2023-2024学年河南省开封市高一年级下册册期中数学模拟试题

2023-2024学年河南省开封市高一下册期中数学模拟试题

一、单选题

1.设集合4={刈-/+3》+10>0},B={x∣2x+1<9},贝IJAB=()

A.(-2,5)B.(-2,4)C.(4,5)D.(-5,4)

【正确答案】B

【分析】根据一元二次不等式的解，以及集合的交集运算即可求解.

【详解】由一炉+3》+10>0,解得一2<X<5,即A={X|-2<X<5},又因为B={x∣x<4},所以

AB=(-2,4).

故选：B.

2.若复数z=(2i—l)i,则Z的共轨复数5=()

A.2+iB.-2+iC.2-iD.-2-i

【正确答案】B

【分析】利用复数的乘法运算化简复数Z,结合共挽复数的定义可得共加复数.

【详解】z=(2i-l)i=2i2-i=-2-i,

贝心的共朝复数5=一2+1.

故选：B.

3.已知向量α=(2,5),6=(-3,1),c=2a+λb，若Z_L〃，则2=()

A.—B.一C.—D.—

5445

【正确答案】D

【分析】求出2的坐标，根据向量的垂直的坐标表示列式计算，可得答案.

【详解】由题意得C=2"+∕½=2(2,5)+/1(-3,1)=(4-32,10+/1),b=(-3,1),且clb，

所以c/=-3(4-34)+(10+2)=0,所以∕l=g,

故选：D

TT

4.已知ABC外接圆的周长为47，ABAC=-,则5C=()

A.4B.2C.46D.2√3

【正确答案】B

【分析】利用正弦定理可求BC的长度.

【详解】因为JWC外接圆的周长为4兀，所以JIBC外接圆的半径为2,

==ɔnr=4

则根据正弦定理可得SinNBAC~兀一，解得BC=2.

sin一

6

故选：B.

5.在正ABC中，向量A8在C4上的投影向量为（）

13——

A.-CAB.—CAC.—CAD.

222-今CA

【正确答案】B

【分析】先求出4?与C4的夹角，再根据投影向量的定义求解

【详解】AB与CA的夹角为g,，cos（AB,CA）=-；,根据投影向量的定义有：

CA\一

AB在CA上的投影向量为II∙cos（AB,CA）∙=-—CA；

故选：B.

6.已知正实数。，b满足2。+8—9而=0,则α+2⅛的最小值为（）

A.3B.1C.9D.-

3

【正确答案】B

12

【分析】将条件2。+人—9"=0转化为∙L+7=9,然后利用“1的代换”和基本不等式可得.

ab

12

【详角军】因为2。+8一9必=0,变形得一+7=9.

ab

由题导“+2/,_______Ia入_αb.5+2〃_1,当且仅当一=W，即α=人=4时，等节

a+-9-9--9--a'

成立.

故选：B.

7.在.ΛβC中，内角A,B,C的对边分别为“，b,JSinA-SinB+即二啰=0,贝IJAfiC的形状

c

一定为（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.钝角三角形

【正确答案】B

【分析】利用正弦定理边化角计算即可.

【详解】在ABC中，SinA-SinB+生殳=0,

C

则由正弦定理得：则(SinA-sinB)+2(sm'm').(SinA-sinB)=0,

sinCVsinCJ

2

因为三角形中，A、B、Cl(0,π),i½sinC>O^-7-+l≠0,

所以SinA=Sin8=α=〃，则.ABC的形状一定为等腰三角形.

故选：B

8.若函数f(x)=∣21n五卜eT"的两个零点分别为以，b,其中。<人，则()

A.a=-B.a>—C.0<α<'D.a+b=e

hbb

【正确答案】C

【分析】作出函数>Hlnx∣和y=eM(χ>0)的大致图象，结合图象可得答案.

【详解】令/(x)=0,得IlnXl=e。作出函数y=∏nx∣和y=e^w(χ>O)的大致图象,

如图所示，因为/(x)有两个零点，所以这两个函数的图象有两个交点,

其交点的横坐标分别为“，b,由α<6,可得0<α<l<6,

因为由图可得Ilnai>∣ln∕”,所以-ln4>lnb,

即Ina+In。=In(O⅛)<0,所以0<"<l,0<α<,.

b

故选：C.

