湖南省衡阳市宋朝中学2022-2023学年高二数学理期末试题含解析

湖南省衡阳市宋朝中学2022-2023学年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设命题；，则是的（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．非充分非必要条件参考答案：A2.满足线性约束条件的目标函数x+3y的最大值是(

)A． B． C．4 D．3参考答案：A【考点】简单线性规划；简单线性规划的应用．【专题】数形结合；综合法；不等式的解法及应用．【分析】画出满足条件的平面区域，由z=x+3y得：y=﹣x+，结合图象得出答案．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，令z=x+3y得：y=﹣x+，由图象得：直线y=﹣x+过（0，）时，z最大，故z的最大值是：，故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查不等式问题，是一道基础题．3.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A．[，1] B．[，1] C．[，] D．[，1]参考答案：B【考点】直线与平面所成的角．【专题】空间角．【分析】由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪．再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出．【解答】解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪．不妨取AB=2．在Rt△AOA1中，==．sin∠C1OA1=sin（π﹣2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=，=1．∴sinα的取值范围是．故选：B．【点评】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系即可、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题．4.已知定义域为的函数满足，且当时，单调递增，如果且，则的值

（

）A、恒大于0

B、恒小于0

C、可能为0

D、可正可负参考答案：B5.已知倾斜角为θ的直线，与直线x﹣3y+1=0垂直，则tanθ=（）A． B．3 C．﹣3 D．参考答案：C【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用直线相互垂直的充要条件即可得出．【解答】解：∵倾斜角为θ的直线，与直线x﹣3y+1=0垂直，∴×tanθ=﹣1，解得tanθ=﹣3．故选：C．6.将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有（

）A．30种

B．60种C．90种

D．150种参考答案：D7.直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，而且它的倾斜角是直线倾斜角的2倍，则

()A．m＝－，n＝1 B．m＝－，n＝－3C．m＝，n＝－3 D．m＝，n＝1参考答案：D略8.“对称数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如121，666，54345等，则在所有的六位数中，不同的“对称数”的个数是（）A．100 B．900 C．999 D．1000参考答案：B【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，对6位对称数，由于个位和十万位相同，十位和万位相同，百位和千位相同，个位有9种，十位和百位均有10种，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，对6位对称数，由于个位和十万位相同，十位和万位相同，百位和千位相同，个位有9种，十位和百位均有10种，故根据分步计数原理可得共有9×10×10=900故选：B．9.已知集合，，则

（

）（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：C略10.已知命题p：若a＞b，则a2＞b2；q：“x≤1”是“x2+2x﹣3≤0”的必要不充分条件．则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧￢q参考答案：B【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先判断命题p，q的真假，再利用复合真假的判定方法即可判断出正误．【解答】解：命题p：若a＞b，则a2＞b2，不正确，举反例：取a=1，b=﹣2，不成立；q：由x2+2x﹣3≤0，解得﹣3≤x≤1，因此“x≤1”是“x2+2x﹣3≤0”的必要不充分条件，是真命题．∴p∧q，￢p∧￢q，p∧￢q，是假命题，￢p∧q是真命题．故选：B．【点评】本题考查了复合真假的判定方法，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.数列的通项公式为，则等于_______.参考答案：-20012.用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1到160编号，按编号顺序平均分成20段（1～8号，9～16号，…，153～160号）．若第16段应抽出的号码为125，则第1段中用简单随机抽样确定的号码是

．参考答案：5考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：由系统抽样的法则，可知第n组抽出个数的号码应为x+8（n﹣1），即可得出结论．解答： 解：由题意，可知系统抽样的组数为20，间隔为8，设第一组抽出的号码为x，则由系统抽样的法则，可知第n组抽出个数的号码应为x+8（n﹣1），所以第16组应抽出的号码为x+8（16﹣1）=125，解得x=5．故答案为：5．点评：系统抽样形象地讲是等距抽样，系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，系统抽样属于等可能抽样．13.在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为___________。参考答案：14.已知数列{an}的前n项和Sn=n2（n∈N*），则a8的值是__________．参考答案：15考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：利用a8=S8﹣S7，可得结论．解答：解：∵数列{an}的前n项和，∴a8=S8﹣S7=64﹣49=15．故答案为：15．点评：本题考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于基础题．15.已知随机变量服从正态分布，，则（

