第13章 静电场中的导体和电介质

第13章静电场中的导体和电介质

有导体和电介质存在时电场的分布及规律

电容器及其电容

静电场的能量

本章主要内容

1、静电感应现象:处于静电场中的导体，在其两侧出现等量异号电荷的现象叫做静电感应现象。产生的电荷称为感应电荷。13.1.1导体的静电平衡条件2、静电平衡:导体中(内部、表面)无电荷作宏观定向运动，从而形成的电荷分布稳定的状态。静电场中的导体§13.1导体为感应电荷产生的电场3、静电平衡的条件:A.若在导体内任取两点:即：处于静电平衡状态下的导体是等势体。导体表面是等势面。

4、推论:B.若在导体表面任取两点:A.导体内部的场强处处为零。B.导体表面上紧贴导体外侧处，任意一点的场强垂直于该处的表面。13.1.2处于静电平衡时实心导体的电荷分布因故所以∑q=013.1.3在静电平衡状态下，导体表面外附近空间的场强与该处导体表面的面电荷密度成正比。导体内任取一闭合曲面：作高斯面如图：可得:需要注意：是所有电荷产生的，而不只是由产生的。结论：处于静电平衡时，实心导体的电荷只能分布在导体表面上，导体内部无净电荷。任意形状的带电孤立导体，其表面的电荷分布只决定于表面形状，且曲率大的地方电荷面密度大，曲率小的地方电荷面密度小。13.1.4孤立导体表面上的电荷分布在表面凹进部分（ρ为负值）σ最小，E也最小。在表面凸出的尖锐部分(ρ为正值且较大)σ较大，E也较大.在比较平坦部分(ρ较小)σ较小，E也较小.需要注意:

孤立导体也可达到静电平衡.实验发现，带电孤立导体球表面电荷的分布是均匀的，孤立带电的长直导体、圆柱体或大的导体平板除了边缘外，它们的面电荷密度也是均匀的。举例推证上述结论：两个可视为孤立导体的球用导线连在一起，求其面电荷密度之比。(R>r)两球的电势相等:得：两球表面上的面电荷密度分别为：所以，两个金属球面上面电荷密度之比为：可见，导体表面所带电荷的面密度与表面的曲率成正比。尖端放电（电晕）:带电导体尖端附近的场强特别大，它可以使尖端附近的空气发生电离而产生大量的离子，带电粒子的运动就像是尖端上的电荷不断地向空气中释放一样。静电转轮、吹蜡烛高压输电线上的荧光(1)导体内部无电荷，电荷只能分布在导体表面。(3)导体是个等势体，导体表面是个等势面。

小结：（静电平衡）实际应用：避雷针高压电器设备的金属元件做成球型。1、导体空腔内无带电体（第一类导体空腔）性质：(2)空腔内无电场，腔体是等势体，空腔表面是等势面。(1)在静电平衡状态下，导体壳内表面无电荷，电荷

只分布在外表面；空腔内电场为零是腔外电荷与腔外表面电荷共同作用的结果。思考：若内表面有一部分是正电荷，一部分是负电荷分布，如图（b），保证电荷代数和为零，是否可能？为什么？13.1.5导体空腔注意：2、导体空腔内有带电体（第二类导体空腔）性质1：在静电平衡时，导体壳内表面上所带电荷与腔内电荷的代数和为零。证明：在导体壳内、外表面之间任取一高斯面性质2：导体空腔内表面上的电荷分布只由腔内带电体及空腔内表面形状决定，腔内电荷分布和电场不受腔外电荷的影响。(1)只改变腔内带电体的位置时，只有导体内表面的电荷分布发生改变，对腔外的电荷无影响。(2)当改变腔内带电体的电量时，导体外部电场也要随之而变化。[例]

