河南省三门峡市渑池第一高级中学高二数学理测试题含解析

河南省三门峡市渑池第一高级中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知直线y=kx+m（m≠0）与圆x2+y2=169有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（）A．60条 B．66条 C．72条 D．78条参考答案：A【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；分类讨论；综合法；直线与圆．【分析】直线是截距式方程，因而不平行坐标轴，不过原点，考查圆上横坐标和纵坐标均为整数的点的个数，结合排列组合知识分类解答．【解答】解：可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆x2+y2=169上的整数点共有12个，分别为（5，±12），（﹣5，±12），（12，±5），（﹣12，±5），（±13，0），（0，±13），前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个点中过任意两点，构成C122=66条直线，其中有4条直线垂直x轴，有4条直线垂直y轴，还有6条过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有52条．综上可知满足题设的直线共有52+8=60条，故选：A．【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，是以直线和圆为载体，考查数学的综合应用能力．学生做题时一定要注意与y轴平行的直线斜率不存在不满足题意，要舍去．2.下列几种推理过程是演绎推理的是（）A．比较5和ln3的大小B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C．某高中高二年级有15个班级，1班有51人，2班有53人，3班52人，由此推测各班都超过50人D．由股票趋势图预测股价参考答案：A【考点】F6：演绎推理的基本方法．【专题】11：计算题；5M：推理和证明．【分析】根据题意，结合演绎推理的定义，依次分析选项，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、为三段论的形式，属于演绎推理；对于B、为类比推理；对于C、为归纳推理；对于D、为归纳推理．故选：A．【点评】本题考查演绎推理的定义，关键是掌握演绎推理的形式．3.用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是（）A

1 B

C

D

参考答案：D略4.下面的程序框图（如图所示）能判断任意输入的数的奇偶性：

其中判断框内的条件是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D5.某车间加工零件的数量x与加工时间y的统计数据如下表：零件数x（个）102030加工时间y（分钟）213139现已求得上表数据的线性回归方程y=bx+a中的b值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为（

）A．94分钟

B．102分钟

C．84分钟

D．112分钟参考答案：B6.（2+x）（1﹣2x）5展开式中，x2项的系数为（）A．30 B．70 C．90 D．﹣150参考答案：B【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】先求得（1﹣2x）5展开式的通项公式，可得（2+x）（1﹣2x）5展开式中，x2项的系数．【解答】解：∵（1﹣2x）5展开式的通项公式为Tr+1=C5r?（﹣2x）r，∴（2+x）（1﹣2x）5展开式中，x2项的系数为2C52?（﹣2）2+C51?（﹣2）=70，故选：B．7.数列的通项公式可以是A．

B．C．

D．参考答案：A8.若的终边上有一点则的值是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略9.不等式（x－2y＋1)(x＋y－3)<0表示的平面区域是（

）

参考答案：C10.下面使用类比推理正确的是（）A.直线，则，类推出：向量，则B.同一平面内，直线a，b，c，若，则．类推出：空间中，直线a，b，c，若，则C.实数，若方程有实数根，则．类推出：复数a，b，若方程有实数根，则D.以点(0,0)为圆心，r为半径的圆的方程为．类推出：以点(0,0,0)为球心，r为半径的球的方程为参考答案：D试题分析：依据类比推理的思维模式可知答案D是使用类比推理所得正确结论的，所以应选D.考点：推理及类比推理的运用．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若“或”是假命题，则的取值范围是__________。（最后结果用区间表示）参考答案： 12.已知双曲线，两焦点为，过作轴的垂线交双曲线于两点，且内切圆的半径为，则此双曲线的离心率为__________．参考答案：略13.设P是内一点，三边上的高分别为、、，P到三边的距离依次为、、，则有______________；类比到空间，设P是四面体ABCD内一点，四顶点到对面的距离分别是、、、，P到这四个面的距离依次是、、、，则有_________________。参考答案：1，14.若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，则边AB的长度等于．参考答案：2考点： 正弦定理．

专题： 解三角形．分析： 利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积，a，sinC的值代入求出b的值，再利用余弦定理求出c的值即可．解答： 解：∵△ABC的面积为，BC=a=2，C=60°，∴absinC=，即b=2，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=4+4﹣4=4，则AB=c=2，故答案为：2点评： 此题考查了余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．15.已知且，则的最大值为

．参考答案：由题意，又由柯西不等式可得，所以，即的最大值为．

16.

