高考数学理北师大版一轮复习测评3-4-3导数的存在性问题

核心素养测评十八导数的存在性问题(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.若存在正实数x使ex(x2a)<1成立,则实数a的取值范围是 ()A.(1,+∞) B.(0,+∞)C.(2,+∞) D.[1,+∞)【解析】选A.存在正实数x使ex(x2a)<1成立,即a>x2QUOTE在区间(0,+∞)上有解,令f(x)=x2QUOTE,f′(x)=2x+QUOTE>0,所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,所以f(x)>f(0)=1,又a>x2QUOTE在区间(0,+∞)上有解,所以a∈(1,+∞).2.(2019·莆田模拟)若函数f(x)=QUOTEx3x2+2x没有极小值点,则a的取值范围是()A.QUOTE B.QUOTEC.{0}∪QUOTE D.{0}∪QUOTE【解析】选C.f′(x)=ax22x+2,要使得f(x)没有极小值,则要求f′(x)恒大于等于0,或者恒小于等于0,或者该导函数为一次函数,当该导函数为一次函数的时候,a=0,满足条件,当f′(x)恒大于等于0的时候,则QUOTE,解得a∈QUOTE,当f′(x)恒小于等于0的时候,则QUOTE,此时a不存在,故a∈{0}∪QUOTE.3.已知函数f(x)=e2x,g(x)=lnx+QUOTE,对∀a∈R,∃b∈(0,+∞),f(a)=g(b),则ba的最小值为 ()A.QUOTE1 B.1QUOTEC.2QUOTE1 D.1+QUOTE【解析】选D.设f(a)=g(b)=t,t∈(0,+∞),可得a=QUOTE,b=QUOTE,令h(t)=ba=QUOTEQUOTE,t∈(0,+∞),则h′(t)=QUOTEQUOTE,令h′(t)=0,得t=QUOTE,由于h′(t)=QUOTEQUOTE是增函数,所以t∈QUOTE时,h′(t)<0,t∈QUOTE时,h′(t)>0,因此h(t)在QUOTE上单调递减,在QUOTE上单调递增,从而h(t)的最小值为hQUOTE=1+QUOTE.4.(2020·重庆模拟)若函数f(x)=QUOTEex在(0,1)内存在极值点,则实数a的取值范围是 ()导学号A.(∞,0) B.(0,+∞)C.(∞,1] D.[1,0)【解析】选A.函数f(x)=QUOTEex,定义域为{x|x≠0},f′(x)=ex+xexQUOTE=QUOTE,因为f(x)在(0,1)内存在极值点,则f′(x)=QUOTE=0的实数根在(0,1)内,即x3+x2ax+a=0的实数根在区间(0,1)内,令g(x)=x3+x2ax+a,可知,函数g(x)=x3+x2ax+a在(0,1)内存在零点,讨论a:a=0时,g(x)=x2(x+1)在(0,1)上无零点.a>0时,在(0,1)上,g(x)=x3+x2+(1x)a>0,无零点.a<0时,g(0)=a<0,g(1)=2>0,在(0,1)上有零点.所以实数a的取值范围是a<0.二、填空题(每小题5分,共20分)5.(2020·赣州模拟)若函数f(x)=aexx2a有两个零点,则实数a的取值范围是________________.

【解析】因为f(x)=aexx2a,所以f′(x)=aex1.当a≤0时,f′(x)≤0恒成立,函数f(x)在R上单调递减,不可能有两个零点;当a>0时,令f′(x)=0,得x=lnQUOTE,函数f(x)在QUOTE上单调递减,在QUOTE上单调递增,所以f(x)的最小值为fQUOTE=1lnQUOTE2a=1+lna2a.令g(a)=1+lna2a(a>0),则g′(a)=QUOTE2.当a∈QUOTE时,g(a)单调递增;当a∈QUOTE时,g(a)单调递减,所以g(a)max=gQUOTE=ln2<0,所以f(x)的最小值为fQUOTE<0,函数f(x)=aexx2a有两个零点.综上所述,实数a的取值范围是(0,+∞).答案:(0,+∞)6.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若f(x)=xlnx与g(x)=QUOTE+m在[1,3]上是“关联函数”,则实数m的取值范围是________________.