两导体上分别带有电量

q和2q，都放在同一个封闭的金属壳内。证明：电荷为2q的导体电势高于金属壳的电势。说明：若导体空腔接地，腔内带电体对腔外空间无任何影响。接地的作用有两个：

与大地保持等电势；

与大地通过接地线交换电荷。A.导体空腔可以保护腔内空间不受腔外带电体的影响。13.1.6静电屏蔽：

1)防止干扰(精密测量上的仪器屏蔽罩、屏蔽室)2)高压带电作业人员的屏蔽服（均压服）。

3)将高压设备放在接地的金属壳内。应用：B.接地的导体空腔可保护腔外空间不受腔内带电体的影响。利用导体空腔将腔内、外电场隔离，使之互不影响，这种作用称为静电屏蔽。[例13-1]

两无限大带电平板导体。证明:1)相对的两面上，面电荷密度大小相等而符号相反；

2)相背的两面上，面电荷密度大小相等而符号相同。两式相加，得：两式相减，得证明：设1、2、3、4面的面电荷密度为每个带电面产生的场强大小为在导体内部选P1、P2两点，则13.1.7有导体存在时静电场的分析与计算由电荷守恒定律，得：可解出:即:讨论:1)若qA

=

qB

,则有:2)若qA

=－qB

,则有:

(1)静电平衡条件;(2)场强叠加原理;(3)电荷守恒定律求解本例题综合运用了:例题13-2试证在静电平衡时，带电导体表面处单位面积上受到的电场力为解：取面元dS,σ，导体内侧一点P,dS在该点产生的场强E1可用无限大带电平面的场强公式计算，即除dS之外,其它电荷在P点产生的场强为E2，则P总场强是导体表面所有电荷对该点场强的总贡献，即由静电平衡条件，导体内部的场强为零即则面元dS所受的电场力为因点P距dS较近，所以除dS以外，其余表面上的电荷在点P产生的场强和在面元dS处产生的场强是连续的，均为单位面积上受到的电场力为[例13-3]

半径为R的孤立金属球接地，与球心相距d

处有一点电荷+q且d>R。求球上的感应电荷q′。由电势叠加原理知，球心处的电势等于点电荷＋q

及感应电荷q′在点O产生电势的代数和，q

在球心处产生的电势为：感应电荷在球心处的电势为：

则点O

处的电势为：解：因金属球在静电平衡状态下是个等势体，且又与地相连接，即U=

0，所以球心处的电势也等于零。关键：接地导体电势处处为零。例题13-4

内、外半径分别为R1和R2的导体球壳内有一个半径为R的同心导体球，如图所示。若让小球和球壳分别带电荷q和Q，试求：（1）电场强度的分布；（2）电势的分布；（3）两导体的电势差；（4）如果外球壳接地，求两球的电势差。解由于静电感应，球壳的内表面应带电荷-q，根据电荷守恒定律，球壳的外表面所带电荷为q+Q。所有电荷均匀分布。（1）根据高斯定理和静电平衡条件可得到电场强度的分布为（2）以无穷远处为零电势点，根据电势的定义得其分布：时：时：（3）两球的电势差（4）如果外球壳接地，则球壳外表面上的电量为零，电势为零。两球的电势差为或：例13-5半径为R1

的金属球接地，球外有一内外半径分别为R2

和R3

的同心导体球壳，壳上带电Q

，当外球壳离地很远时，球壳内、外表面上各带电多少？解：设金属球带电为–q，则球壳内表面带电为q，外表面带电为Q–q。解得:此处内球接地，但并非不带电。取大地电势为零，金属球与大地相接，故其电势为零。三个带电球面上电荷在球心处产生电势叠加为零。另法：由外球壳与内球的电势差等于外球壳与无限远处的电势差也可求得q。同样可以求得上面结果。[例]一接地的无限大厚导体板的一侧有一半无限长均匀带电直线垂直于导体板放置，带电直线的一端与板相距为d,已知带电直线上线电荷密度为λ。求板面上垂足点O处的感应电荷面密度。关键:导体内部场强处处为零。解:建立坐标系，取微元如图。设O点电荷面密度为σ，O′点的场强物理意义：导体每升高单位电势所需要的电量。