二、多选题

9.已知复数Z满足Z=2W0；,则下列结论正确的是()

l-2ι

A.z=4+8i

B.Z-4是纯虚数

C.复数Z在复平面内对应的点在第三象限

D.若复数Z在复平面内对应的点在角α的终边上，则Sina=S

【正确答案】AB

【分析】根据复数的概念、运算、几何意义、三角函数定义逐一判断即可.

2020(1+2i)

【详解】Z=4+8iA正确;

-l-2i(l-2i)(l+2i)

z-4=8i,为纯虚数，B正确;

z=4+8i,其在复平面内对应的点为（4,8）,在第一象限，C错误;

82√5

Sina=D错误.

√42+82ʃ

故选：AB

10.已知函数A©=Ktan（OX+幻+63>0）的最小正周期为则（）

A.ct）=6

B./（x）的图象经过点（-今5）

C./O）的定义域为卜∣xw1+,,kez]

D.不等式/（x）>9的解集为，件,3+用，keZ

【正确答案】BCD

【分析】根据正切型函数的图象与性质逐一计算即可.

【详解】由正切函数的周期T=工=W,解得。=3.故A错误；

ω3

因为di=®”一>升6=5,所以/⑺的图象经过点（一：5）.故B正确；

^φ∙3x+-≠—÷⅛π,ZeZ,ɪ≠ɪ+—,ZeZ,

32183

即/⑶的定义域为「∣x≠表+等我z1.故C正确；

令Gtan[3%+]）+6>9,则tan（3x+g）>百，所以5+E<3x+]<5+E,keZ,得

⅞<x<⅛÷V»kwZ,即不等式/（尤）>9的解集为佟,2+用，ZeZ.故D正确;

3Io3V3Io5J

故选：BCD

11.在平行四边形4BCf>中，BE=2EC,DF=3FA,AE与BF交于点0,设D4=”,DB=b,则

()

A.AE=--a+bB.AE=a--b

33

C.DO=-a+-bD.DO=-a+-b

1111∖ɪH

【正确答案】AC

22

【分析】由BE=2EC得BE=—从而AE=AB+BE=(OB-DQ-gDA,整理即可判断A,B；

33

设AE与BO交于点M,则ABEM与aD4"相似，可得。M==。B,DF=-DA,因为广，O,B

54

三点共线，A,0,“三点共线，设。O=Xr^+(1-X)O8=曰D4+"⑹。M,则号+叫旦=1,

4343

Q

求得x=R,求出£＞。即可判断C,D.

2

【详解】在平行四边形ABCz)中，BE=IEC，所以8E=-§D4,

255

则4E=AB+BE=(OB-D4)-394=-304+08=-34+6,A正确，B错误；

设AE与5。交于点M,则在平行四边形ABCD中，43EM与ADAM相似，

所以也=毁=2,则OM=。£)8,^iDM=-DB=-b,DF=-DA=-a,

DMDA355544

因为P,0,8三点共线，A,O,M三点共线，

设。O=XOF+(I-X)DB=苧ZM+,则｝+=即X=(，

所以OO=WD4+(1-为£>8=9〃+二人，C正确，D错误.

41111

故选：AC.

12.地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准.里氏震级的计算公式为

M=Ig与(其中常数&是距震中IOO公里处接收到的O级地震的地震波的最大振幅，A,*是指我

们关注的这次地震在距震中IOO公里处接收到的地震波的最大振幅).地震的能量E(单位：焦耳)

是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量.已知E=IO"χl()gw,其中M为地震震级.下列说

法正确的是()

A.若地震震级M增加2级，则最大振幅ArelX增加到原来的20倍

B.若地震震级M增加2级，则放出的能量E增加到原来的IOoo倍

C.若最大振幅4ax增加到原来的100倍，则放出的能量E增加到原来的IOoO倍

D.若最大振幅AraX增加到原来的100倍，则放出的能量E增加到原来的100倍

【正确答案】BC

【分析】根据对数和指数的运算性质即可求解.

【详解】因为M'=M+2=2+lg4=Ig等皿，所以A：.=1004".故A错误；

A)AO

因为E'=lθ48χlO∣∙5"=104%]01.“材+2)=[048χ]01∙5M+3=I000E,所以B正确;

因为Ar=Ig10∕≡∙=M+2,所以E"=1。48X1O15M'=1048×10L5(M+2>=1048×1OL5M+3=1OOoE,所以C

A)

正确，D错误.

故选：BC

三、填空题

13.已知复数Z满足3z+i=6-2i,则IZI=.

【正确答案】√5

【分析】先解方程求出z,再根据复数模的定义求解.

