黑龙江省绥化市东兴办事处中学2022-2023学年高二数学理下学期摸底试题含解析

黑龙江省绥化市东兴办事处中学2022-2023学年高二数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为（）A.1 B.2 C. D.参考答案：C试题分析：抛物线的焦点为，双曲线的渐近线方程为.由渐近线的对称性可知，焦点到两渐近线距离相等.不妨计算焦点到直线即的距离，，选.考点：1.双曲线、抛物线的几何性质；2.点到直线的距离公式.2.个连续自然数按规律排成下表，根据规律，2011到2013，箭头的方向依次为（

）A．↓→ B．→↓ C．↑→ D．→↑参考答案：B略3.已知变量满足，则的最大值为

(

)

A.

B.

C.16

D.64参考答案：b略4.设抛物线y2=4x的焦点为F，过点M（﹣1，0）的直线在第一象限交抛物线于A、B，使，则直线AB的斜率k=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】由题意可得直线AB的方程y﹣0=k（x+1），k＞0，代入抛物线y2=4x化简求得x1+x2和x1?x2，进而得到y1+y2和y1?y2，由，解方程求得k的值．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），直线AB的方程y﹣0=k（x+1），k＞0．代入抛物线y2=4x化简可得k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，∴x1+x2=，x1?x2=1．∴y1+y2=k（x1+1）+k（x2+1）=+2k=，y1?y2=k2（x1+x2+x1?x2+1）=4．又=（x1﹣1，y1）?（x2﹣1，y2）=x1?x2﹣（x1+x2）+1+y1?y2=8﹣，∴k=，故选：B．5.如果点P在平面区域上，点M的坐标为（3，0），那么|PM|的最小值是（）A． B．

C．D．参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由点到直线的距离公式求出|PM|的最小值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，|PM|的最小值为M（3，0）到直线x﹣y=0的距离，等于．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6.等腰三角形ABC底边两端点坐标分别为B(4，2)、C(－2，0)，则顶点A的轨迹方程是(

)A．

B．C．

D．参考答案：C7.下列命题：①空集是任何集合的子集；②若整数是素数，则是奇数；③若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行；④其中真命题的个数是

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：B8.已知方程，它们所表示的曲线可能是

A．

B．

C．

D．参考答案：B略9.A. B. C. D.参考答案：D分析：根据公式，可直接计算得详解：，故选D.点睛：复数题是每年高考的必考内容，一般以选择或填空形式出现，属简单得分题，高考中复数主要考查的内容有：复数的分类、复数的几何意义、共轭复数，复数的模及复数的乘除运算，在解决此类问题时，注意避免忽略中的负号导致出错.10.统计中有一个非常有用的统计量，用它的大小可以确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”，下表是反映甲、乙两个班级进行数学考试，按学生考试及格与不及格统计成绩后的2×2列联表.

不及格及格总计甲班123345乙班93645总计216990则的值为（

）A．0.559

B．0.456

C．0.443

D．0.4参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为

．参考答案：﹣2【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】由已知得=+，从而得到，由此求出a=﹣2．【解答】解：==+，∵复数为纯虚数，∴，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要注意复数的代数形式的乘除运算法则的合理运用．12.函数的单调递增区间是

.

参考答案：（或）略13.双曲线M的焦点是F1，F2，若双曲线M上存在点P，使是有一个内角为的等腰三角形，则M的离心率是______；参考答案：【分析】根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的腰应该为与或与，不妨设等腰三角形的腰为与，故可得到的值，再根据等腰三角形的内角为，求出的值，利用双曲线的定义可得双曲线的离心率.【详解】解：根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的两个腰应为与或与，不妨设等腰三角形的腰为与，且点在第一象限，故，等腰有一内角为，即，由余弦定理可得，，由双曲线的定义可得，，即，解得：.【点睛】本题考查了双曲线的定义、性质等知识，解题的关键是要能准确判断出等腰三角形的腰所在的位置.14.已知具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表：若已求得它们的回归直线方程的斜率为6.5，则这条回归直线的方程为．x24568y1020403050参考答案：y=6.5x﹣2.5【考点】BK：线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，由回归直线的斜率可求回归直线的方程【解答】解：∵，∴这组数据的样本中心点是（5，30）把样本中心点（5，30）代入回归直线方程，可得a=﹣2.5∴回归直线的方程为y=6.5x﹣2.5故答案为：y=6.5x﹣2.515.设等差数列的首项及公差均是正整数，前项和为，且，，，则=