13.2.1孤立导体的电容

—描述导体带电能力大小的物理量。带电孤立导体球的电势为：定义：—孤立导体的电容。在SI中：单位为法拉（=库仑/伏特），用

F

表示。例:

要使孤立导体球得到1F的电容，球半径为大？这是一个与所带电量多少无关,而只与球体本身尺寸及形状有关的物理量。§13.2电容电容器Re为地球半径13.2.2电容器的电容电容器原理—导体空腔的静电屏蔽定义：—电容器的电容

电容器的电容等于其中一个导体所带的电量与两导体间的电势差的比值。电势差与电量成正比且不受其它导体影响的两个导体组成的系统称为电容器。地球的电容为C=4πε0R=7×10-4F孤立导体电容的缺点:（1）容量小；（2）易受外界影响.

为克服上述缺点,可以把两块彼此绝缘而且靠得很近的导体板组成所谓的电容器。两块导体板称为电容器的极板,这样两块导体板之间的电场所受外界的影响可以忽略不计。最常见的电容器平行板电容器球形电容器圆柱形电容器(1)电容器的电容只与组成极板的大小、形状，两极板的相对位置及其间所充的介质等因素有关，而与是否带电无关。(2)电容器有两个重要指标：电容量和耐压值。(3)为了增大电容量，极板间常充以介质（云母、陶瓷等）。说明：1、平行板电容器：13.2.3电容器电容的计算两块距离很近、平行放置的导体薄板，置于真空中，面积为S，间距为d。若板线度远大于d，可视为两无限大导体平板。增大电容的方法:电容：C与Q无关，仅与S、

d有关。③给极板之间填充一定的绝缘介质。

①减小d。但工艺困难。②增大S。但电容器的体积增大。思考:电容为：2、同心球形电容器：两球壳间场强为：C可以近似为何值？由两个同心的导体球(壳)组成。设内、外球(壳)分别带有+Q、－Q

的电量。C与Q无关,仅与R1、

R2

有关。3、同轴圆柱形电容器：两导体间的场强：C与Q无关，

仅与RA、RB

和

l有关。由两个同轴圆柱形导体组成。设内、外圆柱分别带有+Q、－Q

的电量。13.2.4电容器的并联和串联1、并联：并联的效果：提高了电容值。衡量电容器的主要指标：电容的大小；耐压能力。特点：①

各电容器的U相等。②小结：计算电容的步骤设两极板带上正、负电荷一般用高斯定理求出导体间场强的分布由电势的定义式求出两极板间的电势差由电容的定义式求电容。2、串联:串联的效果：提高了耐压能力。①

各电容器的Q相等。特点：②思考题：

A）电容器的电容量。B）两极板间的场强。

C）电容器储存的电量。D）两极板间的电势差。A）C1的电容增大，电容器组总电容减小。B）C1的电容增大，电容器组的总电容增大。C）C1的电容减小，电容器组总电容减小。D）C1的电容减小，电容器组总电容增大。 2、Cl和C2两空气电容器，把它们串联成一电容器组。若在

Cl中插入一电介质板，则1、一平行板电容器充电后保持与电源连接，若改变两极板间的距离，则下述物理量中哪一个保持不变？3、1、2是两个完全相同的空气电容器。将其充电后与电源断开，再将一块各向同性的均匀电介质板插入电容器1的两极板间，则电容器2的电压U2将如何变化？减小充电后与电源断开充电后与电源连接电量保持不变电压保持不变讨论的问题1.达到静电平衡时，导体内外的电场、电势和电荷如何分布？2.对空腔导体，在什么情况下内表面有电荷，什么情况下没有？其对内外电场的屏蔽如何？3.定性讨论静电问题时，如何使用电场线？4.导体表面外附近一点的场强仅由该点处的电荷面密度贡献吗？5.电容反映了导体的什么性质？6.如何计算特殊电容器的电容？§13.3静电场中的电介质