【详解】由题意可得z=2T,则∣z∣="7T=E;

故石.

14.已知sin[α+B[=*∙,则sin2α=.

【正确答案】

【分析】由两角和的正弦公式展开，得出Sina+cosα,两边平方，结合同角三角函数的平方关系和二

倍角公式即可求出答案.

【详解】因为sin(a+；)=¥，

亡LfI∙^2∙^2√Q.2

所以一(Slna+cosa)=—,得SIna+cosa=不，

233

2

贝IJsiɪ?a+cosa+2sinacosa=—9

因为si/a+cos2。=1，2sinαcosα=sin2α,

45

所以sin2α=,-1=一§,

故等

15.位于河北省承德避暑山庄西南十公里处的双塔山，因1300多年以前，契丹人在双塔峰顶建造的

两座古塔增添了诸多神秘色彩.双塔山无法攀登，现准备测量两峰峰顶处的两塔塔尖的距离.如图，

在与两座山峰、山脚同一水平面处选一点A,从A处看塔尖C的仰角是45。，看塔尖B的仰角是60。,

又测量得NfiAC=45°,若塔尖B到山脚底部D的距离为20卡米,塔尖C到山脚底部E的距离为300

米，则两塔塔尖之间的距离为米.

【正确答案】20√5

【分析】先解直角三角形得AC=60米，AB=40&米,再利用余弦定理解BC即可.

_CE30√2

【详解】在Rt中，CE=300米，ZEAC=45°,则赤？■一二/F米.

T

同理，在Rt.ADB中，A8=40√Σ米，

在一ABC中，A8=40√Σ米，AC=60米，ZBAC=45°,

由余弦定理，得BC=QAB?+3-2ABACCOS45

32∞+3600-2×40√2×60×^=√20δδ=20√5^.

故答案为.20遍

aA-4,x<0,

已知函数/(幻=,3>0旦Q≠I)有且仅有3个零点，则a的取值范围为

16.2sinlαr+-g-l-l,0≤jc≤π

【正确答案】|，112()

【分析】根据分段函数解析式，分类讨论。的范围，结合指数函数以及正弦函数的性质即可求得答案.

【详解】当时，x<0时，-4<dt-4<-3,

/(x)在(-∞,O)上没有零点，则/(x)在10,兀］上有且仅有3个零点，

由X£10,冗］,□JClXd∈—,ClTlH,

6|_66J

,ʌ.I71］［ʌLLt、i13冗/TC17τcCln8

由2sinaxH——1=O,所以---≤cmH—<-----,即2≤〃<一.

I6J6663

x

当0vα<l时，XVO时，a>1,优-4=0有一解，

即/⑶在(-8,0)上恰有1个零点，故/(幻在［0,π］上有且仅有2个零点，

5兀yr13兀22

则=<GI+V<三，即;≤α<2,因为OVaV1,所以;≤α<l,

66633

故α的取值范围为川U2,|).

故寻)局

四、解答题

17.设“，b是两个不共线的向量.

(1)若α=(-1,3),5=(2,-1),求津,力;

(2)^(λa+b)//(3a+λb),求/1的值.

【正确答案】⑴〈4,力=39π

4

(2)zl=+∖∣3

【分析】(1)根据向量数量积的坐标公式求夹角即可；

(2)根据向量平行的充要条件计算参数即可.

【详解】(1)因为CoS〈冬力=」也=-7H尸=-',又向量夹角范围为［0,π］,

∖a∖∖b∖√IO×√52

所以〈。-,-力=三371.

4

(2)因为(4。+匕)〃(3。+/1匕)，｝^λa+b=ju(3a+λb)f〃为实数，

∖λ=3〃

BPλa-∖-b=3μa+λμb,则<1.,BP22=3»

l⅞=∙

解得λ-±5/3.

18.已知复数Z是方程/+6χ+13=0的一个复数根，且Z的虚部大于零.

(1)求z；

(2)若αz=b-i(ci,bwR,i为虚数单位)，求必.

【正确答案】⑴z=—3+2i

3

⑵必=-7

【分析】(I)根据复数根的求解即可得x+3=±2i,进而可求，

(2)利用复数的乘法运算以及复数相等的充要条件即可列方程求解.

【详解】(1)由χ2+6x+13=(x+3y+4=O,即(X+3)2=-4,

可得x+3=±2i,解得x=-3±2i,

因为Z的虚部大于零，所以z=-3+2i

(2)由(1)知z=-3+2i,因为“z=6-i,所以αz=α(-3+2i)=-3α+2αi=b-i

[-3a=h

则O

[2ɑ=-1

I3

解得“=6=9，

22

所以H=一.

