超静定结构与弯矩分配法

超静定结构与弯矩分配法第1页，课件共37页，创作于2023年2月第一节超静定结构和静定结构的差别一、几何组成分析超静定梁：静定梁：有多余支座几何可变静定结构是没有多余约束的几何不变体系超静定结构是有多余约束的几何不变体系第2页，课件共37页，创作于2023年2月二、超静定结构的优缺点1.超静定结构的优点1）超静定结构在抵抗外荷载时具有较大的刚度。刚度：力在所作用点产生单位位移时所需的力。第3页，课件共37页，创作于2023年2月静定梁超静定梁第4页，课件共37页，创作于2023年2月2)超静定结构与静定结构相比具有较低的应力连续性第5页，课件共37页，创作于2023年2月2.超静定结构的缺点连续性1）支座沉降会引起内力和变形可能导致超载超静定三跨连续梁支座B相对沉降对于超静定结构，可以导致结构变形的任何原因，如相对的沉陷、温度改变引起的杆件长度变化或者制造误差等，都会使整个结构产生内力。第6页，课件共37页，创作于2023年2月1、超静定结构是有多余约束的几何不变体系；2、超静定结构的全部内力和反力仅有平衡条件求不出，还必须考虑变形条件；如在力法计算中，多余未知力由力法方程（变形条件）计算。再由M=∑MiXi+MP叠加内力图。如只考虑平衡条件画出单位弯矩图和荷载弯矩图，Xi是没有确定的任意值。因此单就满足平衡条件来说，超静定结构有无穷多组解答。3、超静定结构的内力与材料的物理性能和截面的几何特征有关，即与刚度有关。荷载引起的内力与各杆的刚度比值有关。因此在设计超静定结构时须事先假定截面尺寸，才能求出内力；然后再根据内力重新选择截面。另外，也可通过调整各杆刚度比值达到调整内力的目的。小结：第7页，课件共37页，创作于2023年2月l/2l/2Pl/4PPPPPl/4

5、超静定结构的多余约束破坏，仍能继续承载。具有较高的防御能力。6、超静定结构的整体性好，在局部荷载作用下可以减小局部的内力幅值和位移幅值。PlP多余约束约束的存在，使结构的强度、刚度、稳定性都有所提高。μ=1μ=1/2第8页，课件共37页，创作于2023年2月1MABMBA等截面杆件的刚度方程一、由杆端位移求杆端弯矩（1）由杆端弯矩MABMBAl

MABMBA利用单位荷载法可求得设同理可得1杆端力和杆端位移的正负规定①杆端转角θA、θB，弦转角

β＝Δ/l都以顺时针为正。②杆端弯矩对杆端以顺时针为正对结点或支座以逆时针为正。EI第9页，课件共37页，创作于2023年2月EIMABMBAl

MABMBA

（2）由于相对线位移引起的A和B以上两过程的叠加我们的任务是要由杆端位移求杆端力，变换上面的式子可得：第10页，课件共37页，创作于2023年2月ΔθAθB用力法求解单跨超静定梁X1X2Δ1/l1/lX2=112M1MX1=11令第11页，课件共37页，创作于2023年2月可以将上式写成矩阵形式第12页，课件共37页，创作于2023年2月

AMAB几种不同远端支座的刚度方程（1）远端为固定支座

AMABMBA因

B=0，代入(1)式可得（2）远端为固定铰支座因MBA=0，代入(1)式可得

AMABMBA（3）远端为定向支座因代入（2）式可得lEIlEIlEI第13页，课件共37页，创作于2023年2月由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。单跨超静定梁简图MABMBAQAB=QBA4i2iθ=1ABAB1AB10ABθ=13i0ABθ=1i－i0第14页，课件共37页，创作于2023年2月二、由荷载求固端反力mABEIqlEIqlmBA

