2022-2023学年广东省肇庆市封开县高一年级下册期中数学模拟卷（含解析）

2022-2023学年广东省肇庆市封开县高一下册期中数学模拟卷

（含解析）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.

1,已知复数Z满足z（l+i）=l,则Z的虚部为（）

A∙-ɪB.-ɪɪC.yD.ɪi

2.关于向量£,⅛,下列命题中，正确的是（）

A.若W=WI,则α=BB.若〃=—九则α〃力

C.若aHb，bile>PWa!IcD.若卜卜W,贝∣Ja>B

3.如图，已知等腰直角三角形OW"是一个平面图形的直观图，。'iS,斜边。夕，=2,

则这个平面图形的面积是（）

C.√2

D∙T

4.已知“8C的内角48,C的对边分别为α,b,c,若0=2百，6=2,4=60。，则5为（）

A.60oB.60°或120oC.30oD.30°或150°

5.已知向量口刃满足3=(2,l),∣B∣=G,m+不∣=4,则£石=()

A.8B.-8C.-4D.4

6.如图所示，为测量山高MN,选择/和另一座山的山顶C为测量观测点，从/点测得M点

的仰角NMAN=60。,C点的仰角NCAB=30°以及NMAC=75°,从C点测得ZMCA=60°,若

山高8C=lOθJΣ米，则山高MN等于（）

Λ/

B

A.300米B.360米

C.240米D.320米

7.已知P-ZBC为棱长4的正四面体,则该正四面体的外接球的表面积为()

A.6πB.12πC.24πD.36π

—>->—>—>—>—>

544CAC-BCBCB4I

--—=λ0,=

8.在中→+→-~~?,则Δ∕18C为()

BCBCBC-BAZ

A.直角三角形B.三边均不相等的三角形

C.等边三角形D.等腰非等边三角形

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的

得0分.

9.用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是

A.圆锥B.圆柱C.三棱锥D.正方体

10.已知复数z=(/_])+例-jη("Li)i(zweκ),则下列说法正确的是(〉

A.若W=0,则共枕复数彳=l-√JiB.若复数z=2,则加=6

C.若复数Z为纯虚数，则m=±lD.若加=0,则4+2z+z?=0

11.已知向量α=(l,-2),⅛=(-l,m),则()

A.若[与一垂直,则W=TB.若a∕∕b，则4•5的值为-5

c.若W=I,则q=JimD.若m=-2,则£与刃的夹角为60

12.已知。、E、P分别是448C的边8C、CA./8的中点，且比=Z，CA=b,AB=C>

则下列命题中正确命题为()

—►-1一

B.BE-a+-b；

2

--I-I-

C.CF=-h一一a；D.AD+BE+CF=O

22

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在ΔA5C中，已知/8=5,AC=I,BC=9,则cos/=.

14.已知同=1,问=3,a-b=-3＞则向量Z在向量彼上的投影向量为

15.若zeC,且IZl=I,则∣z-3-4i∣的最小值为

16.祖晒(公元5-6世纪)，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“募

势既同，则积不容异”.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的

面积相等，则这两个几何体的体积相等；该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦

列利发现，比祖唯晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图将底面直

径皆为26,高皆为。的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面尸上，以平

行于平面β的平面于距平面厂任意高d处可横截得到S战及取两截面，可以证明SIa=S环总

成立.据此，b为6cm,α为8cm的椭球体的体积是

四、解答题：本大题共6小题，共70分.第17题为10分，其他为12分，解答

应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.求实数W的值或取值范围，使得复数Z=/+加-2+"τ)i分别满足:

(I)Z是实数；

(2)z是纯虚数;

(3)z是复平面中对应的点位于第二象限.

UULUlU_

18.已知向量。Z=(2,l),08=(3,-2),(9C=(6-ffl,-3-w).

(1)若点“，B,C共线，求实数机的值；

(2)若A4BC为直角三角形,求实数，”的值.

19.正棱锥S-ZBC。的底面边长为4,高为1.

S

求：(1)棱锥的侧棱长和侧面的高；

(2)棱锥的表面积与体积.

20.设向量α=(J^sinx,sinx)3=(cosx,sinx)(Xe0,ɪ

(I)若同=同求X的值；

(II)设函数/(X)=荔,求f(x)的最大值.

