸A

处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援.计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿

C4方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上.已知C在4的北偏东30°方向

上，8在A的北偏东60°方向上，且B在C的正南方向900米处.

（1）求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：6=1.732）;

（2）救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇

能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由.（接送游客上下船的时间忽略不计）

【答案】（1）湖岸A与码头C的距离为1559米

（2）在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船

【解析】

【分析】（1）过点A作CB垂线，交CB延长线于点O,设比＞=x,则AB=2x,

AD=瓜,CZ）=900+x,在RfAAC。中，tanZCAP=——，即可求出χ=450,

AD

CD

根据∕⅛A48中，sinZCAD=—即可求出湖岸A与码头C的距离；

AC

（2）设快艇将游客送上救援船时间为r分钟，根据等量关系式：救援船行驶的路程+快艇

行驶的路程=BC+AC,列出方程，求出时间，，再和5分钟进行比较即可求解.

【小问1详解】

解：过点A作CB垂线，交CB延长线于点。，如图所示，

由题意可得：ZNAB=ωo,ZΛMC=30o,CB=900米，则NC4D=60°,

ZBAD=30°

设8L>=x,则AB=2x,AD=瓜,8=900+x,

CD

在用ZXACD中，tanZCAD=——,

AD

/T900÷X

ʌvɜ=—-，解得X=450,

CD

在心zMCZ）中，SinZCAD=——,

AC

AC=900要0=go。6=900x1.732=1558.8≈1559

.∙.√∣（米），

ɪ

.∙.湖岸A与码头。的距离为1559米；

【小问2详解】

解：设快艇将游客送上救援船时间为r分钟，

由题意可得：150r+400。=900+1559,

tα4.47<5,

.∙.在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形及其应用，一元一次方程应用中的行程问题、含

30°角的直角三角形的三边关系等知识点，找到等量关系式，构建直角三角形是解答本题

的关键.

23.对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N,若N能被它的各数位上的数字之

和机整除，则称N是，”的“和倍数”.

例如：∙.∙247÷(2+4+7)=247÷13=19,.∙.247是13的''和倍数”.

又如：∙.∙214÷(2+l+4)=214÷7=304,.∙.214不是“和倍数”.

(1)判断357,441是否是“和倍数”？说明理由；

(2)三位数A是12的“和倍数”，a,b,C分别是数A其中一个数位上的数字，且

a>h>c.在a,b,C中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为b(A),最小的两位

数记为G(A),若"(A)+G(A)为整数,求出满足条件的所有数A.

16

【答案】(1)357不是15“和倍数”，441是9的“和倍数”；理由见解析

(2)数A可能为732或372或516或156

【解析】

【分析】(1)根据题目中给出的“和倍数”定义进行判断即可；

(2)先根据三位数A是12的“和倍数”得出α+〃+c=12,根据a>∕>c,F(A)是最

大的两位数，G(A)是最小的两位数，得出歹(A)+G(A)=10a+2Z?+10c,

FXA)+G(A)=女(A为整数)，结合α+b+c=i2得出匕=15—2Z,根据已知条件得出

16

IVbv6,从而得出匕=3或6=5,然后进行分类讨论即可得出答案.

【小问1详解】

解：∙.∙357÷(3+5+7)=357÷15=23……12,

.∙.357不是15“和倍数”；

∙.∙441÷(4+4+l)=441÷9=49,

.∙.441是9的''和倍数”.

【小问2详解】

；三位数A是12的“和倍数”，

∙*∙α+Z?+C=I2,

•：a>b>c,

.∙.在a,b,C中任选两个组成两位数，其中最大的两位数/(A)=IOa+8,最小的两位数

G(A)=IOc+",

.∙.F(A)+G(A)=↑0a+b+10c+b=10a+2b+↑0c,

..F(A)+G(A)

为整数,

16

设,⑷[G(A)=%*为整数),

16

.10a+2A>+10c.