»在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式（转角位移方程）：第15页，课件共37页，创作于2023年2月第二节超静定结构的计算方法概述1.力法是将超静定结构的多余未知力作为首先解决的对象，通过把多余未知力计算出未成为已韧力以后，剩下的问题便可归结为静定结构的计算。2.位移法是通过向原结构中沿独立位移方向人为地添加约束，并引入未知位移作为首先解决的现象，当把未知的节点位移计算出来以后，剩下的问题就可以把杆件的杆端弯矩求出，又使问题成为静定结构的计算。3.有限元法或称结构矩阵分析。4.渐进法第16页，课件共37页，创作于2023年2月1、线性代数方程组的解法:直接法渐近法2、结构力学的渐近法力学建立方程，数学渐近解不建立方程式，直接逼近真实受力状态。其突出的优点是每一步都有明确的物理意义。3、不建立方程组的渐近解法有：(1)弯矩分配法：适于连续梁与无侧移刚架。(2)无剪力分配法：适于规则的有侧移刚架。(3)迭代法：适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架。它们都属于位移法的渐近解法。渐近法概述第17页，课件共37页，创作于2023年2月弯矩分配法的基本概念弯矩分配法理论基础：位移法；计算对象：杆端弯矩；计算方法：逐渐逼近的方法；适用范围：连续梁和无侧移刚架。表示杆端对转动的抵抗能力。在数值上=仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。1SAB=4i1SAB=3iSAB=i1SAB=0SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，而与近端支承无关。一、转动刚度S：第18页，课件共37页，创作于2023年2月分配系数SAB

=4i1SAB=3i11SAB=i二、分配系数设A点有力矩M，求MAB、MAC和MADCABDiABiACiADM如用位移法求解：MMABMACMAD于是可得第19页，课件共37页，创作于2023年2月三、传递系数MAB=4iAB

AMBA=2iAB

AMAB

=3iAB

AMAB=iAB

AMBA=-iAB

A在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。

AlAB近端远端AB

A

AAB第20页，课件共37页，创作于2023年2月四、杆端弯矩:支座对靠近支座的杆件这一端的弯矩1.计算杆端弯矩的目的2.近端弯矩和远端弯矩3.杆端弯矩一律以顺时针方向为正第21页，课件共37页，创作于2023年2月固端弯矩：对单跨超静定梁仅由荷载引起的杆端弯矩，称为固端弯矩，用表示。MM五、固端弯矩将每相邻两节点之间的杆件视为一根两端支座为固定支座的单跨梁，这样的梁在各种外荷载作用下的杆端弯矩叫做固端弯矩。第22页，课件共37页，创作于2023年2月——基本运算ABCABCMBMBABC-MB0-MB+=最后杆端弯矩：MBA=MBC=MAB=然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。固端弯矩带本身符号单结点的弯矩分配第23页，课件共37页，创作于2023年2月例1.用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。3m3m6mEIEI200kN20kN/m（1）B点加约束ABC200kN20kN/mMAB=MBA=MBC=MB= MBA+MBC=-150150-90（2）放松结点B，即加-60进行分配60ABC-60设i=EI/l计算转动刚度：SBA=4iSBC=3i分配系数：0.5710.429分配力矩:-34.3-25.7-17.20+(3)最后结果。合并前面两个过程ABC0.5710.429-150150-90-34.3-25.7-17.20-167.2115.7-115.70167.2115.730090M图(kN·m)ABC=第24页，课件共37页，创作于2023年2月多结点的弯矩分配ABCD

B

CMBAMBCMCBMCDMABMBMCmBAmBCmCB-MB放松，平衡了MC’固定放松，平衡了-MC’固定固定放松，平衡了——渐近运算第25页，课件共37页，创作于2023年2月CB例1.用弯矩分配法列表计算图示连续梁。ABCD6m6m4m4mEI=1EI=2EI=120kN/m100kN