21.如图，在海岸4处，发现北偏东45。方向，距离/为10(√J-l)海里的8处有一艘走私

船，在/处北偏西75。方向，距离/为20海里的C处有一艘缉私艇奉命以10石海里/小时

的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/小时的速度从8处向北偏东30。方向逃窜，

问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间.

22.已知锐角-8C,a,b,C分别是角4,B,C的对边，且2“CoSC=

(1)证明：C=24；

(2)若CD为/4C8的角平分线，交4B于D点、,且CZ)="s"α9=√Σ.求。的值.

答案解析

1.A

【分析】根据复数除法运算求出z,然后由虚部定义可得.

【详解】由题得Z=JT===5-gi

1+1222

所以复数Z的虚部为-上

2

故选：A

2.B

【分析】利用向量的概念可判断ABD选项，取B=O可判断C选项.

【详解】对于A选项，若同=M但1B不一定相等，A错；

对于B选项，若a=-5,则al/b，B对；

对于C选项，取5=0，则；〃力，成立，但人工不一定共线，C错；

对于D选项，若向明，但入B不能比较大小，D错.

故选：B.

3.A

【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得.

【详解】由题意，利用斜二测画法的定义，画出原图形，

：RtAOW"是等腰直角三角形，OW=/⑹，斜边OZ'=2,

。时=也。®=√Σ,

2

二OB=O'B'=2,OA=20'A'=2√2,

原平面图形的面积是［x2χ2√∑=2√∑.

2

故选:A.

4.C

【分析】由正弦定理可得SinB=即可得解.

2

【详解】在"BC中，a=2√3.b≈2,4=60。，

所以由正弦定理得_竺=」一=Wl-=4,

sinBsinAsin6(F

所以sin8=2=1,

42

又8武0。,120。)，所以8=30。.

故选：C.

本题考查了正弦定理解三角形的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

5.D

【分析】根据模长m+B∣=4平方可得£.尻

【详解】因为∣2+B∣=4,

所以7+2Ul=I6,

又因为G=(2,1),出I=J

所以J=5,片=3'

所以“∙5=4.

故选：D.

6.A

【分析】在放中，可求得/C,根据正弦定理，在V。/中，可求得ZΛ∕,在RtAAMN

中，即可求得答案.

【详解】因为在放z∖C48中，BC=Ioo6,/"8=30。，

所以ZC=---------=200√2,

sin30°

oo

在VC4Λ∕中，ZAMC=I80-ZMCA-ZMAC=45f

a

由正弦定理得：..^4γλ,即好

sɪnZ.AMCsinZMCAsin45osin60°

所以力"=200JL

在RtA4MN中,NMAN=60°,

W=JΛ∕sin60o=200√3×-=300(米)

2

故选：A

7.C

【分析】通过补形的方法求得正确答案.

【详解】将正四面体P-45C补形成正方体如下图所示，

正四面体的棱长为4,所以正方体的边长为4x立=2应，

2

所以正方体的对角线长为2λ∕Σχ√J=2√^,

所以正方体的外接球，也即正四面体的外接球的半径为指,

所以外接球的表面积为4兀x(C)2=24兀.

故选：C

8.C

—>—>→—>

BAACACBC

【分析】通过平面向量的数量积将一^―+一^=°化简,结合正弦定理可得4C的关

BCBC

—>T

BCBA1

系，再将丁一h二5化筒可得8,进而可以判断三角形的形状.

BC∙BAz

—>—>TT

ABACCACB

-----------1-------=--O-=>-ABAC+CA∙CB=O

【详解】由题意:—>—>

BCBC

--∖AB∖-∖AC∖cosA+∖CA∖∙∖C⅛∣cosC=0»λ∣J⅛∣cos^=∣C⅛∣cosC，^ccosA=acosC,

由正弦定理：SinCCoS4=sin4cosC=>sin(4-C)=0,VAyC是三角形内角，：.A=C

—>—>

BC∙BA

=-^>cosB=-,B=-

由I—>→223所以三角形是等边三角形.

BC∙B4

故选：C.

9.ACD

【分析】根据物体特征分析截面可能的情况即可得解.

【详解】圆锥的轴截面是三角形，圆柱的任何截面都不可能是三角形,

三棱锥平行于底面的截面是三角形，

正方体的截面可能是三角形，如图：

此题考查物体截面辨析，关键在于熟悉常见几何体的几何特征，分析截面可能的情况.