【解析】因为f(x)=xlnx与g(x)=QUOTE+m在[1,3]上是“关联函数”,令y=h(x)=f(x)g(x),所以函数y=h(x)=f(x)g(x)=xlnx+QUOTEm在[1,3]上有两个不同的零点,即h(x)=0在[1,3]有两个不同的实数根,令xlnx+QUOTEm=0,即m=xlnx+QUOTE.设F(x)=xlnx+QUOTE,即y=m与F(x)=xlnx+QUOTE有两个交点,则F′(x)=1QUOTEQUOTE=QUOTE=QUOTE.所以F′(x)>0,得x>2;F′(x)<0,得0<x<2,所以F(x)在[1,2]上递减,在[2,3]上递增,F(1)=3,F(2)=3ln2,F(3)=QUOTEln3.作出函数F(x)图像,如图.作直线y=m,平移可知当3ln2<m≤QUOTEln3时符合题意,所以实数m的取值范围是(3ln2,QUOTEln3].答案:(3ln2,QUOTEln3]7.设函数f(x)=x2xlnx+2,若存在区间[a,b]⊆QUOTE,使f(x)在[a,b]上的值域为[k(a+2),k(b+2)],则k的取值范围为________________.

【解题指南】判断f(x)的单调性,得出f(x)=k(x+2)在QUOTE上有两解,作出函数图像,利用导数的意义求出k的范围.【解析】f′(x)=2xlnx1,设g(x)=f′(x),则g′(x)=2QUOTE,所以当x≥QUOTE时,g′(x)≥0,所以f′(x)在QUOTE)上单调递增,所以f′(x)≥f′QUOTE=ln2>0,所以f(x)在QUOTE上单调递增,因为[a,b]⊆QUOTE,所以f(x)在[a,b]上单调递增,因为f(x)在[a,b]上的值域为[k(a+2),k(b+2)],所以QUOTE,所以方程f(x)=k(x+2)在QUOTE上有两解a,b.作出y=f(x)与直线y=k(x+2)的函数图像,则两图像有两交点.若直线y=k(x+2)过点QUOTE,则k=QUOTE,若直线y=k(x+2)与y=f(x)的图像相切,设切点为(x0,y0),则QUOTE,解得k=1.所以1<k≤QUOTE.答案:QUOTE8.(2020·上饶模拟)已知函数f(x)=x+QUOTE,g(x)=2x+a,若∃x1∈QUOTE,∀x2∈QUOTE,使得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是____________. 导学号

