陕西省咸阳市张家坳中学高二数学理期末试卷含解析

陕西省咸阳市张家坳中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的4.如图，大正方形的面积是，四个全等的直角三角形围成一个小正方形.直角三角形的较短边长为，向大正方形内投一飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率为A.

B.

C.

D.参考答案：A略2.数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则Sn=（）A．2n﹣1 B． C． D．参考答案：D【考点】数列递推式．【分析】由a1=1，Sn=2an+1，可得Sn=2（Sn+1﹣Sn），化为：Sn+1=Sn，再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a1=1，Sn=2an+1，∴Sn=2（Sn+1﹣Sn），化为：Sn+1=Sn．∴数列{Sn}是等比数列，公比为，首项为1．则Sn=．故选：D．3.点P在直线l：x﹣y﹣1=0上运动，A（4，1），B（2，0），则|PA|+|PB|的最小值是（）A． B． C．3 D．4参考答案：C【考点】点到直线的距离公式．【专题】直线与圆．【分析】求出A（4，1）关于直线x﹣y﹣1=0的对称点为A′，|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|，当P、A′、B三点共线时，|PA|+|PB|取得最小|A′B|，由此能求出结果．【解答】解：∵设A（4，1）关于直线x﹣y﹣1=0的对称点为A′（x，y），则，解得x=2，y=3，∴A′（2，3）∴|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|，当P、A′、B三点共线时，|PA|+|PB|取得最小|A′B|==3．故选：C．【点评】本题考查动点到两定点的距离的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对称性及两点间距离公式的合理运用．4.如图,是全集,是的3个子集,则阴影部分所表示的集合是(

)A.

B.C.CIS

D.CIS参考答案：C5.已知命题p：若x2＋y2＝0（x，y∈R），则x，y全为0；命题q：若a>b，则给出下列四个复合命题：①p且q；②p或q；③p；④q.其中真命题的个数是 （）．A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B略6.某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为42的样本，则老年人、中年人、青年人分别应抽取的人数是（）A．7，11，18 B．6、12、18 C．6、13、17 D．7、14、21参考答案：D【考点】分层抽样方法．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】由题意，要计算各层中所抽取的人数，根据分层抽样的规则，求出各层应抽取的人数即可选出正确选项．【解答】解：由题意，老年人、中年人、青年人比例为1：2：3．由分层抽样的规则知，老年人应抽取的人数为×42=7人，中年人应抽取的人数为×42=14人，青年人应抽取的人数为×42=21人．故选：D．【点评】本题考查分层抽样，解题的关键是理解分层抽样，根据其总体中各层人数所占的比例与样本中各层人数所占比例一致建立方程求出各层应抽取的人数，本题是基本概念考查题．7.函数在内单调递减，则的范围是（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由函数在内单调递减，分别根据二次函数的性质、对数函数的图象与性质，以及分段函数的性质，列出相应的不等式组，即可求解．【详解】由题意，函数内单调递减，则，即，解得，即实数的范围是，故选B．【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性的应用，其中解答中熟记分段函数的单调性的判定方法，合理列出不等式组是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8.下面使用类比推理正确的是（）A．直线a∥b，b∥c，则a∥c，类推出：向量，则B．同一平面内，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b．类推出：空间中，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥bC．实数a，b，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a2≥4b．类推出：复数a，b，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a2≥4bD．以点（0，0）为圆心，r为半径的圆的方程为x2+y2=r2．类推出：以点（0，0，0）为球心，r为半径的球的方程为x2+y2+z2=r2参考答案：D【考点】类比推理．【分析】本题考查的知识点是类比推理，我们根据判断命题真假的办法，对四个答案中类比所得的结论逐一进行判断，即可得到答案．【解答】解：对于A，=时，不正确；对于B，空间中，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b或a⊥b或相交，故不正确；对于C，方程x02+ix0+（﹣1±i）=0有实根，但a2≥4b不成立，故C不正确；对于D，设点P（x，y，z）是球面上的任一点，由|OP|=r，得x2+y2+z2=r2，故D正确．故选：D．9.已知点A（2，-1，4）， 点B（3，2，-6）和点C（5，0，2），则三角形ABC的边BC上的中线长为（

）

（A）2

（B）

（C）

（D）参考答案：D略10.?x1∈（1，2），?x2∈（1，2）使得lnx1=x1+，则正实数m的取值范围是（）A． B． C．[3﹣3ln2，+∞） D．（3﹣3ln2，+∞）参考答案：B【考点】2H：全称命题．【分析】由题意得到lnx1﹣x1=m﹣mx2，设h（x）=lnx﹣x在（1，2）上的值域为A，函数g（x）=mx3﹣mx在（1，2）上的值域为B，根据函数的单调性求m的取值范围．【解答】解：由题意，得lnx1﹣x1=，设h（x）=lnx﹣x在（1，2）上的值域为A，函数g（x）=mx3﹣mx在（1，2）上的值域为B，当x∈（1，2）时，h′（x）=﹣1=＜0，函数h（x）在（1，2）上单调递减，故h（x）∈（ln2﹣2，﹣1），∴A=（ln2﹣2，﹣1）；又g'（x）=mx2﹣m=m（x+1）（x﹣1），m＞0时，g（x）在（1，2）上单调递增，此时g（x）的值域为B=（﹣，），由题意A?B，且m＞0＞﹣1，∴﹣≤ln2﹣2，解得m≥﹣（ln2﹣2）=3﹣ln2；∴正实数m的取值范围是[3﹣ln2，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，也考查了导数的应用问题，是中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为.参考答案：2.略12.曲线在点处的切线方程为__________．参考答案：【分析】先对函数求导，求出在点的切线斜率，再由点斜式，即可得出切线方程.【详解】因为，所以，所以.又因为，所以切线方程为，即.故答案为【点睛】本题主要考查求曲线在某点处的切线方程，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.13.幂函数的递增区间是__________．参考答案：略14.在等比数列{an}中，若a1，a10是方程3x2﹣2x﹣6=0的两根，则a4a7=