10.BD

【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.

【详解】对于A,机=0时，z=-l+√3/，则5^=-l-JJi,故A错误;

/H2—1=2

对于B,若复数z=2,则满足/-Z解得加=百，故B正确；

Iw-√z3vW/H-1lλ)=0

∕w2—1=0

对于C,若复数Z为纯虚数，则满足/-,解得加=-1,故C错误；

Iw-√z3vl(∕77-llλ)≠0λ

对于D,若，”=0,则z=-l+√¾,4+2z+z2=4+2(-l+√3z)+(-l+√3/)2ɪθ,故D正确.

故选：BD.

本题主要考查对复数相关概念的理解，注意不同情形下的取值要求，是一道基础题.

11.BC

利用平面向量垂直的坐标表示可判断A选项的正误；利用平面向量共线的坐标表示与平面

向量数量积的坐标表示可判断B选项的正误；利用平面向量的模长公式可判断C选项的正

误；利用平面向量夹角余弦的坐标表示可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，∙.i，人则［B=-l-2加=0,解得加=一；，A选项错误；

对于B选项，Qa!Ib，ʌ∕w=2,/.α∙6=1×(-l)-2×2=-5,B选项正确；

对于C选项，若m=1,则£/=(2,-3),所以，∣α-⅛∣=√22+(-3)2=√13,C选项正确；

—一ci∙b33

对于D选项，若〃1=-2,贝加=(-1,-2),CoSs>=用『品所=7

此时，Z与书的夹角不是60°，D选项错误.

故选：BC.

12.BCD

【分析】利用向量加法、减法、数乘运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】fF=⅛=∣(C4+^8)=∣(⅛+ə),A错误.

JE=BC+CE=BC+-CA=a+-b,B正确.

22

C^=∣(C4+C5)=∣(6-Λ),C正确.

而+麻+#=；用+%)+；阿+珂+；*+西

1----------------------------------------------

=5QB-CA+BC-AB+CA-BC)=0,D正确.

故选：BCD

13T

【分析】根据余弦定理即可求出A的余弦值.

…g五，AB-+AC1-BC252+72-921

【详解】在。BC中，cos/=-----------------------=---------------

2ABAC2×5×7To

故一：

1

14.一一hr

3

【分析】求出KlCoSO和3即得解.

∖b∖

【详解】Va∙h=∖a∖∖h∖cosθ=-3,⅛∣=3,

→—>

→h_h

∙*∙∣α∣cos∕9=-l又丁=可，

Ibl3

所以向量W在向量3方向上的投影向量为-gb.

故一§6

15.4

【分析1利用复数的几何意义，可知则2-3-甸表示2点对应的复数与点(3,4)之间的距离，

再求出其最小值.

【详解】复数Z满足匕|=1,点Z表示以原点为圆心、1为半径的圆，则∣z-3-4i∣表示Z点对

应的复数与点(3,4)之间的距离.

原点O到点(3,4)之间的距离d=5,

二∣z-3-4i∣的最小值为5-1=4.

故4.

16.48万

【分析】根据题意利用圆柱体和圆锥体计算对应椭球体的体积即可.

【详解】根据题意知，该椭球体的体积是

%球=2(喉-％锥)=2上乎∙4―力于∙4∣=48τ(cm).

故48乃

17.(l)w=±l

(2)m=-2

(3)-2<∕n<-l

【分析】(1)根据复数的概念列式可求出结果；

(2)根据复数的概念列式可求出结果；

(3)根据复数的几何意义可求出结果.

【详解】(1)由题意得苏-1=0,所以加=±1；

(2)由题意得]2八，所以〃7=-2;

(3)由题意得所以-2<加<-1.

[w-l>0

18.(1)加=2；(2)加二-8或〃？=一3

【分析】首先求出存，~AC,前的坐标；

UlUUUU

(I)依题意可得/8//NC，再根据平面向量共线的坐标表示计算可得；

(2)对直角分三种情况讨论，若//为直角，则Z8//C,所以次.衣=0，即可求出参

数的值，其余类似；

UULULU___

【详解】解：(1)因为04=(2,1),O8=(3,-2),OC=(6-m,-3-∕n),

所以万=砺-宓=(3,-2)-(2,1)=(1,-3),

AC=OC-OA=(6-w,-3-w)-(2,l)=(4-w,-4-w)