．参考答案：402416.抛掷两颗质量均匀的骰子各一次，其中恰有一个点数为2的概率为．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计．【分析】求出所有的基本事件个数和符合要求的事件个数，代入古典概型的概率公式即可．【解答】解：抛掷两颗质量均匀的骰子各一次共有6×6=36个基本事件，其中恰有一个点数为2的事件共有10个，分别是（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（1，2），（3，2），（4，2），（5，2），（6，2），∴恰有一个点数为2的概率P==．故答案为．【点评】本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题．17.已知x=0是函数f（x）=（x﹣2a）（x2+a2x+2a3）的极小值点，则实数a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，0）∪（2，+∞）【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，问题转化为x＜0时，f′（x）=3x2+2（a2﹣2a）x＜0恒成立，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：f（x）=（x﹣2a）（x2+a2x+2a3）=x3+（a2﹣2a）x2﹣4a4，故f′（x）=3x2+2（a2﹣2a）x，x=0是函数f（x）的极小值点，则x＜0时，f′（x）=3x2+2（a2﹣2a）x＜0恒成立，即2（a2﹣2a）＞0，解得：a＞2或a＜0，故答案为：（﹣∞，0）∪（2，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列，…的前n项和为Sn.（1）计算的值，根据计算结果，猜想Sn的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的Sn表达式.参考答案：（I）

猜想

（II）①当时，左边=，右边=，猜想成立．

②假设当时猜想成立，即，那么，

所以，当时猜想也成立．

根据①②可知，猜想对任何都成立．

19.已知等差数列{an}满足：an+1＞an（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{bn}的前三项．（Ⅰ）分别求数列{an}，{bn}的通项公式an，bn；（Ⅱ）设，若恒成立，求c的最小值．参考答案：【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）设d、q分别为数列{an}、数列{bn}的公差与公比，a1=1．由题可知，a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分别加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比数列{bn}的前三项，从而可得（2+d）2=2（4+2d），根据an+1＞an，可确定公差的值，从而可求数列{an}的通项，进而可得公比q，故可求{bn}的通项公式（Ⅱ）表示出，利用错位相减法求和，即可求得c的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设d、q分别为数列{an}、数列{bn}的公差与公比，a1=1．由题可知，a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分别加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比数列{bn}的前三项，∴（2+d）2=2（4+2d）?d=±2．∵an+1＞an，∴d＞0．∴d=2，∴an=2n﹣1（n∈N*）．由此可得b1=2，b2=4，q=2，∴bn=2n（n∈N*）．（Ⅱ），①∴．②①﹣②，得=+2（++…+）﹣，∴Tn=3﹣．∴Tn+﹣=3﹣≤2，∴满足条件恒成立的最小整数值为c=2．【点评】本题以等差数列与等比数列为载体，考查数列通项公式的求解，考查数列与不等式的综合，考查错位相减法求数列的和，综合性强20.（本小题满分12分）用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积，参考答案：设容器底面短边的边长为，容积为.则底面另一边长为高为：-------------------------------2分由题意知：-----------------------4分则--------------------------------------------6分令，解之得：（舍去）又当时，为增函数

时，为减函数所以得极大值，---------------------------9分这个极大值就是在时的最大值，即此时容器的高为1.2所以当高为1.2m时，容器的容积最大，最大值为1.8m------------------12分21.已知双曲线与椭圆共焦点，且以为渐近线。（1）求双曲线方程．（2）求过双曲线右焦点且倾斜角为的直线方程参考答案：（1）椭圆的焦点坐标为,设双曲线方程为则渐近线方程为所以解得

则双曲线方程为

（2）直线的倾斜角为直线的斜率为，

故直线方程为

即

略22.在极坐标系中,曲线C1的极坐标方程是，点P是曲线C1上的动点.点M满足(O为极点).设点M的轨迹为曲线C2.以极点O为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，已知直线l的参数方程是，(t为参数).（1）求曲线C2的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设直线l交两坐标轴于A，B两点，求面积的最大值.参考答案：(1)的直角坐标方程为，