．参考答案：﹣2【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】根据韦达定理可求得a1a10的值，进而根据等比中项的性质可知a4a7=a1a10求得答案．【解答】解：∵a1，a10是方程3x2﹣2x﹣6=0的两根，∴a1a10=﹣2∵数列{an}为等比数列∴a4a7=a1a10=﹣2故答案为：﹣2【点评】本题主要考查了等比数列的性质．考查了学生对等比中项性质的灵活运用．15.若函数,则

．参考答案：e

16.若将一枚硬币连续抛掷两次，则“至少出现一次正面向上”的概率为

▲

．参考答案：略17.给出下列命题：①存在实数α，使sinαcosα=1，②函数y=sin（+x）是偶函数；③直线x=是函数y=sin（2x+）的一条对称轴；④若α、β是第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ．其中正确命题的序号是

．参考答案：②③【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出sinαcosα取值的范围，可判断①；根据诱导公式化简函数解析式，进而根据余弦型函数的和性质，可判断②；根据正弦型函数的对称性，可判断③；举出反例α=390°、β=45°，可判断④．【解答】解：①sinαcosα=sin2α∈[﹣，]，1?[﹣，]，故不存在实数α，使sinαcosα=1，故①错误；②函数y=sin（+x）=﹣cosx，满足f（﹣x）=f（x），是偶函数，故②正确；③由2x+=+kπ，k∈Z得：x=﹣+kπ，k∈Z，当k=1时，直线x=是函数y=sin（2x+）的一条对称轴，故③正确；④α=390°、β=45°是第一象限的角，且α＞β，但sinα=＜sinβ=，故④错误．故正确的命题的序号是：②③，故答案为：②③【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）

已知数列的前n项和，数列满足（1）求数列的通项；（2）求数列的通项；（3）若，求数列的前n项和。参考答案：（1）∵,∴．

∴．

……2分

当时，，∴

………4分（2）∵∴，

,以上各式相加得：

………………9分（3）由题意得∴，∴，∴=，∴．

………14分19.已知函数。（1）当a＝1时，使不等式，求实数m的取值范围；（2）若在区间（1，＋）上，函数f（x）的图象恒在直线y＝2ax的下方，求实数a的取值范围。参考答案：20.半径小于的圆经过点，圆心在直线上，并且与直线相交所得的弦长为．（）求圆的方程．（）理：已知点，动点到圆的切线长等于到的距离，求的轨迹方程．文：已知点，轴上一点到圆的切线长等于到的距离，求的坐标．参考答案：（） （）理： 文：（）∵圆心在直线上，设圆心，则圆半径，∴圆方程为，∵圆心到直线的距离，，又∵圆与直线所交得弦长，∴，∴，代入解出或，当时，，符合要求．当时，，舍去，∴圆的方程为．（）理：设点坐标为，∵动点到圆的切线长等于到点距离，设切点为．∴，，∵，，，，，，∴，解出，即点轨迹为．文：设，由题知，到圆的切线长等于到的距离，设切点为，，∴，∵，，，，∴，解出，∴点坐标为．21.（本题满分13分）某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是元，销售价是元，月平均销售件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是（元）.(1)写出与的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.参考答案：解:(Ⅰ)改进工艺后，每件产品的销售价为，月平均销售量为件，则月平均利润（元），∴与的函数关系式为

.(Ⅱ)由得，（舍）,当时；时，∴函数

在取得最大值.故改进工艺后，产品的销售价为元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.略22.如图，边长为2的正方形ABCD绕AB边所在直线旋转一定的角度（小于180°）到ABEF的位置．（1）若∠CBE=120°，求三棱锥B﹣ADF的外接球的表面积；（2）若K为线段BE上异于B，E的点，CE=2．设直线AK与平面BDF所成角为φ，当30°≤φ≤45°时，求BK的取值范围．参考答案：（1）三棱锥B﹣ADF的外接球就是三棱柱DFA﹣CEB的外接球，球的半径为R，R==，外接球的表面积为：4πR2=20π．（2）解：∵BE=BC=2，CE=2，∴CE2=BC2+BE2，∴△BCE为直角三角形，BE⊥BC，…又BE⊥BA，BC∩BA=B，BC、BA?平面ABCD，∴BE⊥平面ABCD．…以B为原点，BC、BA、BE的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），F（0，2，2），A（0，2，0），=（2，2，0），．设K（0，0，m），平面BDF的一个法向量为=（x，y，z）．由，，得，可取，…又=（0，﹣2，m），于是sinφ==，∵30°≤φ≤45°，∴sinφ，即…结合0＜m＜2，解得，即BK的取值范围为（0，]．…考点：直线与平面所成的角；球的体积和表面积．专题：计算题；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）求出外接球的半径，利用取得面积公式求解即可．（2）证明BE⊥平面ABCD．=以B为原点，BC、BA、BE的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，求出相关点的坐标，求出平面BDF的一个法向量为=（x，y，z）．推出sinφ==，结合sinφ，即求出BK的取值范围．解答：解：（1）三棱锥B﹣ADF的外接球就是三棱柱DFA﹣CEB的外接球，球的半径为R，R==，外接球的表面积为：4πR2=20π．（2）解：∵BE=BC=2，CE=2，∴CE2=BC2+BE