则rl-------------=k,

16

整理得：5a+5c+b^Sk,

木艮据a+Z?+c=12得：a+c=12-b,

,."a>b>c,

Λ∖2-b>b,解得K6,

・；“和倍数”是各数位上的数字均不为0的三位自然数，

a>b>cX),

.,.b>l,

：.l<b<6,

把α+c=12—b代入5α+5c+λ>=8kW-：

5(12—b)+O=8A,

整理得：b=T5-2k,

Vl<b<6,k为整数，

二。=3或b=5,

当b=3时，α+c=12-3=9,

'.'a>h>Cx),

∙,∙a>3,OVCO,

α=7,8=3,c=2,或a=8,b=3,c=l,

要使三位数A是12的“和倍数”，数A必须是一个偶数，

当α=7,b=3,c=2时，组成的三位数为732或372,

∙.∙732÷12=61,

.∙∙732是12的“和倍数”，

；372÷12=31,

∙∙.372是12的“和倍数”；

当a=8,b=3,C=I时，组成的三位数为318或138,

•；318+12=26……6,

.∙∙318不是12的“和倍数”,

138+12=11……6,

.∙.138不是12的“和倍数”；

当b=5时，α+c=12-5=7,

".'a>b>CX),

5<a<7,

.∙.α=6,b=5,c=l,组成的三位数为516或156,

∙.∙516÷12=43,

.∙.516是12的“和倍数”,

V156÷12=13,

.∙.156是12的“和倍数”；

综上分析可知，数A可能为732或372或516或156.

【点睛】本题主要考查了新定义类问题，数的整除性，列代数式，利用数位上的数字特征

和数据的整除性，是解题的关键，分类讨论是解答本题的重要方法，本题有一定的难度.

24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-一一+必+。与》轴交于点4(4,0),与＞轴

4

交于点B(0,3).

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点尸为直线AB上方抛物线上一动点，过点尸作PQJ∙X轴于点。，交AB于点M,

求PW+∙∣AM的最大值及此时点尸的坐标；

3

(3)在(2)的条件下’点P与点尸关于抛物线一1f9+法+c的对称轴对称.将抛

3

物线y=——/+瓜+。向右平移，使新抛物线的对称轴/经过点A.点C在新抛物线上,

4

点。在/上，直接写出所有使得以点4、P、C、。为顶点的四边形是平行四边形的点。

的坐标，并把求其中一个点。的坐标的过程写出来.

3o

【答案】(1)ʃ=-√+^%+3

44

(2)PM+9"A最大值为：—,p(l,2

54I2

D4,4599

⑶^τiP。吟16、16

【解析】

3

【分析】(1)将A(4,0)∖8(0,3)代入抛物线丁=一1*2+法+C,即可求出抛物线的解

析式；

(2)根据AAQMsAiAOB得到。5:。4:AB=QM:QA:AΛ∕=3:4:5,推出

AM=^MQ,即可得到(AM=2MQ,则PM+SM4=PM+2MQ,求出直线AB

的解析式为：y=-^χ+3»设p[，然,—：〃广+W加+3),则Λ∕[∕”,一丁”+3

β(m,0),求出「M+2MQ=-((W-I『+子，即可求解;

3117A(4,0),Pp,1\设

(3)先求出平移后新抛物线解析式：

(3117)

0(4,。，Clc,-^-c2+6c--I,再利用平行四边形中心对称性分情况列出方程组求

解即可.