【解析】当x1∈QUOTE时,由f(x)=x+QUOTE得,f′(x)=QUOTE,令f′(x)>0,解得:x>2,令f′(x)<0,解得:x<2,所以f(x)在QUOTE上单调递减,在(2,3]上单调递增,所以fQUOTE=8.5是函数的最大值,当x2∈[2,3]时,g(x)=2x+a为增函数,所以g(3)=a+8是函数的最大值,又因为∃x1∈QUOTE,∀x2∈[2,3],使得f(x1)≥g(x2),可得f(x)在x1∈QUOTE的最大值不小于g(x)在x2∈[2,3]的最大值,即8.5≥a+8,解得:a≤QUOTE.答案:a≤QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020·黄冈模拟)已知函数f(x)=ex·(a+lnx),其中a∈R.(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=QUOTE垂直,求a的值.(2)记f(x)的导函数为g(x).当a∈(0,ln2)时,证明:g(x)存在极小值点x0,且f(x0)<0.【解析】(1)f′(x)=ex·(a+lnx)+ex·QUOTE=ex·QUOTE,依题意,有f′(1)=e·(a+1)=e,解得a=0.(2)令g(x)=ex·QUOTE,所以g′(x)=ex·QUOTE+ex·QUOTE=ex·QUOTE.因为ex>0,所以g′(x)与a+QUOTEQUOTE+lnx同号.设h(x)=a+QUOTEQUOTE+lnx,则h′(x)=QUOTE=QUOTE.所以对任意x∈(0,+∞),有h′(x)>0,故h(x)在(0,+∞)上单调递增.因为a∈(0,ln2),所以h(1)=a+1>0,hQUOTE=a+lnQUOTE<0,故存在x0∈QUOTE,使得h(x0)=0.g(x)与g′(x)在区间QUOTE上的情况如下:xx0(x0,1)g′(x)0+g(x)↘极小值↗所以g(x)在区间QUOTE上单调递减,在区间(x0,1)上单调递增.所以若a∈(0,ln2),存在x0∈QUOTE,使得x0是g(x)的极小值点.令h(x0)=0,得到a+lnx0=QUOTE,所以f(x0)=QUOTE·(a+lnx0)=QUOTE·QUOTE<0.【变式备选】1.已知函数f(x)=QUOTEx23lnx.(1)求f(x)在(1,f(1))处的切线方程.(2)试判断f(x)在区间(1,e)上有没有零点?若有,则判断零点的个数.【解析】(1)由已知得f′(x)=xQUOTE,有f′(1)=2,f(1)=QUOTE,所以在(1,f(1))处的切线方程为yQUOTE=2(x1),化简得4x+2y5=0.(2)由(1)知f′(x)=QUOTE,因为x>0,令f′(x)=0,得x=QUOTE,所以当x∈(0,QUOTE)时,有f′(x)<0,则(0,QUOTE)是函数f(x)的单调递减区间;当x∈(QUOTE,+∞)时,有f′(x)>0,则(QUOTE,+∞)是函数f(x)的单调递增区间.当x∈(1,e)时,函数f(x)在(1,QUOTE)上单调递减,在(QUOTE,e)上单调递增;又因为f(1)=QUOTE,f(e)=QUOTEe23>0,f(QUOTE)=QUOTE(1ln3)<0,所以f(x)在区间(1,e)上有两个零点.2.(2019·淄博模拟)已知函数f(x)=lnxax+ab(a>0,b∈R).(1)若存在正数a,使f(x)≤0恒成立,求实数b的最大值.(2)设a=1,若g(x)=xex2xf(x)没有零点,求实数b的取值范围.【解析】(1)因为f(x)=lnxax+ab,所以f′(x)=QUOTEa=QUOTE,所以y=f(x)在QUOTE上单调递增,在QUOTE上单调递减.所以f(x)max=fQUOTE=lna1+ab.所以存在正数a,使ab≤1+lna成立,即存在正数a,使得b≤QUOTE成立.令h(x)=QUOTE,x∈(0,+∞),因为h′(x)=QUOTE,所以y=h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.所以h(x)max=h(1)=1,所以b≤1.故b的最大值为1.(2)因为a=1,所以f(x)=lnxx+b.所以g(x)=xexxlnxb.所以g′(x)=QUOTE(x+1).令x0∈(0,1),使得QUOTE=QUOTE.两边取自然对数,得x0=lnx0,所以g(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增.由题设可知,要使函数g(x)没有零点,则要g(x)min=g(x0)>0即可,g(x0)=x0·QUOTEx0+x0b=1b>0,所以b<1.10.(2019·石家庄模拟)设f′(x)是函数f(x)的导函数,我们把满足f′(x)=x的实数叫做函数y=f(x)的好点.已知函数f(x)=QUOTEe2xaexQUOTEx2. 导学号(1)若0是函数f(x)的好点,求a.(2)若函数f(x)不存在好点,求a的取值范围.【解析】(1)因为f(x)=QUOTEe2xaexQUOTEx2,所以f′(x)=e2xaexQUOTEx,由f′(x)=x,得e2xaexQUOTEx=x,即e2xaexa2x=0.因为0是函数f(x)的好点,所以1a=0,解得a=1.(2)由(1)知f