0.40.60.6670.333m-6060-100100分配与传递-33.3-66.7-33.429.4442214.7-14.7-7.3-7.34.42.92.2-1.5-0.7-0.70.30.41.50.2-43.692.6-92.641.3-41.3Mij043.692.6133.141.3ABCD21.9M图（kN·m）第26页，课件共37页，创作于2023年2月ABCD6m6m4m4mEI=1EI=2EI=120kN/m100kN43.6133.141.321.9M图（kN·m）92.6ABCDABCD51.868.256.443.66.9Q图（kN）求支座反力68.256.4B124.6第27页，课件共37页，创作于2023年2月上题若列位移法方程式，用逐次渐近解法：(1)将上式改写成(2)余数(3)

B

C第一次近似值24-66.67-8202.4-6.672-0.80.24-0.670.2-0.08结果

B=48.84

C=-82.89精确值48.88-82.06

MBC=4iBC

B+2iBC

C-100=第28页，课件共37页，创作于2023年2月

1）单结点弯矩分配法得到精确解；多结点弯矩分配法得到渐近解。

2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。

3）结点不平衡力矩要变号分配。

4）结点不平衡力矩的计算：结点不平衡力矩（第一轮第一结点）固端弯矩之和（第一轮第二、三……结点）固端弯矩之和加传递弯矩传递弯矩（其它轮次各结点）总等于附加刚臂上的约束力矩5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。弯矩分配法小结：第29页，课件共37页，创作于2023年2月0.222111ABCDFEBCmBA=40kN·mmBC=-41.7kN·mmCB=41.7kN·m0.30.40.30.4450.33340-41.7-41.7-18.5-9.3-13.9-9.33.33.34.42.2-1.0-0.5-0.7-0.50.150.150.2-4.651.65-0.250.0743.453.45-46.924.4-9.8-14.61.72-4.9043.546.924.514.73.451.79.84.89M图例2.4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE第30页，课件共37页，创作于2023年2月ABC1m5m1mEI=常数D50kN5/61/65025-20.8-4.2-20.8+20.8+50例3.带悬臂杆件的结构的弯矩分配法。50kN·mABMM/2ABC1m5m1mEI=常数D50kN第31页，课件共37页，创作于2023年2月4EI4EI2EI2EI用弯矩分配法计算，作M图。取EI=5i=4i=4i=2.5i=2.5↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓10kN/m20kN5m5m1m4m20kN20结点杆端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCmμ0.2630.3160.4210.6150.38500031.25－20.8320.8300(－20)－2.74－3.29－4.39－1.37－2.20MB=31.25－20.83=10.42MC=20.83－20－2.2=－1.370.840.530.270.42－0.10－0.14－0.18－0.05－0.09

ABCEF第32页，课件共37页，创作于2023年2月－2.85结点杆端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCmμ0.2630.3160.4210.6150.38500031.25－20.8320.8300(-20)－2.74－3.29－4.39－1.37－2.200.840.530.270.42－0.10－0.14－0.18－0.05－0.090.060.030.020.03－0.01－0.01－0.01M0－1.4227.80－24.9619.940.560.29计算之前,去掉静定伸臂,将其上荷载向结点作等效平移。有结点集中力偶时,结点不平衡力矩=固端弯矩之和－结点集中力偶(顺时针为正)第33页，课件共37页，创作于2023年2月↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m3m3m3m2iiiiii4i2iSAG=4i↓↓↓↓↓↓20kN/m1.5miiACEGHSAC=4iSCA=4iSCH=2iSCE=4iμAG=0.5μAC=0.5μCA=0.4μCH=0.2μCE=0.4结点杆端ACEAGACCACHCECHmμ0.50.50.40.20.4－15对称结构的计算第34页，课件共37页，创作于2023年2月0.50.50.40.20.4－157.57.53.75－1.50－0.75－1.50－0.75－0.750.370.380.19－0.08－0.03－0.08－0.04－0.040.020.02结点杆端ACEAGACCACHCECHmμM－7.117.112.36－0.78－1.58－0.79↓↓↓↓↓