【小问1详解】

3

/、/、3ɔO——×4^^7÷4b+c

解：将4(4,0)、8((),3)代入抛物线丁=一二一+笈+,可得：J4,

4c=3

9

解得匕=:，

4

3Q

.∙.抛物线的函数表达式为：y=--√+-χ+3

44s

【小问2详解】

解：∙.∙A(4,0)∖3(0,3),

：•OB=3，OA=4,

在RfAOB中，AB=y]θB2+OA1=√32+42=5-

∙.∙ZAQM=ZAOB,ZBAO=ZBAO,

.∙.∆AQM^∆AOB,

：.OB:OA:AB=QMιQA:AM^3:4:5,

.∖AM^MQ,

.∙ΛAM^2MQ,

.∙.PM+∣M4=PM+2MQ,

设直线AB的解析式为：y=kχ+b,

/、/、'Q=4k+b3

将4(4,0)、B((),3)代入可得：b—3,解得％=一“

，直线AB的解析式为：y=-→+3,

4

设P(如一:加2+,m+3],则Mm,一■1加+3),Q(〃z,0),

PM÷2Λ∕β=-ɪm2÷-∕n÷3-∣--AΠ÷3∣+2--m+3j=--∕n2+—m+6=-—(z/z-l)2÷-

44(44J424v74

3

β/—<0,OVm<4,

4

.∙.当机=1时，存在PM+gMA最大值，最大值为：—,此时尸[1，3]；

54\2)

【小问3详解】

3

解：：对称轴为：X=1，

2

‘P用,

：直线/：x=4,

，抛物线向右平移士个单位，

2

.口=一，2+6AE

416

A(4,θ),p[2,5),设D(4,/),c(c,--c^+6c--j^-

c=2

①以AP'、DC为对角线时,，解得,—竺

-16

4+2=4+c

②以PZ＞、Ae为对角线时，■,+∣=0+，解得《45

Tδ

4+4=2+c

③以A。、PC为对角线时，↑,、9(3,z117V解得〈99

f+0=—+1——c+6c------t=——

〔2I416)[16

【点睛】本题考查了二次函数的解析式、一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边

形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是能够熟练应用待定系数法求

得二次函数和一次函数解析式.

25.在ABC中，NBAC=90°，AB=AC=2五,。为BC的中点，E,尸分别为

AC,AO上任意一点，连接Eb,将线段Eb绕点E顺时针旋转90°得到线段EG,连

接尸G,AG.

(1)如图1,点E与点C重合，且G尸的延长线过点B，若点P为AG的中点，连接

PD，求PZ)的长；

(2)如图2,Ef'的延长线交AB于点M,点N在AC上，ZAGN=NAEG且

GN-MF,求证：AM+AF=y∣2AE；

(3)如图3,F为线段Ar)上一动点，E为AC的中点，连接BE,H为直线BC上一动

点，连接，将ABEH沿£“翻折至,ABC所在平面内，得到ΛB,EH，连接B'G,

直接写出线段B'G的长度的最小值.

【答案】(1)2(2)见解析

(3)√W-√2

【解析】

【分析】(1)根据已知条件可得。为BC的中点，证明CPLBG,进而根据直角三角形

斜边上的中线等于斜边的一半即可求解；

⑵过点E作硝_LAE交AO的延长线于点H,证明AEG^,HEF(SAS),

_AGB^_AMF(AAS),可得AG=AF，进而根据AF+AM=FH+AF=A”,

AH=yfiAE即可得出结论，

(3)根据(2)可知NE4G=90°,当点F在线段AO上运动时，点G在平行于BC的

线段上运动，根据题意作出图形，根据点到圆上的距离求最值即可求解.

【小问1详解】

如图，连接CP

将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，

ZXFCG是等腰直角三角形，

P为尸G的中点，

.-.CPVFG,

..CP=PF,

NPFC=NFCP=45。,

ZBAC=90°,。为6C的中点，AB=AC=2√2.

.∙.ADlBC,BC=OAB=4,

.*.AD=DC9

在RjPBC中，PD=LBC=2；

2

【小问2详解】

如图，过点E作EHJ_AE交AO的延长线于点“，

H

.EFLEG,HELAE,

ZHEF+NFEA=NFEA+ZAEG=90°,

.∙.ZHEF=ZAEG,

ZDAE=ZDAC=45o,

ZAEH是等腰直角三角形，

..AE=EH，

：.AH=