19.在JISC中，角A,B,C所对的边分别为“，b,c,且力sin3-αsinA+S+c)sinC=O.

(1)求角A的大小；

⑵若角A的角平分线An与BC交于点O,45=4,AC=6,求JRC的面积.

【正确答案】(I)Aw

⑵186

【分析】(1)利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；

(2)根据三角形的面积公式结合等面积法求出c,即可得解.

【详解】(1)因为bsin5-αSinA+S+C)SinC=°,

222222

所以根据正弦定理可得⅛-Λ÷⅛C÷C=O,^h+C-a=-be,

由余弦定理可得cos4=0手4，

2bc2

因为Ae(O,兀)，所以A=g；

(2)由SΛΛBD+SΔΛCD=SΔABC,

IπIπ12Tl

<⅜-×4×c×sin-+—×4×6×sin-=—×6c×sin—,解得C=I2,

232323

所以..A3C的面积为:x6xl2XSing=18后.

20.已知函数/(x)=Asin(0x+p)(A>0,。>0,|夕|<ɪj的部分图像如图所示.

(1)求/(X)的解析式.

TT

(2)先将/U)的图像向左平移己个单位长度，再将所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得

πJT

到函数g(x)的图像.当Xe时，求g(x)的值域.

OO

【正确答案】(l)∕(x)=4Sinl

⑵[-2,4]

TT

【分析】(1)根据最值求出A=4,再由周期求出。=6,最后根据对称中心求出9=,可得解析

O

式；

(2)先根据平移伸缩求出g(x),再根据X《「一?，?]求出值域即可.

【详解】(1)根据图像可得A=4,

=.则:,舍=3因为所以。=6∙

2363662∣o∣6

将七,01弋入/(x)的解析式，得4sin(6噎+°)=0,

Tl

则6χ—+φ=kκ,kwZ,

36

兀

得9=—+⅛π,kwZ.

6

因为Iei<],所以夕=-J，

2O

所以f(x)=4sin(6x-弓).

(2)由(1)知/(x)=4sin(6x-^),

将fS)的图像向左平移1个单位长度得y=4sin(6x+'高=4sin,+",

再将所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，

得g(x)=4sin,+?的图像，

1、，兀兀Lr^∙,rC7C兀5兀

因I为％∈,所以3x+7∈—,

ooj3。。

则-g≤sin(3x+方)≤1,

所以-2≤4sin(3x+])≤4,

故g(x)在-Ik上的值域为[-2,4]

21.为了响应国家改善民生、给老百姓创造更好的生活环境的号召，某地的南湖公园准备再建一个花

坛，种植花卉以供老百姓观赏.花坛的设计图如图所示，BO与CD的长均为20米，ZBDC=60°,

NBAC=120°.

(2)新建花坛的周长的最大值是多少？

【正确答案】(I)空立米

3

⑵竺叵+40米.

3

【分析】(1)连接BC,确定BC长，在JU5C中，利用正弦定理即可求得答案;

(2)设N4BC=，(0<e<mJ，在ABC中，由正弦定理表示出A8,AC的长，结合三角函数恒等变

换以及三角函数性质，即可求得答案。

【详解】(1)连接BC,因为80=8,ZBDC=60°,

所以ABCO是等边三角形，所以BC=20米，而ZABO=105。,

在_A3C中，ZABC=1050-60o=45o,NBAC=I20°,

ACBC

所以由正弦定理得.

sɪnZABCSinZBAC

AC20r

即g二京，所以AC=生但米.

——3

22

(2)在ABC中，设NABC=Ho<0<ll由正弦定理得-.LBC

[3)SinZABCSinZBAC

AC_20r

即蓊二耳，所以AC=^∙sin6米，

T3

同理NACB=(—夕，则=米，

所以AB+AC=T^∙sin。+Si呜-6=速3亩。+旦。s。］

322

40√3.(nπ∖

3I3)

因为OjoE,所以当O=J时，•+AC取得最大值遮，

I3J63

又8。与C。的长均为20米，

所以花坛周长的最大值为速+40米.

3

22.已知函数〃x-l)=log3(9i+l)-x+l.

(1)判断f(x)在［0,+8)上的单调性，并说明理由；

'nʌIQ-V4？、

⑵若f--------------≥∕(9,+9T+3*+3T)对x∈［0,w)恒成立，求