2023年第一届“飞机杯”高中数学能力大赛试题

2023年第一届“飞机杯”高中数学能力大赛

试题部分

2023.8

本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号(即QQ号后6位)填写在答题卡上.

2.作答选择题时，将选择题答案写在试卷相应位置，最终请在“雨课堂”直接选中您作答

的选项.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内

相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；最终请逐题拍照上传至”

雨课堂”的指定位置，要求字迹工整、清晰.

4.请认准〃飞机杯"高中数学能力大赛官方信息发布QQ群，后续阅卷申诉、奖金颁发和获

奖名单公示都在此群内进行，本大赛最终解释权归“飞机杯”赛事组委会所有.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.集合A={X|X3-3X+2=0),则4的真子集有几个()

A.1B.2C.3D.4

2.ZeC,且ZiZ均满足|Z-i|+|Z+i|=4,则|Z/-七|的最大值为()

A.3B.2C.2-V3D.2+V3

3.山东省实行新高考选科政策，在小明选择了物理的情况下，李华选的三门科目与小明相

同的概率是()

4.AVA2,……,人是边长为/的正方体的八个顶点，球面S是以正方体体心为球心，r为半径

的球的球面，若要使得S上所有点恰能看到八个顶点中的至少一个，则r的充要条件是

()

K.r>-B.r>—C.0<r<iD.0<r<—

2222

5./(%)=2sinTTX4-2,g{x)=,f(x)=g(%)所有交点记为Om%)，则

w®+%)=(

2023年第一届"飞机杯''高中数学能力大赛第1页(共4页)

6.在AA8C中，BE1AC,AD18&力。交8?于点。，若2。4+&0B+V30C=0,则

tanA:tanB:tanC=（）

A.4:6V2:3V3B.1:V2：V3C.V3：V6：V5D.2：V2：V3

7.小翔在化学实验室内给6瓶化学试剂贴标签，则他恰贴错4个的情况有（）种

A.270B.1800.162D.135

8./（%）=cos（^-%）+mx,xe[0,27r],与，乃是/'（%）的两个极值点，与是极大值点，应是极

小值点，则2/（右）一/（%2）的最小值为（）

A.3B.—C.3V3D.-

22

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选

项中，有多项是符合题目要求.全部写对的得5分，部分选对的得2分，有选

错的得。分.

9,若存在正实数4,使得/（%）2/In!恒成立，则称/（%）为好函数，下列为好函数的有（）

A./（x）=exlnzB./（X）=ex2C./（x）=D.f（x｝=exXnx-2X

10.已知数列｛即｝满足an+i=a”+n+1,⑥=1下列说法正确的有（）

A.an=^BN匕%=巩"+.+2）

C.｛黑｝为等比数列D.在数列与前2023项至少有3个完全平方数

11.在边长为2的立方体4BCC-&B1GD1中，P为立方体内一点（含边界），且&P，GP,

连接CPMiP和4P,设BC中点M,下列说法正确的有（）

A.P的轨迹构成图形的面积为:兀

B.P在平面BBiGC上时，PA•PB的范围是[6-2通,8]

0.PM+2P4的最小值为VHD.PM+2P4的最小值为今

12.已知抛物线y2=2px（p>0）外有一点。（沏,乂））,过C作抛物线的两条切线交于A,B两

点，连接4B,下列正确的有（）

A.KCA,/B=詈B.若M为4B中点，贝！|CM1x轴

C.若CM中点为N,且N在抛物线上，则N处切线与4B平行

D.若C在准线上，则SApABmm=P2

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在坐标系上有点4（0,1）,B（2,e2）,P在y=x上运动，若要使PA+PB最小，求点P的坐

标

14.袋子里有n个红球k个白球，不放回地从袋子里任意抓取一个球，直到抓到白球为止，

则抓取次数的数学期望为

15.数列｛〃｝满足：①的=1②与与%，。2,…，Cln-i中的任意一项不相等③…，为1-1

中的任意不重复项求和，和不等于每④71之2时，即为满足上述条件的最小正整数，写出

一个符合条件的｛即｝

16.已知曲线C:xy2=4,设P为第一象限的点，P在C上，过P作C的切线，交C于另一点

P1，过匕作C的切线交C于另一点P2，若NPPiP2=90°,求APP1P2外接圆的面积

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

17.（10分）

在四面体4-BCD中，cos^DAB=cos^DAC,AC=BC=3,AD=2,AB=273,。在空间

中运动.

（1）证明：AD1BC

（2）当四面体4一BCD外接球的球心为于其内部时，求二面角4-BC-O余弦值的范围.

18.（12分）

在A4BC中，。在BC上，4。=〃（券+器），BC=3

（1）若sinB+tanC-cosB=遮黑£求|4。|的最大值

⑵若BD=2,DC=1,求SA.BC的最大值.

19.（12分）

利用数形结合以及概率统计的知识，可以用以下方法较为粗糙的估计圆周率兀.（已知兀在3

和4之间）取可视为无限大平面的一张大纸，在纸上画满间距为d的平行直线，然后把一根长

度为1＜d的细针完全随意的扔在这张纸上，设总共扔了N次，其中有n次出现细针与所画直

线相交的情况。已知当N充分大时，比值，可近似为相交概率p。根据以上材料，试解决下列

问题：

⑴设事件x（o）为''细针与直线的夹角为火0W0式号"，事件y为''细针与直线有交点”。记

p（y|x（。））=pg求p（。）解析式。

⑵记s为P（0）在［0,勺上与工轴围成的面积（这里。看作自变量幻，已知p=m.

求证：誓＜兀＜华

2023年第一届"飞机杯''高中数学能力大赛第3页（共4页）

20.（12分）

双曲线/一3y2=1在第一象限内有一系列点4式工1，丫1）,4（%2，丫2），...，4i（Xi，%），规定

x0=1,%!=2,对Vn>2且nGN*,均有力=4xn_j-xn_2

（1）证明：对VneN*,yn为正整数.

（2）证明：对VneN*,设4n关于x轴的对称点为方,则对任意正整数k和沉，均有

B14/^m^m+k-l

21.（12分）

2

/（X）=ax-bx+\nx-n有三个零点.,x3（Xi<x2<x3）,且满足不，小，工3成以Q为公

比的等比数列.

（1）若q=3,求一

2