13.3.1电介质的极化：1、电介质的电结构(1)无极分子：无外场时，正负电荷的中心重合。(2)有极分子：无外场时，正负电荷的中心不重合。等效情况2.无极分子的位移极化

：无外场时，电介质分子的正、负电荷中心重合。在外电场中，分子中的正、负电荷受到相反方向的电场力，正、负电荷的中心发生微小相对位移，形成电偶极矩沿外场方向排列起来。沿电场方向的两侧面也将分别呈正、负极化电荷（或称为束缚电荷），介质的这种极化称为位移极化

。在电介质内部，各相邻电偶极子的正、负电荷相互靠近，所以各处仍然是电中性的。

加外场：电偶极子力偶矩的作用发生转向→趋于外电场方向排列→电介质侧面出现极化电荷。3.有极分子的取向极化：无外场时，由于分子的热运动，分子固有电矩取向杂乱无章，对整个介质：注意：1）位移极化在任何电介质中都存在，而有极分子的取向极化是由有极分子构成的电介质所特有的。2）两种分子的微观极化过程不同，而产生束缚电荷的宏观效果是一样的。取向极化：在外电场作用下，分子固有电矩不同程度地转向和外电场方向一致，这种情况下的极化称为取向极化。●是能够宏观分开的正、负电荷束缚电荷与自由电荷异同之比较：以相同的规律在空间激发电场

●由极化引起的电荷不同点相同点束缚电荷自由电荷●非极化引起的电荷●可宏观移动●可作微小移动●在导体内产生的场强完全抵消外场。●在介质内产生的场强可削弱介质内的外场。●是不能宏观分开的正、负电荷

自由电荷常用表示。

极化电荷常用表示。13.3.2极化强度矢量：电介质中某点的极化强度矢量等于该点处单位体积内分子电矩的矢量和。1）若某区内各点=常矢量，则称为均匀极化。说明：定义：(描述电介质内部的极化情况)在外电场作用下，电介质被极化。产生极化电荷，。描述电介质极化程度的物理量是极化强度。因此，极化电荷与极化强度之间必有一定关系。13.3.3极化强度和极化电荷分布的关系：实验证明，对各向同性介质，在场强不太强时：（

—电介质的极化率）若介质中各点相等，则称为均匀介质。以无极分子为例：因极化越过面元的总电荷为:在极化介质内取一面元矢量：沿方向，取一斜高为l、

底面积为dS

的斜柱体，其体积为：单位体积内分子个数。:n0：每一个分子的分子电矩电介质表面dS上的极化电荷面密度为讨论：1）当θ=00时，，σ最大（正电荷）。3）当θ>900

时，介质表面上将出现一层负极化电荷。2）当θ<900

时，介质表面上将出现一层正极化电荷。4）当θ=π时，σ最大（负电荷）。5）当θ=π/2

时，σ=0。在介质内任取一闭合曲面S，因极化而越过dS

面向外移出闭合面S

的电荷为通过任意闭合曲面的极化强度矢量的通量等于该闭合曲面内的极化电荷总量的负值。由电荷守恒定律：通过整个闭合曲面S向外移动的极化电荷总量为：它等于S

内净余极化电荷总量的负值。即：3）特别地，当介质1是真空或金属导体时：则此时：两个不同电介质界面上的束缚面电荷密度：应用上式解题时注意：1）首先设定介质1和介质2，标明的方向。2）然后由求2）然后由求13.3.4电介质中的电场强度

极化电荷产生附加电场。由叠加原理，空间任一点的场强是外电场(空间所有自由电荷的电场)和极化电荷电场的矢量和中的E为总电场而不是E0充满均匀介质的平行板电容器：上述结论可以推广。