）参考答案：略16.已知角2α的终边落在x轴下方，那么α是第

象限角．参考答案：二或四

17.下列说法中正确的是__________．①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②“”是“”的充要条件；③“，则，全为”的逆否命题是“若，全不为，则”④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真；⑤“为假命题”是“为真命题”的充分不必要条件．参考答案：②④⑤解：①逆命题与否命题真假性相同，但无法判断其逆否命题真假，错误．②由“”可推出，“”，“”也可推出，“”，正确．③原命题的逆否命题为“若、不全为，则”，错误．④否命题与逆命题真假性相同，正确．⑤“”为假命题，那么为真命题，可推出，反之不成立，正确．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}满足a1=1，an=（n≥2）．（1）求证：数列{}为等差数列；（2）求{an}的通项公式．参考答案：【考点】数列递推式；等差关系的确定．【分析】（1）直接利用递推关系式证明数列是等差数列．（2）利用（1）的结论利用前n项和法求出数列的通项公式，注意首项是否符合通项公式．【解答】（1）证明：an=（n≥2）则：整理得：Sn﹣1﹣Sn=2SnSn﹣1所以：即：数列{}为等差数列．（2）解：由（1）得：则：当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1==﹣所以：19.已知直线:y=k(x+2)与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．（1）试将S表示成k的函数，并求出它的定义域；（2）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．参考答案：解析：(1)，定义域：．（2）设，，∴S的最大值为2，取得最大值时k=．20.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为，，（O为坐标原点）.（1）求椭圆C的方程；（2）定义：曲线在点处的切线方程为.若抛物线上存在点P（不与原点重合）处的切线交椭圆于M、N两点，线段MN的中点为D.直线OD与过点P且平行于x轴的直线的交点为Q，证明：点Q必在定直线上.参考答案：（1）；（2）见解析.【分析】（1）由得出，再由得出，求出、的值，从而得出椭圆的标准方程；（2）设点的坐标为，根据中定义得出直线的方程，并设点、，，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用中点坐标公式求出点的坐标，得出直线的方程与的方程联立，求出点的坐标，可得出点所在的定直线的方程.【详解】（1）由，可知，即.，，，可得，联立.得，则，所以，所以椭圆的方程为；（2）设点，则由定义可知，过抛物线上任一点处的切线方程为，所以.设、，.联立方程组，消去，得.由，得，解得.因为，所以，从而，所以，所以直线的方程为.而过点且平行于轴的直线方程为，联立方程，解得，所以点在定直线上.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及直线与抛物线、直线与椭圆的综合问题，解题的关键在于利用题中的定义写出切线方程，并将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法进行求解，考查方程思想的应用，属于难题.21.已知等比数列{an}中，a1=2，a3=18，等差数列{bn}中，b1=2，且a1+a2+a3=b1+b2+b3+b4＞20．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Sn．参考答案：（Ⅰ）an=2?3n-1（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）根据等比数列的性质，有a1a3=a22，可得a2的值，结合题意，a1+a2+a3=b1+b2+b3+b4＞20，可得a2的值，由等比数列的通项公式，可得答案，（Ⅱ）由（1）可得，结合等差数列的性质，可得bn的通项公式，由等差数列的Sn公式，可得答案．【详解】解：（Ⅰ）因为a1a3=a22，所以a2=±6又因为a1+a2+a3＞20，所以a2=6，故公比q=3所以an=2?3n-1（Ⅱ）设{bn}公差为d，所以b1+b2+b3+b4=4b1+6d=26由b1=2，可知d=3，bn=3n-1所以【点睛】本题考查等差数列与等比数列的性质，注意两种常见数列的性质的异同，要区分讨论．22.已知数列{an