⅛C=OC-δS=(6-w,-3-w)-(3,-2)=(3-w,-l-m)

因为A、B、C三点共线，所以/8//4C，所以1x(-4-加)=-3x(4-∕n),解得,”=2

(2)①若//为直角，则Z8/ZC,所以)瓦刀=lx(4-〃?)-3x(-4-〃?)=0,解得m=-8

②若NB为直角，则N828C,所以万∙元=1X(3T*)-3X(-1-"7)=0,解得％=-3

③若NC为直角，则SCJ.AC,所以犯.方=(3-〃?)x(4-〃?)+(-l-〃?)x(Y-m)=0,即

m2-m+S=O,因为△=(一『-4x8=-31<0,所以方程无解；

综上可得，当m=-8或机=-3时“18C为直角三角形

19.(1)侧棱长为3,侧面的高为6(2)表面积I6+8√F,体积为4.

【分析】(1)设S。为正四棱锥S-/BCD的高，则SO=1,作0MJ.8C,连结。08,分

别在即AS。。和用AS。W,即可求得棱锥的侧棱长和侧面的高；

(2)由(1)利用棱锥的侧面积公式和体积公式，即可求解.

【详解】(1)如图所示，设S。为正四棱锥S-/BCD的高，则SO=1,

作OMLBC,则M为BC中点，

连结OA1,08,则S0,08,SOLOM,

因为BC=4,BM=2,可得。Λ/=2,OB=2√Σ,

在AMSOO中，SB^y∣SO2+OB2=√l+8=3-

在RaSOM中，SM=NSOroM。=√5，

所以棱锥的侧棱长为3,侧面的高为√L

(2)棱锥的表面积为S=SlE方μBCZ)+4S«SBC=4X4+4X(；X4X7^)=16+86，

几何体的体积为SiE方.Z(CoXSo=gx4x4xl=竽.

Tt3

20.(I)—6(II)“/(x`)m，∣∏(IaΛx=2-

【详解】⑴由W=(GSinX)2+(Sin^>=4sin2χ,

∣⅛∣=(COSJV)2+(SinX)2=1,

及N=，卜得4shΛc=l.

又X∈0ɪ,从而SinX=；,所以x=£.

_2J26

(2)f(x)=ab=√3sinr∙cosx+sin2x

=­sin2χ-ʌ-ɑθs2x+-ɪ-=sinf2x-g]+W,

22216)2

当x∈Oɪ时，一gw2χ-f≤∣∙π,

_2」666

・・・当r—1=9时，

62

即X='时，Sin(2x-芯)取最大值1.

3

所以√(x)的最大值为]∙

21.缉私艇沿北偏东60。行驶才能最快追上走私船，所需时间而小时

【分析】设缉私艇在点。处追上走私船，所需，小时，在“8C中，利用余弦定理求得8C,

再利用正弦定理求得//8C,从而可得NCBD,在48CD中，由正弦定理即可得出答案.

【详解】解：设缉私艇在点。处追上走私船，所需f小时，

则8。=10/海里，Cr>=ιo"海里，

因为ZBAC=45°+75°=120°,

在“8C中，由余弦定理得8C?=/炉+/。2一2∕8∙∕C∙cos/历IC，

a∣JBC2=[10(√3-I)]2+202-2×l0(√3-I)×20×cosl200=600,

所以BC=IQ指,

由正弦定理得S必叫上产=端门当,

所以N/8C=45。，

所以BC为东西方向，所以/C8£>=120。,

BDsmΛCBDIOZxsinI2001

在C。中，由正弦定理得sin/8C。=

CD10√3∕-2'

所以/38=30°,所以N8OC=30。,

所以区D=5C=10#,BP10∕=10√6.BPz=√6（小时）,

所以缉私艇沿北偏东60。行驶才能最快追上走私船，所需时间太小时.

【分析】(1)由正弦定理可将2αcosC=b-α转化为2sinNcosC=sin8-sinN,结合角度关

系转化得sin(C-Z)=Sin/,即可证得C=IA,

(2)由CD为/ZC8的角平分线，C=2∕,可得∕D=8=√5,根据A/C。面积公式可求

得sin2N=逑，再由三角形A∕18C为锐角三角形可得A的范围，由平方公式二倍角公式可

3

得SinaCoSN的值，根据和差公式得sin8的值，由余弦定理求得6