已知实数满足约束条件，则的最小值是参考答案：8略17.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及常数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c=a+x（b﹣a），这里，x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（c﹣a）是（b﹣c）和（b﹣a）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于．参考答案：【考点】数列的应用．【分析】根据题设条件，由（c﹣a）是（b﹣c）和（b﹣a）的等比中项，知[x（b﹣a）]2=（b﹣a）2﹣x（b﹣a）2，由此能求出最佳乐观系数x的值．【解答】解：∵c﹣a=x（b﹣a），b﹣c=（b﹣a）﹣x（b﹣a），（c﹣a）是（b﹣c）和（b﹣a）的等比中项，∴[x（b﹣a）]2=（b﹣a）2﹣x（b﹣a）2，∴x2+x﹣1=0，解得，∵0＜x＜1，∴．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A．（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．参考答案：【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】综合题．【分析】（I）由，得：x2﹣4x﹣4b=0，由直线l与抛物线C相切，知△=（﹣4）2﹣4×（﹣4b）=0，由此能求出实数b的值．（II）由b=﹣1，得x2﹣4x+4=0，解得x=2，代入抛物线方程x2=4y，得点A的坐标为（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离，由此能求出圆A的方程．【解答】解：（I）由，消去y得：x2﹣4x﹣4b=0①，因为直线l与抛物线C相切，所以△=（﹣4）2﹣4×（﹣4b）=0，解得b=﹣1；（II）由（I）可知b=﹣1，把b=﹣1代入①得：x2﹣4x+4=0，解得x=2，代入抛物线方程x2=4y，得y=1，故点A的坐标为（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离，即r=|1﹣（﹣1）|=2，所以圆A的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．19.为了解某高校学生中午午休时间玩手机情况，随机抽取了100名大学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生日均午休时间的频率分布直方图：将日均午休时玩手机不低于40分钟的学生称为“手机控”．

非手机迷手机迷合计男xxm女y1055合计75

25

100

（1）求列表中数据的值；（2）能否有95%的把握认为“手机控”与性别有关？注：k2=P（k2≥x0）0.050.10k03.8416.635参考答案：【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（1）由频率分布直方图能求出在抽取的100人中，“手机控”的人数．（2）求出2×2列联表，假设H0：“手机控”与性别没有关系，求出K2＜3.841，从而得到没有95%把握认为“手机控”与性别有关．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“手机控”有：100×（0.2+0.05）=25人，非手机控75人，∴x=30，y=45，m=15．n=45；（2）从而2×2列联表如下：

非手机控手机控合计男301545女451055合计7525100…（3分）假设H0：“手机控”与性别没有关系．将2×2列联表中的数据代入公式，计算得：K2=≈3.030，当H0成立时，P（K2≥3.841）≈0.05．∴3.030＜3.841，所以没有95%把握认为“手机控”与性别有关【点评】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，是中档题．20.已知函数f（x）=2x3﹣ax2+8．（1）若f（x）＜0对?x∈恒成立，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得函数g（x）=f（x）+4ax2﹣12a2x+3a3﹣8在区间（0，1）上存在极小值，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）分离参数，得到a＞2x+，设，求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可．【解答】解：（1）由f（x）＜0得：a＞=2x+，设，则，∵x∈，∴h′（x）≤0，则h（x）在上是减函数，∴h（x）max=h（1）=10，∵f（x）＜0对?x∈恒成立，即对?x∈恒成立，∴a＞10，则实数a的取值范围为（10，+∞）．…（2）∵g（x）=2x3+3ax2﹣12a2x+3a3，∴g′（x）=6x2+6ax﹣12a2=6（x﹣a）（x+2a），②a=0时，g′（x）≥0，g（x）单调递增，无极值．②当a＞0时，若x＜﹣2a，或x＞a，则g′（x）＞0；若﹣2a＜x＜a，则g′（x）＜0．∴当x=a时，g（x）有极小值．∵g（x）在（0，1）上有极小值，∴0＜a＜1．③当a＜0时，若x＜a或x＞﹣2a，则g′（x）＞0；若a＜x＜﹣2a，则g′（x）＜0．∴当x=﹣2a时，g（x）有极小值．∵g（x）在（0，1）上有极小值，∴0＜﹣2a＜1，得．由①②③得，不存在整数a，使得函数g（x）在区间（0，1）上存在极小值．…21.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：（1）两数之和为5的概率；（2）以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x,y)在圆x2+y2=15的内部的概率．

参考答案：解析：将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件

（1）记“两数之和为5”为事件A，则事件A中含有4个基本事件，所以P（A）=；

答：两数之和为5的概率为．

（2）基本事件总数为36，点（x，y