即：在平行板电容器中，均匀电介质充满电场时,电介质内部的场强比自由电荷所产生的场强E0要小,且为原来的1/εr为电介质的相对电容率称为电介质的电容率由上可得可以证明，电容器中充满均匀电介质后的电容增加至未充电介质时的εr倍，如平行板电容器充满介质后13.3.5电位移矢量有电介质时的高斯定理当电场中存在电介质时，静电场的环路定理仍然成立，即其中静电场中的高斯定理也仍然成立：令电位移矢量有电介质时的高斯定理

通过电介质中任一闭合曲面的电位移通量等于该曲面所包围的自由电荷的代数和，与面内的极化电荷无关。真空中：即：真空中静电场的高斯定理是有电介质时高斯定理的特例。电介质的性质方程在各向同性介质中：3、利用

可使介质中场强的计算问题大为简化，在有一定对称的情况下，先由它求出，再由求出。E线D线线从自由正电荷出发，终止于自由负电荷。1、无物理意义，只是为了简化公式而引入的辅助物理量。2、闭合面上电位移矢量的通量只与面内自由电荷q0有关。但并不是只由q0

产生。注意的通量和是两个不同的概念。求法:说明：例13-6设半径为R，带电量为q

的金属球埋在相对电容率为的均匀无限大电介质中．求:(1)

电介质中和的分布；(2)电介质与金属的分界面上极化电荷面密度．

解:(1)由自由电荷和电介质分布的球对称性可知，电介质中的分布具有球对称性，在电介质中任取一半径为r的同心球面S，如图。则

S上各点的大小相等，的方向沿径向，且球面S的外法线沿径向．于是S上的电位移通量为：根据有介质时的高斯定理可得:则有qORr若金属球外没有电介质而金属球所带电量仍为，则金属球外的电场强度为所以即在无限大均匀电介质中任一点的场强是真空情况下该点处场强的倍．由电介质的性质方程可得此处显示了引入电位移矢量的优越性(2)得：其中：从而求得极化电荷面密度。例题13-7

如图所示，自由电荷面密度为的无限大金属平板A、B之间充满两层各向同性的电介质，电介质的界面与带电平板平行，相对介电常数分别为和，厚度各为d1和d2，求（1）各介质层中的电场强度；（2）两极板间的电势差。

解:(1)做图示圆柱形高斯面S1同理，作高斯面S2，可得介质2中(2)电势差由于金属中D=0，高斯面侧面与D平行，根据有介质的高斯定理可得即：例题13-8同轴圆柱形电容器，长为L、内外半径分别为R1和R2，其间充满相对介电常数分别为的均匀电介质，内、外圆柱面所带线电荷密度分别为+λ0

和-λ0，求：（1）介质中的电位移D、电场强度E和极化强度P；（2）介质表面的极化电荷面密度σ′。解（1）在介质内作一长为l、半径为r的同轴圆柱形高斯面，由介质中的高斯定理得

所以介质中的电场强度的大小为介质中的极化强度的大小为（2）介质内表面的极化面电荷密度为介质外表面的极化面电荷密度为解:1)因电荷及介质分布的球对称性,

极化电荷均匀地分布在介质界面上，与球心等距离的各点处的大小相等，方向沿径向。[例]

球形电容器。内充两层介质，极板带电量为+Q，－Q。3)内层电介质内表面的束缚电荷面密度。1)的分布求：2)R1、R2间电势差为:3)内层电介质内表面的束缚电荷面密度：解题思路和方法：1、当自由电荷分布具有对称性时，由有介质时的高斯定理，求出D的分布。注意：当P为变量时，P与E

是点点对应。注意：

对应的是分界面处的极化强度。思考：在1、2介质的分界面上的面电荷密度σ

如何求？设出1，2介质，表明的方向。13.4.1电容器储存的静电能假设电容器原来不带电，而Q是由